Problemas de la Ruta más m s corta

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Gregorio Vázquez Alarcón
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1 Modelos de Redes: Problemas de la Ruta más m s corta M. En C. Eduardo Bustos Farías as Problemas de la Ruta más m s corta Problemas de la Ruta más m s corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal. Definición n del Problema - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, d ij - Se desea encontrar la ruta de mínima m distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n. Solución-Analog Analogía a con un problema de redes El algoritmo de Dijkstra s: -Encontrara la distancia mínima m del nodo de partida a los otros nodos, en el orden que se encuentran los nodos con respecto al nodo de inicio. - Este algoritmo encuentra la ruta más m s corta desde el nodo de inicio a todos los nodos de la red. 4 Algoritmos de Dijkstra Para Ruta Más s Corta Estos son algoritmos de etiquetado, los cuales, en términos t generales, encuentran la ruta más m s corta entre dos nodos, inicial a y final z, de la siguiente manera: Los nodos de la red son etiquetados con números. Al principio, todos tienen la etiqueta 00 excepto el nodo inicial a que tiene la etiqueta 0. 5 Los arcos tienen un peso wij que representa la distancia del enlace (i, j). Los algoritmos de Dijkstra renumeran los nodos, de manera que cuando el nodo z tiene una etiqueta permanente, se ha obtenido la solución n final. 6 1

2 Algoritmo de la ruta más m corta 1. Objetivos para n-ésiman interacción: n: Encontrar el n-ésimon nodo más m cercano al origen. (Este paso se repetirá para n = 1,,,, hasta que el n-ésimo nodo más m s cercano sea el nodo destino).. Datos para la n-ésiman interacción: n: n-1 n nodos más m s cercanos al origen (encontrados en las interacciones previas), incluyendo su ruta más m s corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llamarán n nodos resueltos; el resto son nodos no 7 resueltos). 3. Candidatos para el n-ésimon nodo más s cercano: Cada nodo resuelto que ésta conectado directamente por una ligadura con uno o más m nodos no resueltos proporcionan un candidato, y este es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más m corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales) Cálculo del n-ésimon nodo más m s cercano: Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más m s corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más m pequeña a es el n-ésimon nodo más m cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales y su ruta más s corta es la que genera esa distancia). EJEMPLO 1 Ruta más m s corta 9 10 Lineas Fairway Van Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras. 1 Seattle 599 Butte 497 Boise Cheyenne Salt Lake City Portland 440 Reno Sac. 91 Denver Las Vegas Bakersfield 155 Kingman Barstow Albuque. Phoenix Los Angeles San Diego Tucson El Paso

3 SEA. BUT 180 POR. POR Una representación del algoritmo de Dijkstra s BUT BOI = BOI BOI = SACSAC SLC. = SLC + CHY. 345 SLC + SLC. = 61 1 Seattle 599 Butte 497 Boise Salt Lake City Cheyene Portland 440 Reno Sac. 91 Denver Las Vegas 10 Y de 108esta manera Bakersfield 155 Kingman Barstow hasta cubrir 15 toda 469 la red Albuque. Pheonix Los Angeles San Diego Tucson El Paso = Solución - Analogía a de un problema de programación lineal - Variables de decisión ij = 1 si un transporte debe viajar por la carretera que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso X ij Objetivo = Minimizar Σ d ij X ij 14 Sujeto a las siguientes restricciones 1 Seattle Boise Portland 7 Butte Salt Lake City [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1 X1 + X13 + X14 = 1 De una forma similar: [El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1 X1,19 + X16,19 + X18,19 = 1 [El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): 15 Restricciones mayores que cero X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47. Solución Optima por WINQSB 16 Una empresa distribuidora surte a 7 supermercados con distintas ubicaciones. Los administradores desean conocer la distancia más m s corta a cada uno de ellos, así como las distancias (Km( Km) EJEMPLO Ruta más m s corta

4 4 Método tabular SOLUCIÓN CON WINQSB EJEMPLO 3 RUTA MÁS M S CORTA ENCONTRAR LA RUTA MÁS CORTA ENTRE O Y T. LOS NÚMEROS SOBRE LOS ARCOS SE MIDEN EN MILLAS

5 (, 0) SOLUCIÓN 5 6 (, O) (, O) (4,O) (4,O) 7 8 (, O)* (, O)* (7,A) (,A) (4,A)* (,A) (4,A)* (3,B) (4,O)* (4,O)*

6 (, O)* (, O)* (7,A) (8,B)* (7,A) (8,B)* (7,E) (,A) (4,A)* (,A) (4,A)* (4,O)* (3,B) (7,B)* (4,O)* (3,B) (7,B)* 31 3 (, O)* (7,A) (8,B)* Forma tabular (,A) (4,A)* (7,E) (13,D)* (4,O)* (3,B) (7,B)* LA RUTA MÁS CORTA REQUIERE 13 MILLAS EJEMPLO 4 RUTA MÁS M S CORTA

7 Solución

8 EJEMPLO 5 (0,1)* (110,1)* (110,) (160,3) (455,1) (610,1) (185,1)* (95,)* (310,) (40,)*(455,) (565,) (35,3) (40,3) (360,3) (545,3) (160,4) (455,4) (35,4) (530,4)* (160,5) (580,5) RUTA MÁS M S CORTA

9 El costo de un automóvil cuesta 1,000 dólares, el costo de mantenimiento depende de la edad del auto al inicio del año a o (ver tabla). Con la finalidad de evitar el costo de mantenimiento alto, se da como cuota inicial de un nuevo que es valorado de acuerdo a su edad (ver tabla). La preocupación n es minimizar el costo neto incurrido en los próximos 5 años. a 49 PRECIO DE MANTENIMIENTO ANUAL EDAD DEL AUTO PRECIO DEL AUTO POR COTA INICIAL SOLUCIÓN La red tendría a {1,,3,4,5,6} seis nodos el nodo i corresponde al inicio del año a o i; para i < j El arco (i, j) corresponde a la compra del auto nuevo al inicio del año a o i y conservarlo hasta el inicio del año a j. La longitud del arco (i, j): llamado Ci,, j es el costo neto total incurrido por ser el dueño o y tener el auto desde el inicio del año a o i hasta el principio del año a o j, si se compra un auto nuevo al inicio del año a o i y se da como adelanto al inicio del año a o j 51 5 En miles de pesos: C1 = = 7 C13 = = 1 C14 = = 1 C15 = = 31 C16 = = 44 C3 = = 7 C4 = = 1 C5 = = 1 C6 = =

10 (0,1)* (7,1)* (1,1)* (1,1) (31,1) (44,1) (7,) (1,) (1,) (31,) (7,3) (1,3) (1,3) (19,)* (7,4) (1,4) (4,3)* (7,5) (31,4)*

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