PFC. José Luis Pichardo Muñoz 5. Heurística basada en Grafos

Transcripción

1 5.1. Introducción. En este capítulo vamos a describir una heurística basada en el cálculo de índices mediante un problema de flujo a coste mínimo. Inicialmente se implementó una metaheurística GRASP, pero los tiempos de ejecución fueron demasiado lentos por lo que se descartó su uso. En detrimento del GRASP se implementó una heurística con matices del mismo, con la que si se conseguían resultados de forma inmediata Descripción de la heurística. La heurística se basa en el cálculo de un índice para una lista de candidatos, tal como propone GRASP. Los candidatos que se crean son todos los trabajos con sus distintos instantes de comienzos. El índice o solución que ofrece cada candidato se obtiene a partir de la resolución de un algoritmo de flujo a coste mínimo sobre un grafo que representa el procesamiento obligado de ese candidato en una estructura de Kroon para el problema FSP. Pasos que sigue la heurística: 1º Crear los distintos candidatos, cada uno de ellos contiene el número de la tarea de la que se trata y su instante de comienzo. Si la tarea uno tiene tres instantes de comienzo (1, 2 y 3), se crearían los candidatos 1_1, 1_2 y 1_3. 2º Forzamos a que se active el primer candidato, imponiendo así que ese arco en el grafo de Kroon tenga mucho peso. 3º Dibujamos el grafo de Kroon con el candidato del paso anterior activado, inyectamos un solo recurso (máquina) a dicho grafo y obtenemos todas las tareas que se activan. 4º Volvemos al paso 3º pero eliminando del grafo el candidato activado inicialmente y todas las demás tareas realizadas. 5º El paso anterior se repite hasta que se agotan los recursos disponibles en el problema

2 6º Una vez agotados todos los recursos, habremos obtenido una solución, la cual se guardará para después ser comparada con las de los demás candidatos. A esta solución es a lo que llamamos índice. 7º Volvemos al paso 2º, pero ahora activamos otro candidato distinto al que habíamos activado inicialmente. Esto se repite con todos los candidatos. 8º Al final tenemos un grupo de índices o soluciones, tantas como candidatos existen, y nos quedaremos con la mejor Problema de flujo a coste mínimo, Grafo de Kroon. La heurística descrita utiliza para el cálculo del índice un problema de flujo a coste mínimo, por ello vamos a describir dicho problema. Sea G = (V, A) un grafo con dos vértices fijos, S el nodo fuente y T el nodo destino. Cada arco (i, j) A tiene asociada una capacidad Kij y un coste por unidad de flujo que circula por cada arco Cij. Sea Φ la cantidad de flujo demandada desde el nodo T, para ser servida desde el nodo S. Entonces podemos plantear el problema de flujo a coste mínimo en los siguientes términos: enviar Φ unidades de flujo desde el nodo S al nodo T de G = (V, A) con el patrón de flujo cuyo coste asociado sea el mínimo, satisfaciendo las restricciones de capacidad y conservación en los nodos V {S, T}. Dentro de las diferentes modalidades que existen para el problema de flujo a coste mínimo, hemos elegido el grafo que propuso Kroon et al (1995) para la resolución del problema FSP. Para la definición de dicho grafo se definen un conjunto de nodos para los instantes de comienzos y de final de las distintas tareas. Cada nodo que representa un instante de comienzo de una tarea está relacionado con su nodo de final mediante un arco, dichos arcos tienen un coste asociado y su capacidad es igual a 1. Siempre existe un arco de coste cero y capacidad ilimitada desde cada nodo. Una vez creado el grafo, se inyectan los recursos de los que disponemos en el nodo inicial, dichos recursos serán absorbidos por el nodo final. Un

3 problema será procesado si en la solución optima del problema, una unidad de flujo recorre su correspondiente arco. Ejemplo grafo Kroon: Figura 5.1.: Ejemplo para explicar el grafo Kroon. Como vemos en el ejemplo, hay 6 tareas con distinto instante de comienzo y de final, ahora vamos a dibujar el grafo de Kroon que representan a esas 6 tareas. Figura 5.2.: Grafo Kroon del ejemplo anterior. Como podemos observar se crean los nodos de comienzos de las tareas (nodos S) y los nodos de final (nodos F) y los arcos dirigidos que unen dichos nodos. m representa los recursos que inyectamos al grafo para obtener una solución. Figura 5.3.: Grafo Kroon reducido del ejemplo anterior

4 Aquí vemos un grafo reducido, para realizar esta reducción buscamos nodos entre los que no haya arcos que representen tareas, por ejemplo entre S1 y S3 no hay arco que represente trabajo alguno, con lo cual podemos eliminarlo Ejemplo de problema resuelto por la heurística planteada. Para poder explicar gráficamente la heurística, plantearemos un ejemplo sencillo, de pocas tareas y recursos. En el dibujo que sigue, podemos ver que tenemos tres tareas de igual duración, 3 unidades de tiempo. La tarea J1 tiene como posibles comienzos 0, 1 y 2. La tarea J2 tiene como posibles comienzos 1, 2 y 3. La tarea J3 puede comenzar en 3, 4 y 5. Solo tendremos una máquina, la cual es compatible con todas las tareas. Los pesos de realizar las tareas J1, J2 y J3 son 120, 150 y 130 respectivamente. J1 J2 J3 Figura 5.4.: Ejemplo para explicar gráficamente la heurística propuesta. 1º Creación de candidatos: 1_0 1_1 1_2 2_1 2_2 2_3 3_3 3_4 3_5 J1 J2 J3-42 -

5 Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el primer candidato (1_0), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la mejor solución para ese candidato, el camino en color rojo nos marca la solución. Dicha solución da un beneficio de 270 unidades monetarias. Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el segundo candidato (1_1), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 250 unidades monetarias. Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el tercer candidato (1_2), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 250 unidades monetarias

6 Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el cuarto candidato (2_1), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 280 unidades monetarias. Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el quinto candidato (2_2), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a nuestra solución. Dicha solución da un beneficio de 280 unidades monetarias

7 Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el sexto candidato (2_3), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la mejor solución para este candidato, el camino en color rojo nos marca la solución. Dicha solución da un beneficio de 270 unidades monetarias. Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el septimo candidato (3_3), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 250 unidades monetarias. Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el octavo candidato (3_4), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 280 unidades monetarias

8 Dibujamos el grafo de Kroon obligando a que se active el noveno candidato (3_5), inyectamos la única máquina que tenemos y llegamos a la solución. Dicha solución da un beneficio de 280 unidades monetarias. Una vez hemos calculado todos los índices, elegimos el que nos ofrece una mejor solución, es el caso del candidato 4º, 5º, 8º y 9º, los cuales ofrecen un beneficio de 280 unidades monetarias. La resolución que hemos seguido en este apartado es para un problema sin clases, si el problema tuviera distintas clases de recursos y los trabajos no pudieran llevarse a cabo por cualquier máquina, sino que la compatibilidad la marcara una matriz, los candidatos a crear tendrían un tercer parámetro a tener en cuenta

9 Para visualizar esto, vamos a definir un trabajo que tiene tres posibles comienzos y además se puede llevar a cabo en dos máquinas de distinto tipo. Los candidatos que se crearían son los siguientes: 1_0_1 1_1_1 1_2_1 1_0_2 1_1_2 1_2_2 Como podemos observar, aparece la tercera variable en el candidato, en la que se marca el tipo de recurso que puede realizar la tarea. Para llegar a la solución de este problema con clases, el camino a seguir es el mismo que para el problema sin clases, sólo que tendremos que dibujar muchos más grafos para llegar a la solución