Fundamentos de Investigación de Operaciones Certamen # 1

Transcripción

1 Instrucciones: Fundamentos de Investigación de Operaciones Certamen # Profesores: Carlos Castro & Esteban Sáez 30 de abril de 2004 Responda cada pregunta en una hoja separada identificada con nombre y rol UTFSM. En caso de no responder una pregunta entregue una hoja en blanco bien identificada. Escriba las respuestas con tinta para tener derecho a eventuales recorrecciones. Pregunta Porcentaje Ponderación de cada pregunta: 25 % Tiempo: 50 minutos % 3 25 % No se permite ningún material de apoyo %. Considere el problema de programación de la producción de un conjunto de m tipos diferentes de artículos para los próximos n meses en una fábrica: En cuanto al uso de materias primas, el costo de producir un artículo de tipo i se estima en c i. Producir un artículo de tipo i requiere mo i horas de mano de obra, disponiendo la fábrica de h j horas de mano de obra durante el mes j. En ciertos meses, la fábrica puede emplear horas extras para aumentar sus recursos de mano de obra. En general, se puede denotar por st j la cantidad máxima de horas extras disponibles en el mes j, cada una con un costo unitario de cst. La demanda por artículos de tipo i en el mes j se estima en d ij, las cuales necesariamente deben ser satisfechas. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo mensual unitario de s. Existe capacidad para almacenar un volumen máximo de v, pudiéndose representar por v i el volumen de un artículo de tipo i. Políticas de producción exigen que al final del período bajo consideración exista un inventario mínimo de s i unidades de artículos de tipo i. Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la operación de la fábrica durante los próximos n meses de forma tal de minimizar el costo total. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 2. Una fábrica de ladrillos produce cuatro tipos de ladrillos de cemento. El proceso de fabricación está compuesto de tres etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro del próximo mes se dispone de 800 horas de máquina para mezclado,,000 horas de máquina para vibrado y 340 horas-hombre para inspección. La fábrica desea maximizar las utilidades dentro de este período y para ello ha formulado el siguiente modelo de programación lineal: Max z = 8x + 4x x x 4 Sujeto a x + 2x 2 + 0x 3 + 6x 4 800, 5x + 2x 2 + 4x 3 + 5x , 5x + 0, 6x 2 + x 3 + 2x x, x 2, x 3, x 4 0 Donde x i representa la cantidad de ladrillos de tipo i. El resto de los parámetros se explican por sí solos. Utilizando el software LINDO para resolver este modelo se obtuvo el siguiente tableau final: ROW (BASIS) X X2 X3 X4 SLK 2 SLK 3 SLK 4 ART X X SLK

2 . (20 %) Cuál es la solución óptima y la utilización real de los recursos? 2. (20 %) Considerando la posibilidad de aumentar en 2 la ganancia asociada a uno de los artículos (solamente uno), cuál debería ser aumentada para maximizar las ganancias totales? Cuál sería el nuevo programa de producción óptimo y la ganancia asociada? 3. (20 %) Si la utilidad del producto 4 fuera 90 en lugar de 50, que cantidad máxima se estaría dispuesto a producir de este artículo manteniendo el objetivo de maximizar las ganancias? 4. (20 %) Se está estudiando la contratación de un nuevo trabajador que representa 00 horas adicionales en una de las etapas del proceso productivo. A cuál etapa debería asignarse para maximizar las ganancias? Cuál sería el nuevo programa de producción óptimo? 5. (20 %) Un cliente ha solicitado un nuevo tipo de ladrillo, el cual requiere 4 horas de mezclado, 4 horas de vibrado y 0, 5 horas de inspección por cada unidad producida. Cuál debería ser la utilidad unitaria de este nuevo ladrillo para que fuera conveniente producirlo? 3. Ud. ha decidido probar suerte iniciando un negocio de ventas de productos del mar. Su idea consiste en comprar un gran cantidad de mariscos en la Caleta Portales el día viernes a primera hora y venderlos puerta a puerta durante el mismo día viernes, el sábado y el domingo. Como no cuenta con un vehículo refrigerado, existe la posibilidad que los mariscos se descompongan durante esos días y provoque intoxicaciones en sus clientes. Ud. ha estimado que existe un 20 % de posibilidades que los mariscos provoquen alguna intoxicación el día viernes. Las posibilidades se duplican día a día para el sábado y el domingo. Como los intoxicados presentarán los síntomas varias horas después de consumidos los mariscos, sólo en la noche (después de finalizada las ventas de ese día) sabrá si hubo o no intoxicados ese día. Si hubo intoxicados, no podrá seguir con las ventas al día siguiente y perderá la inversión. Además, las autoridades le cursarán una multa de M pesos. Ud. dispone de un capital inicial de C pesos y cree que sus ingresos por ventas serán de 3I, 2I e I pesos el día viernes, sábado y domingo, respectivamente. Para resguardar su inversión, Ud. está estudiando la posibilidad de arrendar una camioneta refrigerada. Con dicho vehículo no habrá problemas de descomposición de los productos y, por lo tanto, no habrá intoxicados.. (50 %) Plantee el problema de decisiones. 2. (25 %) Si el valor de la multa es igual a I, cuál sería el máximo valor que estaría dispuesto a pagar por el arriendo del vehículo refrigerado? 3. (25 %) Si el costo del arriendo del vehículo refrigerado es menor al valor de la multa, cuánto pagaría por información perfecta? 4. Se tiene la siguiente programación de un proyecto: Actividad Predecesoras Duración [días] Varianza A - 3 0, B - 4 0,2 C - 4 0,3 D A, B 2 0,4 E B, C 3 0,2 F D, E 4 0,3 G D, E 2 0,2 H D 3 0,4 I G, H 0, J F, I 2 0,2. (40 %) Grafique la malla del proyecto e identifique la ruta crítica. Obtenga la duración esperada y la varianza del proyecto. 2. (20 %) Determine la probabilidad de terminar el proyecto antes de 2 días, en exactamente 3 días y después de 4 días. 3. (40 %) Suponga que han pasado 4 días y Ud. desea apostarle $0000 a un amigo que terminará lo que le queda del proyecto antes de 8 días. Para mejorar sus opciones de ganar la apuesta, ha decidido invertir una cantidad de dinero para que alguna de todas las actividades del proyecto tarde exactamente un día menos en desarrollarse. Cuánto pagaría y qué actividad aceleraría? Certamen # Página 2

3 Pauta de corrección. Variables (0 %): x ij : Cantidad de artículos de tipo i producidos en el mes j; i =,..., m, j =,..., n. s ij : Cantidad de artículos de tipo i almacenados en el mes j; i =,..., m, j =,..., n. y j : Cantidad de horas extras de mano de obra en el mes j: j =,..., n. Función objetivo (20 %): Minimizar costo total = costo de producción + costo de mano de obra + costo de almacenamiento Restricciones Mano de obra (30 %): Min z = n j= i= m x ij c i + n y j cst + j= n j= i= m s ij s m x ij mo i h j + y j j =,..., n i= y j st j j =,..., n Demanda (20 %): s ij = s ij + x ij d ij i =,..., m, j =,..., n Almacenamiento (0 %): m s ij v i v j =,..., n i= Inventario final (0 %): s in s i i =,..., m No-negatividad: x ij, s ij, y j 0 i =,..., m, j =,..., n Certamen # Página 3

4 2. Reescribiendo el tableau final: x x 2 x 3 x 4 s s 2 s 3 Base c j b i 0 9, , 4, 6 0, 0, 4 20 z j c j z j Certamen # Página 4

5 3.. Objetivo: Maximizar utilidades Cursos de acción: A = arrendar vehículo refrigerado A 2 = no arrendar vehículo refrigerado Estados de la naturaleza: S = hay intoxicados el viernes S 2 = hay intoxicados el sábado S 3 = hay intoxicados el domingo Sea x el valor de arriendo del vehículo refrigerado. Árbol: 3I + 2I + I C x A A 2 S S S 2 3I C M S 2 S 3 3I + 2I C M 3I + 2I + I C M Valores esperados: S 3 3I + 2I + I C E[A ] = 6I C x E[A 2 ] = 5,08I C 0,904M 2. Si M = I se tiene: E[A ] = 6I C x E[A 2 ] = 4,76I C Para arrendar se debe cumplir que: E[A ] > E[A 2 ], luego:,824i > x Por lo que el arriendo del vehículo refrigerado debe ser de a lo más,824i pesos para escoger la opción A. 3. El valor esperado con la información original (EV W OI) queda: { 6I C x EV W OI = mín 5,08I C 0,904M Para calcular el valor esperado con información perfecta se debe plantear: Certamen # Página 5

6 A 6I C x S A 6I C x S S 2 S 2 S 3 A 6I C x S 3 A 2 6I C Luego, el valor esperado con información perfecta (EV W P I) resulta: EV W P I = 0,2(6I C x) + 0,8 [0,4(6I C x) + 0,6(6I C 0,8x)] = 0,2(6I C x) + 0,8(6I C 0,88x) = 6I C 0,904x Finalmente, el valor esperado de la información perfecta (EV P I) queda definido por: EV P I = EV W P I EV W OI Certamen # Página 6

7 4.. Dibujando la malla se determina la ruta crítica: (0, 4) [0, 4] B (0, 3) [, 4] C (0, 4) [0, 4] A 2 Dummy 3 Dummy 4 D (4, 6) [5, 7] (4, 7) [4, 7] E 5 Dummy 6 (7, 9) [8, 0] H G (6, 9) [7, 0] F (7, ) [7, ] 7 I 8 (9, 0) [0, ] J (, 3) [, 3] 9 Luego, la duración esperada del proyecto es de µ T = 3 días. Las rutas críticas son: B E F J V T = V B + V E + V F + V J = 0,9 C E F J V T = V C + V E + V F + V J = 2. Por lo tanto, la varianza del proyecto es: σ 2 T = [día2 ]. P (T < 2) = P P (T = 3) = 0 ( T µt σ T ) < 2 3 P (T > 4) = P (T < 4) = P = P (z < ) = 0,59 ( T µt σ T ) < 4 3 = P (z < ) = 0,59 3. La malla de lo que queda del proyecto resulta: (0, 2) [, 3] D E (0, 3) [0, 3] 2 Dummy 3 (3, 5) [4, 6] H G (2, 5) [3, 6] F (3, 7) [3, 7] 4 I 5 (5, 6) [6, 7] J (7, 9) [7, 9] 6 La duración esperada de lo que queda del proyecto es de µ T = 9 días. La ruta crítica resulta: E F J V T = V E + V F + V J = 0,7 σ T = 0,7 El valor esperado asociado a la apuesta queda: E[T ] = 0000 P (T < 8) 0000 P (T > 8) De acuerdo a los parámetros, las posibilidades de terminar lo queda del proyecto antes de 8 días son: Certamen # Página 7

8 P (T < 8) = P ( T µt σ T < 8 9 0,7 ) = P (z <,2) = 0,5 Luego: E[T ] = , ( 0,5) = 7700 Al disminuir la duración de una de las actividades en un día, la duración esperado del proyecto es de 8 días, por lo que P (T < 8) = 0,5. Si el costo de acelerar la actividad es C, el nuevo valor esperado queda: E[T ] = , ( 0,5) C = C Por lo tanto, cualquier valor inferior a 7700 mejora el valor esperado y puede ser en cualquier actividad de la ruta crítica. De todas formas, el valor esperado es siempre negativo por lo que no conviene hacer la apuesta. Certamen # Página 8