Partial Differential Equation PDE Toolbox

Transcripción

1 Partial Differential Equation PDE Toolbox Por: Henry Copete

2 QUE ES PDE TOOLBOX? Es una herramienta de MATLAB que facilita la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) La solución presentada se obtiene haciendo uso el método de elementos finitos para problemas definidos sobre dominios limitados y continuos en el plano

3 ALCANCE Análisis de ecuaciones (sistemas) de ecuaciones de derivadas parciales. Modelación de geometrías bidemencionales. Generación automatica de mallas(mesh) Refinamiento de mallas en modo adaptativo. Utilización de las librerias de MATLAB. Permite la interacción con otros toolbox de MATLAB.

4 ÁREAS DE APLICACIÓN Transferencia de calor en tanto en estado estable como en transitorio. Flujos en medios porosos y problemas de difusión. Propagación de ondas transitorias y armonicas. Movimientos transversales en membranas. Determinación de estados de vibración natural de menbranas y problemas de estructuras mecánicas.

5 VENTAJAS Permite la operación en modo gráfico (GUI). Permite la operación en modo de comandos. Ambiente flexible y abierto.

6 LIMITANTES Solo para análisis bidimensionales. No permite importar datos de geometría desde sistemas CAD. Interfaz gráfica limitada. No presenta documentación completa para uso avanzado.

7 QUE PODEMOS HACER? Especificar problemas de EDP. Definir regiones D, sus condiciones de frontera los coeficientes de la EDP. Resolver numéricamente problemas de EDP. Generación de mallas, discretizar ecuaciones y producir una solución aproximada. Visualizar los resultados.

8 TIPOS DE EDP S Elípticas Parabólicas Hiperbólicas Valores Propios Ecuaciones no lineales Sistemas de ecuaciones φ d = τ φ d c φ + aφ = τ ( c φ) + aφ = f ( c φ ) + aφ f ( ) f ( c φ) + aφ = λdφ ( c ( φ) φ) + a( φ) φ = f ( φ) ( c φ ) ( c φ ) + a φ + a φ = f ( c φ ) ( c φ ) + a φ + a φ = f

9 METODOLOGÍA OPERATIVA Desiganción del dominio Visualización y análisis PDETOOL Condiciones de frontera Generación de la malla Asignación de Coeficientes

10 COMO SE DEFINE UN PROBLEMA DE EDP? Por medio de la interfaz gráfica de usuario (GUI) a la cual se accede mediante el comando pdetool, se dispone de tres modos que corresponden a diferentes etapas en la definición del problema de EDP: Draw mode Boundary mode PDE mode

11 DRAW MODE En este modo se crea la geometría de problema, por medio de un conjunto de objetos sólidos, los cuales pueden ser combinados para obtener geometrías mas complejas.

12 BOUNDARY MODE En este modo se especifican las diferentes condiciones de frontera (Dirichlet o Neumann), las cuales pueden ser aplicadas a diferentes segmentos de las fronteras.

13 CONDICIONES DE FRONTERA Dirichlet Neumann r n + = h u = r ( c u) qu g En problemas no lineales, los coeficientes g, q, h, and r pueden depender de u, y para PDE s parabólicas e hiperbólicas, estos coeficientes pueden depender del tiempo.

14 PDE MODE En este modo se especifica el tipo de ecuación a resolver y sus respectivos coeficientes c, a, f y d. Se pueden especificar coeficientes para cada subdominio independientemente.

15 COMO RESOLVER UN PROBLEMA DE EDP Para la solución de un problema de EDP hay dos modos que ayudan a resolver el problema: Mesh mode Solve mode

16 MESH MODE En este modo podemos generar e imprimir mallas, permitiéndonos controlar los parámetros del generador automático

17 SOLVE MODE En solve mode, permite invocar y controlar los parámetros para solucionar problemas elípticos de tipo no lineal y adaptativos

18 SOLVE MODE En problemas de tipo parabólico e hiperbólico se deben especificar los valores iniciales y el rango de tiempo para el que se desea obtener la solución

19 SOLVE MODE Para problemas de valores propios se puede especificar el intervalo en el cual se pretende encontrar los resultados.

20 APLICACIONES IMPLEMENTADAS El toolbox PDE es facil usar en la areas mas comunes debido a sus interfaces de aplicación. Ocho interfaces de aplicación están disponibles además de los modo genéricos.

21 PLACA CALENTADA CON UN EXTREMO AISLADO 100 C T T 75 C 50 C x + y = 0 Ecuación Elíptica y Borde aislado T / y = 0 x Placa de 40 x 40 cm Condiciones Dirichlet:75ºC, 100ºC y 50ºC Condiciones Neumann: T / y = 0

22 PLACA CALENTADA CON UN EXTREMO AISLADO

23 DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN UNA BARRA RADIOACTIVA Considere una barra cilíndrica radioactiva, que se le añade calor continuamente en el extremo izquierdo, el extremo derecho se mantiene a una temperatura constante, existe transferencia de calor con el ambiente y al mismo tiempo hay una fuente radiactiva de generación de calor. Q = 5000 W / m o Q = 0000 W / m 3

24 DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN UNA BARRA RADIOACTIVA Ecuación de transporte de energía térmica: Usando coordenadas cilíndricas:

25 DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN UNA BARRA RADIOACTIVA Condiciones tipo Dirichlet: u=100 en el extremo derecho de la barra. Condiciones tipo Neumann: r n.( c u) = 5000r en el extremo izquierdo. r n.( c u ) + 50 ru = 5000 r en la periferia El valor inicial u( t 0 ) = 0

26 ECUACIÓN DE ONDAS La ecuación de ondas: u t u = 0 Resolver la ecuación de ondas para las vibraciones transversales de una membrana de un cuadrado de esquinas (-1,-1), (-1,1), (1,-1) y (1,1). La membrana está anclada (u = 0) en los lados izquierdo y derecho, y se encuentra libre ( u/ n = 0) en los lados superior e inferior.

27 Para este ejemplo emplearemos como condiciones iniciales: π u( 0) = arctan cos x u( 0) t π ( ) = 3sen( π x) e sen y Las condiciones iniciales son escogidas para satisfacer las condiciones de frontera propuestas. Las funciones arctangente y exponencial se usan solamente para hacer la solución un poco más atractiva.

28 SOLUCIÓN EN PDETOOL Dibujar la geometría en la que estamos interesados, es decir, el cuadrado con esquinas en (-1,-1), (-1, 1), (1,-1) y (1, 1). Imponer las condiciones de frontera con el comando Para las frontera izquierda y derecha introducir la condición Dirichlet u = 0 y para las superior e inferior condiciones Neumann homogéneas u/ n = 0. Introducir los coeficientes que definen la EDP presionando el botón

29 PLACA CALENTADA CON FRONTERAS IRREGULARES Ecuación de Laplace T T + = y x 0 Resolver la ecuación de Laplace para una placa de 10 x 10 cm con las esquinas redondeadas y la cual mantiene condiciones de temperatura a niveles constantes.

30 PROBLEMA NO LINEAL Considerese la siguiente ecuación definida sobre un circulo centrado en el origen de radio unitario 1 u u y u x u y u x u = + + (0,1) ), ( 1 ), ( B y x y x u =

31 MODOS DE VIBRACIÓN (EIGENVALUES) Encontrar los autovalores y las correspondientes autofunciones de una membrana con forma de L, con condiciones de frontera Dirichlet homogéneas (u = 0). u u x y = λu

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