Programación Lineal Entera.

Transcripción

1 Fundamentos de Investigación de Operaciones. S2/2003 Programación Lineal Entera. 1. El consejo directivo de la General Wheels Co. Está considerando siete grandes inversiones de capital. Estas inversiones difieren en la utilidad estimada a largo plazo (valor presente neto) que van a generar, así como en la cantidad de capital requerido, como se muestra en la siguiente tabla (en millones de dólares): Oportunidad de inversión Utilidad estimada Capital requerido La cantidad total de capital disponible para estas inversiones es de US$ Las oportunidades de inversión 1 y 2 son mutuamente excluyentes y también lo son la 3 y 4. Además, no pueden intentarse 3 ni 4 a menos que se decida invertir en 1 o en 2. No existen restricciones sobre las oportunidades 5, 6 y 7. El objetivo es seleccionar la combinación de inversiones de capital que maximice la utilidad total estimada a largo plazo (valor presente neto). Formular un modelo de programación lineal binaria para este problema. 2. Cada uno de los cuatro participantes de un equipo debe responder preguntas a un tópico particular. Los cuatro tópicos son Geografía, Historia, Música y Deportes. Los cuatro integrantes son Adams, Bartleson, Crommelin y Dailey. Cada uno de ellos tiene diferentes habilidades. El rendimiento de cada uno en cada tópico es el siguiente: Tópico Adams Bartleson Crommelin Dailey Geografía Historia Música Deportes Considerando que la escala es de 0 a 10 para evaluar los rendimientos, y que cada integrante puede resolver un solo tópico, Cuál es la asignación óptima?. Formular un modelo de programación lineal binaria para este problema. 3. Considere el siguiente problema de programación lineal entera: Max 33x+12y s.a. -x+2y 4 5x+2y 16 2x-y 4 x, y 0 x, y Z Resolver este modelo gráficamente. Comparar el valor de la función objetivo para la solución óptima con el que se obtiene redondeando la solución óptima de programación lineal a la solución entera más cercana. 4. Considere el siguiente problema de programación lineal entera. Resolver aplicando el método de ramificación y acotamiento: Max 3x+2y s.a. 3x+y 9 x+3y 7 -x+y 1 x, y 0 x, y Z 5. Una joven pareja, Eva y adán, quieren dividir los trabajos principales del hogar (compra, cocina, lavado de platos y lavado de ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos tareas, pero tratando de que el tiempo total que utilicen en las labores hogareñas se mantenga en un mínimo. Su eficiencia en estas tareas difiere. El tiempo (en horas semanales) que necesita cada uno para realizar cada tarea se da en la siguiente tabla: 1

2 Compra Cocina Lavado de platos Lavado de ropa Eva Adán a) Formule un modelo de programación lineal binaria para este problema. b) Resuelva el modelo aplicando la técnica de ramificación y acotamiento. 6. Considere el modelo matemático siguiente: Min f1(x1) + f2(x2) Sujeto a las siguientes restricciones: a) x1 3 ó x2 3 b) Al menos una de las siguientes desigualdades se debe cumplir: 2x1 + x2 7 x1 + x2 5 x1 + 2x2 7 c) x1 - x2 = 0 ó 3 ó 6 d) x1 0 y x2 0 Donde 7 + 5x1, si x1 > x2, si x2 > 0 f1(x1) = f2(x2) = 0, si x1=0 0, si x2=0 Formule un modelo de programación lineal entera mixta para este problema. 7. Un grupo de amigos planea realizar un viaje desde la ciudad de Santiago a la ciudad de Los Angeles. Disponen de un vehículo que, en promedio, les permite recorrer 10 kilómetros por cada litro de combustible. El estanque de combustible del vehículo tiene una capacidad de 50 litros. El grupo estima que cada vez que se detienen a cargar combustible gastan 200 pesos fijos y adicionales al costo del combustible. Debido a las características geográficas, las únicas rutas posibles entre pares de ciudades y su distancia se presentan en la siguiente tabla: Ruta Santiago Rancagua Rancagua San Fernando San Fernando Curicó Curicó Talca Talca Linares Linares Chillán Chillán Los Angeles Distancia D12 D23 D34 D45 D56 D67 D78 El precio promedio del combustible en cada ciudad se entrega en la siguiente tabla: Ruta Santiago Rancagua San Fernando Curicó Talca Linares Chillán Los Angeles Distancia C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Formule un modelo de programación lineal mixta que le permita al grupo determinar en qué ciudades deben reabastacer combustible, en qué cantidades y cuál es el costo total de viaje, de manera que este costo sea mínimo, considerando que al partir de Santiago el estanque está vacío. Defina claramente las variables, función objetivo y restricciones. 8. Una determinada aerolínea, con centro en Santiago, está diseñando un nuevo sistema de atención a pasajeros que realicen viajes a cuatro destinos específicos: Antofagasta, Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas. Para eso consta de tres tipos de aviones, los que difieren en capacidad, rendimiento y costos, según se muestra en la siguiente tabla: 2

3 Tipo de Costo de Operación por viaje en la ruta a Avión Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas Históricamente para esta época se tiene una demanda mínima diaria de 90 pasajeros a Antofagasta, 100 a Temuco, 200 a Puerto Montt y de 120 pasajeros a Punta Arenas. Además, lo que la aerolínea recibe por pasajero a cada lugar es de 40 si el destino es Antofagasta, 40 si el destino es Temuco, 45 si el destino es Puerto Montt y 70 si se viaja a Punta Arenas. Los datos tanto de operación y de disponibilidad que actualmente tiene la aerolínea son: Tipo de Avión Capacidad (pasajeros) Número de Aviones Finalmente, se ha dispuesto (de preferencia, pero no obligatoriamente) atender más de una ruta por cada tipo de avión, ante lo cual se ha planteado las siguientes condiciones al diseño del sistema de pasajeros: Tipo de Número máximo de viajes diarios a Avión Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas Determinar el modelo de programación lineal que permita optimizar la asignación de los aviones a las distintas rutas. 9. Una empresa multinacional está organizando un congreso en el que expondrán especialistas de diversas áreas de diferentes países del mundo. Dichos especialistas hablan en su mayoría Inglés y Francés, sin embargo, también hay quienes hablan sólo Portugués y Alemán, 2 hablan Español. Se está planificando tener 3 sesiones en paralelo por día. Para esto existe un auditorio principal y dos salas de conferencias. Cada uno posee dos cabinas para los traductores, quienes deben traducir a dos idiomas los respectivos temas. La empresa que efectuará el trabajo de traducción cuenta con 10 traductores, los cuales son trilingües, obviamente el idioma común es el español, como se indica. Hablan Cantidad Categoría 1 Inglés, Francés, Español 3 Categoría 2 Inglés, Portugués, Español 3 Categoría 3 Alemán, Portugués, Español 2 Categoría 4 Francés, Alemán, Español 1 Categoría 5 Francés, Portugués, Español 1 Habrá un total de 9 conferencias en 3 sesiones. La planificación es la siguiente: Auditorio Sala 1 Sala 2 1ª Sesión Charlista 1 Charlista 2 Charlista 3 2ª Sesión Charlista 4 Charlista 5 Charlista 6 3ª Sesión Charlista 7 Charlista 8 Charlista 9 Se sabe que el charlista 1 habla Inglés, el 2 Francés, el 3 Alemán, el 4 Portugués, el 5 Inglés, el 6 Español, el 7 Español, el 8 Francés y el 9 Inglés. Formule el problema de Programación Lineal asociado para determinar la mejor distribución de los traductores. Nota: Maneje los supuestos necesarios. 10. Un taller produce 2 artículos. Compromisos contraídos por el taller requieren un mínimo de producción de 50 unidades del artículo 1 y 100 unidades del articulo 2. Estudios de mercado estiman una demanda máxima por el producto 1 de 80 unidades y 120 unidades por el producto 2. El ingreso unitario por la venta de cada artículo de tipo 1 es de $1.000 y $800 por cada artículo de tipo 2. Cada 3

4 artículo es producido mezclando 3 materias primas. La cantidad de cada materia prima requerida para producir una unidad de cada artículo es presentada en la tabla Materia Prima Artículo Tabla 1: Requerimientos de materias primas. El taller tiene dos ofertas de materias primas. La cantidad de unidades de cada materia prima y el costo total de cada oferta, incluyendo todas las unidades de todas las materias primas, se presenta en la tabla 2. Materia prima Oferta Costo Tabla 2: Ofertas de materias primas. Formule un modelo de programación lineal mixta que permita determinar cuál (es) oferta(s) aceptar y, aceptando la(s) mejor(es) oferta(s), cuáles serían los niveles de producción de cada artículo que optimizarían la operación del taller. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 11. Considere el problema de distribución de artículos desde tres centros productores a dos centros consumidores. Los artículos pueden ser transportados entre cada centro productor y cada centro consumidor considerando dos rutas posibles. La utilización de cada ruta tiene asociada un costo fijo que es independiente de la cantidad de artículos transportados por esa ruta. La siguiente tabla presenta las capacidades de producción, las demandas estimadas, el costo fijo por la utilización de cada ruta y el costo de transporte de un artículo desde cada entro productor a cada centro consumidor. Destino 1 2 Origen Ruta Costo Fijo Costo Unitario Costo Fijo Costo Unitario Oferta 1 a b a b a b Demanda Formule un modelo de programación lineal mixta que permita determinar la cantidad a transportar por cada ruta que minimiza el costo total satisfaciendo todas las demandas. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 12. A una compañía de inversiones se le presentan cinco posibles inversiones, cuyos gastos y rendimientos netos ( en miles de unidades monetarias ) se presentan en la tabla. El capital total disponible para invertir es de $ Si la cartera de inversiones de la compañía incluye la inversión 2, deberá seleccionar también la inversión 4. Por otra parte, las inversiones 2 y 3 son mutuamente excluyentes. Inversión Gastos Rendimientos Netos Gasto y rendimiento neto de cada inversión. 4

5 Formule un modelo de programación lineal binaria que permita determinar la combinación de inversiones que maximizan las utilidades de la compañía. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 13. En un problema de perforación de pozos petroleros existen dos sitios de perforación atractivos para alcanzar cuatro posibles pozos de petróleo. El costo de preparación para cada sitio i y el costo de perforar la ruta desde el sitio i para llegar al posible pozo de petróleo j ( i = 1,2; j = 1, 2, 3, 4) se presentan en la tabla. El objetivo es determinar los sitios a preparar y la ruta a perforar para llegar a cada pozo de manera tal que el costo total se minimice. Costo de perforación para llegar a los pozos Sitio Costo de preparación Costos de preparación y perforación. Formule un modelo de programación lineal binaria que permita determinar en qué sitios se debe perforar de manera tal de minimizar el costo total asegurando que todos los posibles pozos sean explorados. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 14. El problema de asignación considera la determinación de la mejor distribución 1-1 de un conjunto de recursos para satisfacer un conjunto de demandas. Suponga que se dispone de 6 recursos, que existen 4 demandas y que la ganancia por la asignación de cada recurso "i" a cada demanda "j" puede ser estimada como Gij. (a) Formule un modelo de programación lineal mixta que permita determinar la asignación que maximiza las ganancias. (b) Agregue a su modelo las restricciones necesarias para representar las condiciones siguientes: i. El recurso 1 debe ser utilizado. ii. De los recursos 2 y 5, al menos uno debe ser utilizado. iii. La demanda 2 debe ser satisfecha con los recursos 2 ó Grave City está considerando la construcción de nuevas poblaciones y la localización de nuevas estaciones de policía para atacar problemas de criminalidad. Cada nueva población podría tener un máximo de habitantes. La construcción de cada población i tiene un costo de K i y la construcción de la estación de policía j tiene un costo de k j. Suponga que se debe ubicar un total de habitantes estando cada uno de ellos protegido por al menos una estación de policía. Las estaciones de policía que se están considerando, junto con las áreas que cubrirían, se presentan a continuación: Sitios potenciales para estaciones A B C D E F G Areas cubiertas 1, 5, 7 1, 2, 5, 7 1, 3, 5 2, 4, 5 3, 4, 6 4, 5, 6 1, 5, 6, 7 Formule un modelo de programación lineal mixta que permita determinar donde construir las poblaciones y las estaciones de policía satisfaciendo todas las necesidades. 5