Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT. Temas 1. Generalidades sobre estabilidad 2. Estabilidad de Lyapunov

Transcripción

1 Objetivo específico Presentar la teoría de estabilidad de Lyapunov aplicada a sistema lineales y no lineales e ilustrar su uso en el análisis y diseño de sistemas no lineales Temas.. Método directo de Lyapunov Método indirecto de Lyapunov Aplicación a sistemas lineales 3.

2 3 Es la característica más importante de un sistema dinámico lineal o no lineal: x(k+) = f(x(k), u(k), k) En general, la estabilidad es un concepto local (depende de las c.i. y el punto de equilibrio) Un sistema no lineal puede tener uno o varios puntos de equilibrio (donde f = 0). Sistema lineal: sólo uno Una solución es estable si al iniciar el sistema desde una posición cercana a un punto de equilibrio, entonces su estado permanecerá cerca de dicho punto El punto de equilibrio puede referirse también a una trayectoria deseada, como en el caso de una aeronave 4 Primer método de Lyapunov o método de linealización (89): estabilidad local de un sistema no lineal a partir de su aproximación lineal. Justificación del enfoque lineal Segundo método de Lyapunov o método directo: estabilidad a partir del concepto de energía, no se restringe a un caso local Interpretación física: un sistema es estable x si = su f( xsi, t) la energía total se reduce continuamente hasta alcanzar su estado de equilibrio E < 0 Aplicable a sistemas no lineales y lineales: Estado de equilibrio: estado donde f(x o,t) = 0, para todo t. Se puede hacer x o = 0 por cambio de variables: x * = x x o

3 5 Estabilidad alrededor de una trayectoria Problema: que tan cerca permanecerá una trayectoria x * (t) de una trayectoria inicial x(t) al ser levemente perturbada El problema puede transformarse en un problema de estabilidad del estado e(t) = x(t) x * (t) alrededor de un punto de equilibrio e(0). Ya hay dependencia de t * * * x = f( x ) x (0) = xo x = f( x) x(0) = x + δ x o o e = f x + e t f x t = g e t * * (, ) (, ) (, ) e(0) = δ x o Punto de equilibrio estable El punto de equilibrio x o es estable (en el sentido de Lyapunov) si para cada ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que todas las soluciones que cumplen x(0) x o δ se verifica que x(t) x o < ε para todo t 0 Es decir, un punto de equilibrio es estable si todas la soluciones que inician cerca de dicho punto permanecen cercanas a él Un p.e. es uniformemente estable si δ no depende del tiempo inicial. Es decir, la estabilidad no se pierde con el tiempo x o es un estado de equilibrio si f(x o, t) = 0 6 3

4 7 Punto de equilibrio estable Cualquier solución que en t = 0 comience en el cilindro de base de radio δ no puede abandonar el cilindro de base con radio ε 8 Punto de equilibrio asintóticamente estable El punto de equilibrio x o es asintóticamente estable si es estable en el sentido de Lyapunov y si x(t) - x o 0 cuando t, siempre que x(0) - x o sea suficientemente pequeño Es decir, un punto de equilibrio es asintóticamente estable si todas la soluciones que inician cerca de dicho punto tienden a él cuando t Estabilidad asintótica global el dominio de atracción es infinito. Es decir, x(0) - x o puede tomar cualquier valor 4

5 9 Punto de equilibrio asintóticamente estable Dominio de atracción región más grande de estabilidad asintótica 0 Punto de equilibrio inestable 5

6 Ejemplo de estabilidad asintótica - Péndulo x(0) x o ε δ Se selecciona el círculo ε. Se puede encontrar un círculo δ, tal que todas las soluciones que partan dentro él estarán dentro de ε, incluso tenderán al p.e. Ejemplo de estabilidad asintótica Péndulo () x o = (0,0) es un p.e. asintóticamente estable. δ ε x o Se selecciona el círculo ε. Se puede encontrar un círculo arbitrario δ, tal que todas las soluciones que partan dentro él estarán dentro de ε, incluso tenderán al p.e. 6

7 3 Ejemplo de inestabilidad Oscilador de Van der Pol x+ c x x + x = c = ( ) 0 ε x o = 0 es un punto de equilibrio inestable. Se selecciona el círculo arbitrario ε (dentro del ciclo límite). Las soluciones que arrancan de un δ cerca del origen se saldrán del círculo ε. 4 Función de Lyapunov V Función de "energía". No es única para un sistema Función definida positiva y continua junto con sus primeras derivadas parciales alrededor del origen Ejemplo: forma cuadrática: T V( x) x Px p xx P Matriz positiva simétrica = = n n i= j= ij i j La derivada con respecto al tiempo está dada por: n n V V V V ( x) = x = fi( x) = f( x) x x i i= xi i= i Superficie de Lyapunov: V(x) = c 7

8 5 Definiciones Función definida positiva: V(0) = 0 y V(x) > 0 para x 0 Función semidefinida positiva: V(0) = 0 y V(x) 0 para x 0 Función definida negativa: -V(x) es definida positiva Función semidefinida negativa: -V(x) es semidefinida positiva Función indefinida: la función no tiene un signo definido Una función es definida (semidefinida) positiva si y sólo si todos los valores propios de P en V(x) = x T Px son positivos (no negativos), lo que se cumple si y sólo si los menores de P son positivos (no negativos) 6 Definiciones Función definida positiva 8

9 7 Teorema de estabilidad de Lyapunov Sea x = 0 un punto de equilibrio de x = f( x). Sea V(x) una función de Lyapunov tal que: { } V(0) = 0, V( x) > 0 en D 0 y V ( x) 0 e n D Entonces, x = 0 es un punto de equilibrio estable. Además, si V ( x) < 0 en D { 0} Entonces x = 0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable El teorema da una condición suficiente mas no necesaria Problema: hallar V(x) 8 Teorema de estabilidad asintótica global Sea x = 0 un punto de equilibrio de x = f( x). Sea V(x) una función de Lyapunov tal que: V(0) = 0, V( x) > 0 x 0 x V( x) V ( x) < 0 x 0 Entonces, x = 0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable global 9

10 9 Interpretación del teorema de Lyapunov 0 Teorema de Lyapunov para sistemas lineales Sea el sistema x = Ax. El estado de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable global si y sólo si dada una matriz Q definida positiva, existe una matriz P definida positiva, tal que T AP+PA=-Q (ecuación de Lyapunov) La función de Lyapunov es: * V ( x) = x Px T T T T T V ( x) = x Px + x Px = x PA + A P x = x Qx ( ) Normalmente se selecciona Q = I 0

11 Th. de Lyapunov para sistemas lineales discretos Sea el sistema x( k + ) = Φx( k). El estado de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable si y sólo si dada una matriz Q definida positiva existe una matriz P definida positiva, tal que: T Φ PΦ P= Q (ecuación de Lyapunov) La función de Lyapunov es: T V( x) = x ( k) Px( k) T T V( x( k)) = V[ x( k+ ) ] V[ x( k) ] = x ( k+ ) Px( k+ ) x ( k) Px( k) T T T = x ( k) Φ PΦx( k) x ( k) Px( k) T T T = x ( k) Φ PΦ P x( k) = x ( k) Qx( k) Primer método de Lyapunov o método indirecto Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no lineal: x = f( x) donde f: D R n es continua diferenciable y D es una región alrededor del origen. Sea: Entonces: f A = x x =0 - Jacobiano. El origen es asintóticamente estable si Re λ i < 0 para todos los valores propios de A. El origen es inestable si Re λ i > 0 para uno o más valores propios de A Si Re λ i = 0 no se sabe nada

12 3 Ejemplo Caso lineal 3 x( k+ ) =Φ x( k) = ( k) 3 x Q=I Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales: T Φ PΦ P= Q Matlab: P = dlyap(phi',q) P = No es definida positiva El sistema es inestable 4 Ejemplo Caso lineal.5 x = Ax= 0 x Q=I Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales: T AP+PA=-Q Matlab: P = lyap(a',q) 8 6 P = 0 48 > 6 37 Es definida positiva El sistema es asintóticamente estable

13 5 Ejemplo 3 Caso no lineal x = x x( x + x) x = x x( x + x) Estado de equilibrio único: x = 0, x = 0 Sea [ ] V( x) x x x Px x x 0 x T = + = = 0 x V ( x) = x x + x x = ( x + x ) < 0 V(x) es una función de Lyapunov Sistema asintóticamente estable 6 Ejemplo 3 Caso no lineal: péndulo x = x g k x = sen x x l m Punto de equilibrio: x = 0, x = 0 Sea V(x) la función de energía del péndulo: g V( x) = ( cosx) + x l g k V ( x) = xsenx+ xx = x 0 l m V(x) es una función de Lyapunov Sistema estable. V(x) falla pues realmente es asintóticamente estable 3

14 7 Ejemplo 4 Caso no lineal: control adaptativo Planta: y = ay+ u Control adaptativo: u = ky, k = γ y, γ > 0 Sea x = y, x = k, entonces: x = ( x a) x x = γ x Función de Lyapunov candidata: V( x) = x + ( x b), b> a γ Puntos de equilibrio: x = 0, x = cualquier valor 8 Ejemplo 4 (cont.) Derivada de la función de Lyapunov: V ( x) = xx+ ( x b) x = x( x a) + x( x b) γ = x ( b a) 0 De esta manera, todo punto sobre la línea x = 0 es un punto de equilibrio 4

15 9 Ejemplo 4 (cont.) Retrato de fase 30 Ejemplo 5 Primer método de Lyapunov x = x g k x = sen x x l m Punto de equilibrio: x = 0, x = 0 Jacobiano: f f 0 0 x x f A = = = g k = g k x = 0 f f cos x x l m = 0 l m x x x Valores propios: x= 0 k k 4g λ, = ± m m l 5

16 3 Ejemplo 5 Primer método de Lyapunov (cont.) Para todos los valores posibles de g, l, m y k, los valores propios satisfacen: Re λ i < 0. Por lo tanto el punto de equilibrio es asintóticamente estable Si no hay fricción (k = 0) los valores propios están en el eje imaginario y no se puede afirmar nada a partir del modelo linealizado. Utilizando el método directo de Lyapunov se deduce que este punto de equilibrio es estable El punto de equilibrio x = π, x = 0 es inestable, ya que un valor propio es positivo: 0 k k 4g A = g k, λ, = ± + m m l l m Ejemplo 6 Región de atracción 3 6

17 33 Ejemplo 7 Región de atracción 34 Ejemplo 8 Región de atracción 7

18 35 Ejemplo 9 Ecuación de Lotka-Volterra Modelo de especies en competencia (liebres y ovejas compitiendo por hierba en cantidad limitada) x = x(3 x x) x = x( x x) Puntos de equilibrio: A(0,0), B(0,), C(3,0), D(,) Jacobiano: f f x x f 3 x x x A = = = x f f x x x x x 36 Ejemplo 9 (cont.) Se aplica el método indirecto de Lyapunov Polos en cada punto de equilibrio A(0,0). Polos: (3,). Nodo inestable B(0,). Polos: (-,-). Nodo estable C(3,0). Polos: (-3,-). Nodo estable D(,). Polos: (0.44,-.44). Punto de silla inestable Interpretación: una de las dos especies inevitablemente se extingue, ya que la cantidad de especies tiende al punto C(3,0) o al punto B(0,) 8

19 37 Ejemplo 9 (cont.) Retrato de fase 9