Planteamiento de problemas de programación lineal

Transcripción

1 Planteamiento de problemas de programación lineal M. En C. Eduardo Bustos Farías 1

2 Ejemplo. Fabricantes muebleros Asignación de recursos limitados M. En C. Eduardo Bustos Farías 2

3 La Fabricantes muebleros, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dada que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. M. En C. Eduardo Bustos Farías 3

4 En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno. La tabla muestra el tiempo de producción (en horas par unidad) y los costos estándar (en dólares por unidad) en cada planta. M. En C. Eduardo Bustos Farías 4

5 TABLA. Tiempo (horas) y costos (dólares) M. En C. Eduardo Bustos Farías 5

6 La compañía ha competido con éxito en el pasado asignando un precio de $350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a $275 con el objeto de estar en posición competitiva. La compañía ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es $2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es $2200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades, en la próxima semana. M. En C. Eduardo Bustos Farías 6

7 SOLUCIÓN Objetivo La compañía necesita determinar el número de escritorios ejecutivos y secretariales que deben fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto de maximizar las utilidades. La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferencia entre el precio de venta y los costos estándar. M. En C. Eduardo Bustos Farías 7

8 Restricciones 1. No se dispone de más de 80 horas para la producción combinada de escritorios en la planta No se dispone de más de 50 horas para la producción combinada de escritorios en la planta Los costos asociados con la producción combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder $ Los costos asociados con la producción combinada de escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder de $2200. M. En C. Eduardo Bustos Farías 8

9 Variables de decisión Dado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo de escritorio que va a fabricarse en la planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables: X1 = número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1, la próxima semana. X2 = número de escritorios secretariales que se fabrican en Ia planta 1, la próxima semana. X3 = número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2, la próxima semana. X4 = número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2, la próxima semana. M. En C. Eduardo Bustos Farías 9

10 Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática) La función objetivo se expresará en dólares, puesto que el objetivo es maximizar utilidades; por tanto, los coeficientes cj se expresarán en dólares por unidad, dado que las xj están expresadas en unidades. Los coeficientes cj se determinan encontrando la diferencia entre el precio de venta de un determinado tipo de escritorio y los costos estándar multiplicados en la fabricación de ese escritorio en la planta específica. Por ello: C1 = = $100/escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1 C2 = = $75/escritorio secretarial fabricado en la planta 1 C3 = = $90/escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2 C4 = = $95/escritorio secretarial fabricado en la planta 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 10

11 Función objetivo (estructura matemática) MAXIMIZAR: Z = 100X1+75X2+90X3+95X4 M. En C. Eduardo Bustos Farías 11

12 Restricciones (estructura matemática) Es posible identificar y verificar la consistencia de las unidades de medición de los coeficientes aij y de los valores del segundo término al mismo tiempo que se desarrolla la estructura matemática de las restricciones. Puesto que las unidades de medición pueden diferir de una restricción a otra, se considera cada una de ellas en forma separada. 1. Límite del tiempo de producción en la planta 1 (80 horas): (7.0 horas / unidad) x (x1 unidades) + (4.0 horas / unidad) x (x2 unidades) <= 80 horas M. En C. Eduardo Bustos Farías 12

13 2. Límite del tiempo de producción en la planta 2 (50 horas): (6.0 horas / unidad) x (x3 unidades) + (5.0 horas / unidad) x (x4 unidades) <= 50 horas 3. Restricción de costos de los escritorios ejecutivos ($2000): (250 dólares / unidad) x (x1 unidades) + (260 dólares / unidad) x (x3 unidades) <= $ Restricción de costos de los escritorios secretariales ($2200): (200 dólares / unidad) x (x2 unidades) + (180 dólares / unidad) x (x4 unidades) <= $2200 M. En C. Eduardo Bustos Farías 13

14 Planteamiento matemático MAXIMIZAR: Z = 100x1 + 75x2 + 90x3 + 95x4 Sujeto a: 7.0x x2 <= 80 (tiempo de la planta 1) 6.0x3+5.0x4<=50 (tiempo de la planta 2) 250x x3 <= 2000 (costos de los escritorios ejecutivos) 200x x4 <= 2200 (costos de los escritorios secretariales) x1, x2, x3, x4 >= 0 y enteras M. En C. Eduardo Bustos Farías 14

15 Ejemplo. Hospital de la Mujer Dieta de costo mínimo M. En C. Eduardo Bustos Farías 15

16 La señora López, dietista del Hospital, es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La señora López examina en estos momentos un caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del nutriente B y 1500 unidades del nutriente C. M. En C. Eduardo Bustos Farías 16

17 Cada onza de la fuente alimenticia No. 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades de nutriente B y 200 unidades de nutriente C; cada una de la fuente alimenticia No. 2 contiene 200 unidades de nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes alimenticias son algo costosas (la fuente No. 1 cuesta $6.00 por libra y la fuente No. 2 cuesta $8.00 por libra); por tanto, la señora López desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos las requerimientos nutritivos. M. En C. Eduardo Bustos Farías 17

18 SOLUCION M. En C. Eduardo Bustos Farías 18

19 Objetivo El objetivo en este caso consiste en determinar el número de onzas de cada una de las dos fuentes alimenticias que cuesten lo menos posible y que satisfagan los requerimientos nutritivos de los nutrientes A, B y C. Un punto importante que debe reconocerse es que las unidades de medición para las fuentes alimenticias se expresan en onzas, en tanto que sus costos se expresan en libras. M. En C. Eduardo Bustos Farías 19

20 Restricciones 1. Se deben consumir cuando menos 1000 unidades del nutriente A por día. 2. Se deben consumir cuando menos 2000 unidades del nutriente B por día. 3. Se deben consumir cuando menos 1500 unidades del nutriente C por día. 4. No existe restricción sobre Ia cantidad que se consume por día de cada una de las fuentes alimenticias. M. En C. Eduardo Bustos Farías 20

21 Variables (estructura matemática) Se requerirán dos variables, puesto que se desea determinar la cantidad que debe consumirse de dos fuentes alimenticias: X1 = número de onzas de la fuente alimenticia No. 1 que debe consumirse diariamente X2 = número de onzas de la fuente alimenticia No. 2 que debe consumirse diariamente M. En C. Eduardo Bustos Farías 21

22 Función objetivo (estructura matemática) El objetivo de éste problema consiste en minimizar costos. El único ajuste que es necesario hacer a los coeficientes de costos es reconocer que en el esbozo del problema, los costos de las respectivas fuentes alimenticias se expresaran en libras y no en onzas. Por tanto, c1 = $6.00/16 = $0.375 por onza y c2 = $8.00/16 = $0.50 por onza, puesto que existen 16 onzas en cada libra de las respectivas fuentes alimenticias. Entonces, la función objetivo puede expresarse de la siguiente manera: MINIMIZAR: Z = 0.375x X2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 22

23 Restricciones (estructura matemática) Se ha elaborado la tabla para ayudar a reestructurar las restricciones que le siguen. TABLA. Datos de nutrientes M. En C. Eduardo Bustos Farías 23

24 1. Restricción del nutriente A: [(100 unidades del nutriente A)/(onza de la fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(200 unidades del nutriente A)/(onza de la fuente No. 2)] x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 1000 unidades del nutriente A M. En C. Eduardo Bustos Farías 24

25 2. Restricción del nutriente B: [(400 unidades del nutriente B)/(onza de la fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(250 unidades del nutriente B)/(onza de la fuente No. 2)] x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 2000 unidades del nutriente B M. En C. Eduardo Bustos Farías 25

26 3. Restricción del nutriente C: [(200 unidades del nutriente C)/(onza de la fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(200 unidades del nutriente C)/(onza de la fuente No. 2)1 x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 1500 unidades del nutriente C M. En C. Eduardo Bustos Farías 26

27 Planteamiento matemático MINIMIZAR: Z = 0.375x x2 SUJETO A: 100x x2 >= x x2 >= x x2 >= 1500 X1,X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 27

28 Ejemplo. PEMEX M. En C. Eduardo Bustos Farías 28

29 PEMEX Comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión de vapor aceptable y el octanaje mínimo. M. En C. Eduardo Bustos Farías 29

30 Los requerimientos de manufactura son: Gasolina Octanaje mínimo Presión máxima de vapor Precio de venta (por barril) Normal Extra M. En C. Eduardo Bustos Farías 30

31 Se utilizan 3 tipos de gasolina para fabricar las gasolinas normal y extra. Gasolina base Octanaje Presión de vapor Disponibilidad máxima (barriles) Costo por barril M. En C. Eduardo Bustos Farías 31

32 La compañía se ha comprometido con un comprador a proporcionar 30,000 barriles de gasolina normal por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. Le gustaría determinar el plan de producción para las 2 clases de gasolina que maximicen las utilidades para la próxima semana. M. En C. Eduardo Bustos Farías 32

33 Variables de Decisión x 1. Nùmero de barriles de gasolina 1 para fabricar gasolina normal para la próxima semana x 3 x 4 x 5 x 6 x 2. Nùmero de barriles de gasolina 2 para fabricar gasolina normal. para la próxima semana. Nùemro de barriles de gasolina 3 para fabricar para la próxima semana gasolina normal.. Nùmero de barriles de gasolina 1 para fabricar gasolina extra. para la próxima semana. Nùmero de barriles de gasolina 2 para fabricar gasolina extra. para la próxima semana. Nùmero de barriles de gasolina 3 para fabricar gasolina extra. para la próxima semana M. En C. Eduardo Bustos Farías 33

34 Función Objetivo Coeficientes Max_Z x + x + 2x + 2x + 4x + 5x Gasolina Octanaje mínimo Presión máxima de vapor Precio de venta (por barril) Normal Extra Investigación 100de 6 M. En C. Eduardo 24 Bustos Farías 34

35 X1+X2+X3 <= Restricciones x + x x + x x + x x 1 x + x + x x 2 x + x + x x x + x + x x 1 x + x + x x 2 x + x + x x x + x + x x 1 x + x + x x 2 x + x + x x x + x + x x 1 x + x + x x 2 x + x + x x x + x + x x 0 i i 1..6 M. En C. Eduardo Bustos Farías 35

36 Ejemplo. Compañía Ferguson Asignación de capital M. En C. Eduardo Bustos Farías 36

37 COMPAÑÍA FERGUSON La Ferguson enfrenta el problema de determinar que proyectos de crecimiento debe emprender en los próximos 4 años. La compañía tiene una cantidad limitada de fondos para inversiones de capital; por tanto, no puede financiar todos los proyectos. A cada uno de estos se Ie ha caracterizado determinando su valor presente y el requerimiento (costo) asociado de capital. Cada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los próximos 4 años. En Ia tabla siguiente se muestran ei valor presente estimada, los requerimientos de capital y el capital disponible proyectado para cada uno de ellos. M. En C. Eduardo Bustos Farías 37

38 Desarrollar plan para la asignación de fondos. A los administradores de la Ferguson les gustaría desarrollar un plan de asignación de capital que muestre las erogaciones que deben hacer para cada uno de los 4 años y qué proyectos se deben financiar bajo el plan general. M. En C. Eduardo Bustos Farías 38

39 M. En C. Eduardo Bustos Farías 39

40 M. En C. Eduardo Bustos Farías 40

41 Variables de decisión x j x j. valor proporcional que indica la medida en que se finanacia el proyecto DURANTE LOS 4 AÑOS. 1 indica que si se financia el proyecto x j. 0 indica que no se financia el proyecto j 1, 2, 3, 4 M. En C. Eduardo Bustos Farías 41

42 Función Objetivo z = c x c x c x c x Max_Z 18000x , 000x x x M. En C. Eduardo Bustos Farías 42

43 Restricciones Año 1: Año 2: Año 3: Año 4: 30, 000x + 12, 000x + 30, 000x + 20, 000x 65, , 000x + 8, 000x + 30, 000x + 30, 000x 85, , 000x + 0x + 20, 000x + 40, 000x 80, , 000x + 4, 000x + 30, 000x + 10, 000x 50, x1, x2, x3, x4 1 X1+X2+X3+X4<=1 x >= > 0, j 1, 2, 3, 4 j para garantizar que cada proyecto no sobrepase el 100% del mismo M. En C. Eduardo Bustos Farías 43

44 Ejemplo. Compañía B&Z Brewing Transporte M. En C. Eduardo Bustos Farías 44

45 M. En C. Eduardo Bustos Farías 45

46 Datos 464 M. En C. Eduardo Bustos Farías 46

47 M. En C. Eduardo Bustos Farías 47

48 M. En C. Eduardo Bustos Farías 48

49 Variables de decisión x, i 1, 2, 3 ij j 1, 2, 3, 4 x ij.numero de camiones que qeu se envian de la planta i al almacen j En un período de tiempo dado M. En C. Eduardo Bustos Farías 49

50 M. En C. Eduardo Bustos Farías 50

51 i = 3 _ j = Min z Función Objetivo = i= j= 1 4 C ij x ij Min z = 352x 995x 464x x + 513x + 416x x + 690x + 388x x + 791x + 685x M. En C. Eduardo Bustos Farías 51

52 M. En C. Eduardo Bustos Farías 52

53 Restricciones x x x x x 12 x x x 13 x x x 14 x x 0 ij i 1, 2, 3 j 1, 2, 3, 4 x x x x x x x x x x x x = = = = Plantas de Producción Boulder Colorado (75) Mineapolis, Minessota (125) Olympia Washington (100) M. En C. Eduardo Bustos Farías Almacenes de Depósito San Diego, Cal. (80) Pravo, Utah (65) Albuquerque, Nvo. México (70) Lincoln, Nebraska (85)