Introducción series de fourier Métodos matemáticos Primavera 2018

Transcripción

1 Introducción series de fourier Métodos matemáticos Primavera 018 Genaro Luna Carreto 15 de Abril 018. :05 pm.

2 0.1. Funciones periódicas Una función f(t) es llamada periódica si existe tal que t R : f(t) f(t + ) (1) Pueden haber muchas constantes que logren la misma propiedad. Sin embargo, a la constante mínima y positiva que satisface la expresión (1), se le llama periodo. Así pues, una función periódica, tiene una parte que se repite indefinidamente y el inicio y final de la repetición viene determinado por el número. Problema 1. Sea f(t) con periodo. Muestra que: (a) f(t) f(t ) (b) Por inducción matemática muestra que si n es un número natural f(t) f(t + n ). De igual manera, muestra que f(t) f(t n ) (c) Si n Z entonces f(t) f(t + n ). Problema. Naturalmente que las funciones seno y coseno son las funciones periódicas por excelencia. Realiza las gráficas del seno y coseno, donde se muestre el periodo. Problema 3. Suponga que w 0 π, donde es cualquier número positivo no cero y m, n enteros no cero. Muestra que: (a) (b) cos(mw 0 t)dt 0. sen(mw 0 t)dt 0. Genaro Luna Carreto 1 Primavera 018

3 (c) (d) (e) { 0, m n cos(mw 0 t) cos(nw 0 t)dt, m n { 0, m n sen(mw 0 t) sen(nw 0 t)dt, m n sen(mw 0 t) cos(nw 0 t)dt 0 () (3) Problema 4. Sea f(t) una función con periodo. Muestra que β α f(t)dt β+ α+ f(t)dt (4) Sugerencia: use el inciso (a) del problema (1) sobre laintegral de la derecha y cambie de variable. 0.. Definición de serie de Fourier Si a es una constante arbitraria, es posible, con la ayuda de la ecuación (4), mostrar la propiedad a f(t)dt f(t)dt (5) Veamos. Dividamos a la integral punto : a f(t)dt, en dos integrales en el a f(t)dt a f(t)dt + f(t)dt (6) Genaro Luna Carreto Primavera 018

4 Aplicando directamente la ecuación (4) a la primera integral del segundo miembro + a + f(t)dt + Ahora conmutamos las integrales a+ f(t)dt + f(t)dt (7) f(t)dt (8) f(t)dt + a+ f(t)dt (9) es claro que f(t)dt (10) Definición Una colección numerable de funciones es llamada ortogonal, si b a C {φ n (t) : n N, t (a, b)} φ m (t)φ n (t)dt { 0, m n t n, m n (11) Problema 5. Demuestra que C 1 {cos nw 0 t : n N}, C {sen nw 0 t : n N}, donde w 0 π, son ortogonales en el intervalo (, ). Definición 0... Sea f(t) una función de periodo, la cual se puede representar por la serie f(t) 1 a 0 + (a n cos nw 0 t + b n sen nw 0 t) (1) donde w 0 π. La ecuación del tipo dado en (1), es llamada serie trigonométrica de fourier. Genaro Luna Carreto 3 Primavera 018

5 Existe una expresión equivalente a (1): f(t) C 0 + C n cos(nw 0 t θ n ) (13) Con las debidas restricciones en cuanto longitudes negativas o cero, en general, para obtener la expresión (13) a partir de (1) es útil considerar la siguiente figura: Es claro que cos θ n an a n +b n y sen θ n bn a n +b n Ahora modifiquemos a n cos nw 0 t + b n sen nw 0 t: a n cos nw 0 t + b n sen nw 0 t ( ) a a n + b n b n cos nw 0 t + n sen nw 0 t a n + b n a n + b n (14) Si C n a n + b n entonces C n (cos θ n cos nw 0 t + sen θ n sen nw 0 t) (15) Usando la identidad cos x cos y + sen x sen y cos(y x) C n cos(nw 0 t θ n ). (16) Con la igualdad anterior y si hacemos C 0 1 a 0, claramente se obtiene la ecuación (13). Genaro Luna Carreto 4 Primavera 018

6 0.3. Cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier Consideremos una función f(t), que se puede escribir en la forma dada por la ecuación (1): f(t) 1 a 0 + (a n cos nw 0 t + b n sen nw 0 t) Veamos la manera de obtener una fórmula que nos ayude a calcular los coeficientes a n y b n de la serie. Multipliquemos ambos lados de la serie por cos mw 0 t donde m es entero no cero. Por el hecho de no contener al parámetro n resulta ser constante con respecto a la serie. Así que, podemos introducirlo como factor de la forma siguiente: f(t) cos mw 0 t 1 a 0 cos mw 0 t+ (a n cos nw 0 t cos mw 0 t+b n sen nw 0 t cos mw 0 t) Ahora integramos sobre el intervalo (, ) (17) f(t) cos mw 0 t dt 1 a 0 cos mw 0 t + (18) (a n cos nw 0 t cos mw 0 t + b n sen nw 0 t cos mw 0 t)dt Ahora iteramos la integral con la serie 1 a 0 cos mw 0 t + (19) (a n cos nw 0 t cos mw 0 t + b n sen nw 0 t cos mw 0 t)dt Genaro Luna Carreto 5 Primavera 018

7 podemos distribuir integrales y sacar las constantes a n, b n : 1 a 0 cos mw 0 t + [a n cos nw 0 t cos mdtw 0 t + b n ] sen nw 0 t cos mw 0 tdt (0) Llego el momento de ver cuidadosamente los incisos del problema (3). Ahora, en la ecuación (0), hay tres integrales. La primera y la tercera son cero. f(t) cos mw 0 t dt [a n ] cos nw 0 t cos mdtw 0 t (1) En realidad se trata de una suma infinita de integrales. Según el problema (3), todas integrales de esa suma son cero, excepto cuando m n, en tal caso la integral vale Así pues a m a m f(t) cos mw 0 t dt a m, de donde a m () cos mw 0 t cos mdtw 0 t (3) (4) f(t) cos mw 0 t dt (5) Ya tenemos una fórmula para todos los coeficientes a m, para m 0. Problema 6. Integra directamente la fórmula (1) y muestra que a 0 f(t)dt (6) Genaro Luna Carreto 6 Primavera 018

8 Problema 7. Multiplica la ecuación (1) por sen mw 0 t (m 0) y después integra. Muestra que b m f(t) sen mw 0 t dt (7) RESUMEN Si f(t) 1 a 0 + (a n cos nw 0 t + b n sen nw 0 t) (8) donde w 0 π, y es el periodo de f(t) entonces los coeficientes se hallan con las fórmulas: a 0 a m b m f(t)dt (9) f(t) cos mw 0 t dt (30) f(t) sen mw 0 t dt (31) Problema 8. Encuentre la serie de fourier de la función dada en el intervalo: (a) f(t) { 0, 3 t 0 t, 0 t 3 (3) Sugerencia: Observe que 6. Para calcula la integral en [ 3, 3] divida en dos intervalos [ 3, 0] y [0, 3] y por lo tanto habrá dos integrales. En la primera, f(t) 0 y en la segunda f(t) t. (b) f(t) {, π t 0, 0 < t π (33) Genaro Luna Carreto 7 Primavera 018