Polinomios ortogonales. Polinomios de Legendre Polinomios de Hermite Polinomios de Laguerre

Transcripción

1 Polinomios ortogonales Polinomios de Legendre Polinomios de Hermite Polinomios de Laguerre

2 Ec. de Legendre de orden α (1 t 2 )x (t) 2tx (t) + α(α + 1)x(t) = 0. α es un parámetro real. Surge al resolver la ec. de Laplace en coordenadas esféricas. Se resuelve por el método de series de potencias. Dado n N {0}, se dene el polinomio de Legendre de grado n como el único polinomio P n (t) que es solución de la ec. de Legendre de orden n y verica P n (1) = 1.

3 Propiedades de los polinomios de Legendre P 0 (t) = 1, P 1 (t) = t, P 2 (t) = 3t2 1 P 4 (t) = 35t4 30t , P 3 (t) = 5t3 3t, 2, P 5 (t) = 63t5 70t t, 8 P 6 (t) = 231t6 315t t 2 5, Si n es par, P n (t) es una función par. Si n es impar, P n (t) es una función impar. Se pueden generar usando la Fórmula de Rodrigues d n P n (t) = 1 2 n n! dt n (t2 1) n.

4 Problema de Sturm-Liouville Llamando λ = α(α + 1), escribimos la Ec. de Legendre en la forma autodjunta ( (1 t 2 )x (t) ) + λx(t) = 0. Se trata casi" de un PRSL con p(t) = 1 t 2, q(t) = 0 y s(t) = 1. Notar que p(t) > 0 si t ( 1, 1), pero p( 1) = p(1) = 0. Por ello se requieren las condiciones de que x(t) y x (t) sean nitas cuando t ±1. Los valores propios vienen dados por λ n = n(n + 1) con n = 0, 1,..., mientras que las funciones propias asociadas son con n N {0} y c R. x n (t) = cp n (t),

5 Series de Fourier-Legendre i) Dados n, m N {0} distintos, se verica ii) Para cada n N {0}, se verica P n (t)p m (t)dt = 0. P 2 n (t)dt = 2 2n + 1. iii) Dada f una función cualquiera C 1 a trozos en [ 1, 1], se verica que con f (t + ) + f (t ) = δ n P n (t) t ( 1, 1), 2 n=0 δ n = 2n f (t)p n (t)dt n = 0, 1, 2, 3, iv) Todo polinomio de grado N se puede escribir como combinación lineal de P 0 (t), P 1 (t),..., P N (t).

6 Ec. de Hermite de orden α x (t) 2tx (t) + 2αx(t) = 0. α es un parámetro real. Surge en Mecánica Cuántica, al resolver la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico. Se resuelve por el método de series de potencias. Dado n N {0}, se dene el polinomio de Hermite de grado n como el único polinomio H n (t) que es solución de la ec. de Hermite de orden n y con coeciente de t n igual a 2 n.

7 Propiedades de los polinomios de Hermite H 0 (t) = 1, H 1 (t) = 2t, H 2 (t) = 4t 2 2, H 3 (t) = 8t 3 12t, H 4 (t) = 16t 4 48t , H 5 (t) = 32t 5 160t t, H 6 (t) = 64t 6 480t t 2 120,... Si n es par, H n (t) es una función par. Si n es impar, H n (t) es una función impar. Se pueden generar usando la Fórmula de Rodrigues H n (t) = ( 1) n e t 2 d n dt n e t 2.

8 Problema de Sturm-Liouville Llamando λ = 2α, escribimos la Ec. de Hermite en la forma autodjunta ( e t 2 x (t)) + λe t 2 x(t) = 0. Se trata casi" de un PRSL con p(t) = e t 2, q(t) = 0 y s(t) = e t 2. Notar que p(t) > 0 si t R, pero R no es un intervalo acotado. Por ello se requieren las condiciones de que e t 2 /2 x(t) y (e t 2 /2 x(t)) sean nitos cuando t ±. Los valores propios vienen dados por λ n = 2n con n = 0, 1,..., mientras que las funciones propias asociadas son con n N {0} y c R. x n (t) = ch n (t),

9 Series de Fourier-Hermite i) Dados n, m N {0} distintos, se verica H n (t)h m (t)e t 2 dt = 0. ii) Para cada n N {0}, se verica H 2 n (t)e t 2 dt = 2 n n! π. iii) Dada f una función cualquiera C 1 a trozos en cada intervalo [ L, L] tal que f 2 (t)e t 2 dt < +, se verica que f (t + ) + f (t ) = ρ n H n (t) 2 con 1 ρ n = 2 n n! π n=0 t (, + ), f (t)h n (t)e t 2 dt n = 0, 1, 2, 3,... iv) Todo polinomio de grado N se puede escribir como combinación lineal de H 0 (t), H 1 (t),..., H N (t).

10 Ec. de Laguerre de orden α tx (t) + (1 t)x (t) + αx(t) = 0 α es un parámetro real. Surge en Mecánica Cuántica, al resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. Se resuelve por el método de Frobenius. Dado n N {0}, se dene el polinomio de Laguerre de grado n como el único polinomio L n (t) que es solución de la ec. de Laguerre de orden n y verica L n (0) = 1.

11 Propiedades de los polinomios de Laguerre L 0 (t) = 1, L 1 (t) = t + 1, L 2 (t) = 1 2! (t2 4t + 2), L 3 (t) = 1 3! ( t3 + 9t 2 18t + 6), L 4 (t) = 1 4! (t4 16t t 2 96t + 24), L 5 (t) = 1 5! ( t5 + 25t 4 200t t 2 600t + 120), L 6 (t) = 1 6! (t6 36t t t t t + 720),... No tienen simetría (par ni impar). Se pueden generar usando la Fórmula de Rodrigues L n (t) = et d n ( t n n! dt n e t).

12 Problema de Sturm-Liouville Llamando λ = α, escribimos la Ec. de Laguerre en la forma autodjunta ( te t x (t) ) + λe t x(t) = 0. Se trata casi" de un PRSL con p(t) = te t, q(t) = 0 y s(t) = e t. Notar que p(t) > 0 si t (0, + ), pero (0, + ) no es un intervalo acotado. Por ello se requieren las condiciones de que x(t) sea nita cuando t 0 + y que e t x(t) también sea nita cuando t +. Los valores propios vienen dados por λ n = n con n = 0, 1,..., mientras que las funciones propias asociadas son con n N {0} y c R. x n (t) = cl n (t),

13 Series de Fourier-Laguerre i) Dados n, m N {0} distintos, se verica 0 L n (t)l m (t)e t dt = 0. ii) Para cada n N {0}, se verica 0 L 2 n(t)e t dt = 1. iii) Dada f una función cualquiera C 1 a trozos en cada intervalo [a, b] (0, + ) tal que 0 f 2 (t)e t dt < +, se verica que f (t + ) + f (t ) = σ n L n (t) 2 con σ n = 0 n=0 t (0, + ), f (t)l n (t)e t dt n = 0, 1, 2, 3,... iv) Todo polinomio de grado N se puede escribir como combinación lineal de L 0 (t), L 1 (t),..., L N (t).

14 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions Mucha más información en el Capítulo 22. Versión online:. Link

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