Unidad 6 Método de transporte

Transcripción

1 Unidad 6 Método de transporte Como ya se vio en la unidad 3, los problemas de transporte son problemas de programación lineal (pl), pero con una estructura muy particular de la matriz de los coeficientes de las restricciones, pues se trata de una matriz cuyos elementos valen cero o uno. Aunque estos problemas se pueden resolver con el método Simplex, su estructura característica permite simplificar el procedimiento de búsqueda de la solución óptima. Éste se conoce como método de transporte. Los problemas de transporte intentan satisfacer la demanda de varios puntos a partir de distintos orígenes. El producto es homogéneo, esto es, se trata de un solo producto, y el costo del transporte es distinto de cada origen a cada destino. En algún problema en vez del costo del transporte puede importar el tiempo para entregarlo o la distancia total por recorrer. El método de transporte es una simplificación del método Simplex, pero para poder aplicarlo es necesario que la oferta y la demanda se igualen; si ambas cantidades no son iguales, es necesario agregar un origen o un destino ficticio que absorba esta diferencia. Para explicar el método se resolverá el problema presentado en la unidad 3, que se repite a continuación. Ejemplo 6.1 La Zona Metropolitana del Valle de México (zmvm) tiene problemas de abasto de agua en varias de sus colonias, especialmente al este de la ciudad. En este momento las autoridades del Sistema de Aguas de la Ciudad de México, junto con la Comisión de Agua del Estado de México deben decidir cómo abastecer tres zonas que están padeciendo un desabasto sistemático: Nezahualcóyotl, Iztapalapa y Los Reyes, con necesidades de 3.4, 5 y 2.2 m 3 /s. Las fuentes de abastecimiento que se están considerando son 3 sistemas de pozos profundos (uno de ellos del Estado de México), que aún tienen excedentes, y agua proveniente del sistema Cutzamala. El primer sistema puede abastecer 2 m 3 /s, el segundo, 2.5 m 3 /s, y el tercer sistema de pozos, 2.5 m 3 /s; de la presa de Valle de Bravo, que forma parte del sistema Cutzamala, después de realizar unas obras de mantenimien- 157

2 Programación lineal to, se podrán extraer de 1 a 10 m 3 /s, según sea necesario. Los costos de abastecimiento, operación y conducción por m 3 /s son éstos: Cuadro 6.1 P 1 P 2 P 3 Cutzamala Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl La demanda total es la suma de las demandas, en este caso es de 10.6 m 3 /s. Es necesario equilibrar la oferta con la demanda. Se nos dice que del sistema Cutzamala se pueden traer de 1 a 10 m 3 /s y que los pozos pueden ofrecer solamente 7 m 3 /s, por lo que se necesitarán traer 3.6 m 3 /s del sistema Cutzamala. El método de transporte se realiza sobre una tabla. Como todos los métodos iterativos, este tiene un paso inicial en el que se obtiene alguna solución posible; posteriormente se pregunta si esta solución puede mejorarse, y si es así el método obtiene una solución mejor. Este paso se repite hasta que no es posible mejorar la solución, en ese momento se llegó a la solución óptima. Es importante aquí como primer paso definir las variables; en este problema hay doce variables, x ij, donde x es la cantidad de m 3 /s a enviar de i a j, con i variando de 1 a 4 (i de 1 a 3 para cada pozo e i = 4 el sistema Cutzamala) y j cada uno de los destinos (j = 1 Izt, j = 2 LR y j = 3 Neza). Paso inicial En esta etapa se quiere encontrar una solución factible, esto es, que cumpla con todas las restricciones. Para realizar este paso se construye el cuadro auxiliar que en la literatura se llama tabla Simplex de transporte (cuadro 6.2). En el cuadro 6.2 se muestra la tabla de transporte donde se han colocado en cada columna uno de los puntos de oferta u origen, y en cada renglón uno de los puntos de demanda. En cada celda se coloca el costo de enviar una unidad del origen al destino correspondiente en un recuadro o un círculo. Para el paso inicial se comienza a tratar de satisfacer las demandas ordenadamente. En este caso como la demanda de Iztapalapa es de 5 m 3 /s, se toma del primer origen su disponibilidad: 2 m 3 /s, pero como no alcanza, se toma del segundo los 2.5 m 3 /s y como tampoco alcanza se completa con el tercero; a continuación se envía al segundo punto de demanda y así sucesivamente hasta terminar. La asignación inicial queda como se muestra en el cuadro

3 Método de transporte Cuadro 6.2. Solución inicial Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl Demanda Existen varios métodos para encontrar la solución inicial; el presentado aquí se conoce como el método de la esquina noreste o de la esquina superior izquierda. La solución inicial obtenida fue esta (los índices son de origen a destino): x 11 = 2 m 3 /s x 21 = 2.5 m 3 /s x 31 = 0.5 m 3 /s x 32 = 2 m 3 /s x 42 = 0.2 m 3 /s x 43 = 3.4 m 3 /s con un costo de $ Es importante observar los siguientes puntos: 1) No se tomaron en cuenta los costos para asignar las ofertas a las demandas. 2) La suma de lo asignado en cada fila es idéntica a la demanda. 3) La suma de lo asignado en cada columna es idéntica a la oferta. 4) Aunque desde el sistema Cutzamala se podían enviar 10 m 3 /s, solamente se consideraron los 3.6 m 3 /s que se necesitaban para igualar la oferta a la demanda. Esto es un requisito del método de transporte. Cuando esto no ocurre es necesario crear un origen o un destino ficticio para balancear estas dos cantidades. Paso iterativo En esta etapa se trata de mejorar la solución inicial para llegar a una asignación más conveniente que la de la etapa anterior. 159

4 Programación lineal 1) Primero se debe aplicar un criterio de mejorabilidad; para esto deben analizarse todas las celdas que en este momento no aparecen en la solución y ver si existe alguna que permita una disminución en el costo del transporte. De éstas se escoge la que disminuye más el valor por unidad que se le asigne y que mantenga en equilibrio tanto a la oferta como a la demanda. 2) Se modifica la solución transfiriendo la mayor cantidad posible de alguna de las celdas que aparecían en la solución previa (x ij > 0) hasta que x * ij = 0; esta será la variable saliente, que transferirá esa cantidad a la nueva variable que se llamará entrante. 3) Se calcula el nuevo costo. 4) Se regresa al paso 1 hasta que no existan más celdas que permitan disminuir el valor de la fo. El cuadro 6.2 tiene 12 celdas, 6 de ellas con valores mayores a 0 y otras 6 celdas están vacías: la (1, 2) del pozo 1 a Los Reyes, la (1, 3) del pozo 1 a Nezahualcóyotl, la (2, 2) del pozo 2 a Los Reyes, la (2, 3) del pozo 2 a Nezahualcóyotl, la (3, 3) del pozo 3 a Nezahualcóyotl y la (4, 1) de Cutzamala a Iztapalapa. Es necesario analizar que pasaría si se enviara 1 m 3 /s de agua de cada uno de estos orígenes al destino indicado. En el cuadro 6.3 se muestra el análisis para la celda (1, 2): si se enviara 1 m 3 /s desde el pozo 1 a Los Reyes, debería enviarse 1 m 3 /s menos a Iztapalapa, ya que el pozo tiene una disponibilidad de sólo 2 m 3 /s; pero si se envía uno menos, no se completaría la demanda de Iztapalapa, lo que requiriría enviar el faltante desde el pozo 3, que a su vez deberá mandar uno menos a Los Reyes. Cuadro 6.3. Ciclo de la celda (1, 2) del pozo 1 a Los Reyes Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Demanda Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl Los signos de más y de menos en las celdas indican en cuál se debe agregar y en cuál se debe quitar. Se forma un ciclo de tal modo que en una misma fila hay una celda en la que se agrega una unidad y otra en la que se quita para mantener el equilibrio. El 160

5 Método de transporte ciclo sólo puede tener una celda vacía que es la que se está evaluando, el resto deben ser distintas de cero. El costo de enviar 1 m 3 /s del pozo 1 a Los Reyes es de $3.5, pero se dejarán de pagar $6 por el que no se envíe a Iztapalapa, se pagarán otros $3 por enviárselo desde el pozo 3 y se dejarán de pagar otros $4.5: c 12 = = -4 O sea, se ahorrarían 4 pesos por m 3 /s transferido. De la misma manera se deben analizar todas las celdas actualmente vacías. Los ciclos pueden no ser tan sencillos como el anterior. En el cuadro 6.4 se muestra el análisis de la celda (1, 3): si se enviara 1 m 3 /s del pozo 1 a Nezahualcóyotl, entonces se tendría que enviar uno menos a Iztapalapa. Pero ahora las demandas no se cumplen ya que se le enviarían solamente 4 m 3 /s a Iztapalapa y 4.4 m 3 /s a Nezahualcóyotl. Se deben ajustar entonces las demandas para lo cual se debe agregar 1 m 3 /s del pozo 3 para Iztapalapa, con lo que se desbalacea el pozo 3. Para balancear tanto las columnas como las filas es necesario realizar un ciclo cerrado como el que se muestra. Como se trata de transferir una unidad, en este caso 1 m 3 /s, se coloca el signo de más cuando se debe enviar una unidad más, y un signo de menos donde se debe disminuir en una unidad lo que se enviaba. Para balacear es necesario pasar por celdas que actualmente sean distintas de cero. El costo del ciclo en este caso será: c 13 = = -4 Si se realizara este cambio, entonces se ahorrarían $4 / m 3 /s. Cuadro 6.4. Ciclo de la celda (1, 3) del pozo 1 a Nezahualcóyotl Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl Demanda

6 Programación lineal Para las demás celdas, los ciclos y los costos de cada una son estos: (1, 2) -> (1, 1) -> (3, 1) -> (3, 2) -> (1, 2) c 12 = -4 (1, 3) -> (1, 1) -> (3, 1) -> (3, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) ->(1, 3) c 13 = -4 (2, 2) -> (2, 1) -> (3, 1) -> (3, 2) -> (2, 2) c 22 = -3 (2, 3) -> (2, 1) -> (3, 1) -> (3, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) ->(2, 3) c 23 = -3 (3, 3) -> (3, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) -> (3, 3) c 33 = 0.5 (4, 1) -> (4, 2) -> (3, 2) -> (3, 1) -> (4, 1) c 41 = +2 Como las celda (1, 3) y (1, 2) son las que permiten disminuir más el costo por unidad (m 3 /s), se debe escoger una de ellas pues se encuentran empatadas. En estos casos se puede escoger arbitrariamente, aunque se podría analizar cuál de los circuitos permite mover el mayor número de unidades y así disminuir más la fo. En el ejemplo se eligió la celda (1, 3) para mejorar el resultado. El siguiente paso es determinar cuantos m 3 /s se pueden transferir según el ciclo considerado. Debido a que el pozo 1 envía 2 m 3 /s a Iztapalapa, no se podrán dejar de enviar más que esos 2 m 3 /s. Es importante observar que a la celda (3, 2) y a la (4, 3) también se le disminuirán esos 2 m 3 /s. La nueva solución entonces será la que se muestra en el cuadro 6.5. Cuadro 6.5. Resultado de la primera iteración Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Demanda Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl x 21 = 2.5 m 3 /s x 31 = 2.5 m 3 /s x 42 = 2.2 m 3 /s x 13 = 2 m 3 /s x 43 = 1.4 m 3 /s El costo de esta solución es = $67.25, lo que significa un ahorro de $8 que corresponde a haber modificado la asignación de 2 m 3 /s a razón de $4 por metro cúbico. 162

7 Método de transporte Para saber si ya se ha llegado al menor costo posible, es necesario repetir el procedimiento anterior, para esta nueva tabla de transporte, hasta que no exista ningún casillero con un costo unitario negativo. La última tabla, cuadro 6.5, tiene 7 casilleros en cero, porque dos de ellos el (1, 1) y el (3, 2) se hicieron cero en la última iteración, por lo que será necesario calcular los costos unitarios de las cinco celdas restantes. Las celdas a analizar son: (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3) y (4, 1). La celda (1, 2) corresponde a enviar 1 m 3 /s del pozo 1 a LR, y el ciclo correspondientes es (1, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) -> (1, 3) -> (1, 2), con un costo asociado igual a cero. Para las otras cuatro celdas, cuando se intenta construir un circuito en el que todos los vértices excepto la celda analizada estén ocupados, no encontramos un camino posible. Esto se debe a que el problema entró en un caso conocido como degenerado; para poder aplicar el método es necesario que existan al menos n + m - 1 celdas con valores 0, donde n y m son números de orígen y de destino (filas y columnas en el cuadro) del problema. Como en la iteración anterior dos celdas se volvieron cero, mientras que solamente una que valía cero pasó a tener un valor mayor que cero, ya no se cumple con la condición anterior y el problema se degenera. Para resolver esta situación se le asigna un valor muy pequeño, є, a alguna de las celdas vacías actualmente. Puede ser en cualquiera de las celdas, sin embargo, en algunas no sirve. Por ejemplo, si lo colocamos en la celda (3, 2) y tratamos de ver el costo unitario de la celda (2, 2), el ciclo que se forma es +(2, 2), -(2, 1), +(3, 1), -(3, 2). Este ciclo tiene un costo negativo -3, pero como todo lo que puedo quitar es є, que es un valor muy pequeño, no permite mejorar la solución. En cambio, si colocamos є en la celda (4, 1), se puede observar para el ciclo correspondiente a la celda (2, 2) que ahora es +(2, 2), -(2, 1), +(4, 1), -(4, 2), y en este caso a la celda que contiene є le corresponde un signo +, por lo que habrá que sumarle cierta cantidad (cuadro 6.6). Cuadro 6.6. Ciclo correspondiente a (2, 2) Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Demanda Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl

8 Programación lineal Los costos unitarios de las celdas vacías ahora son: (1, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) -> (1, 3) -> (1, 2) c 12 = 0 (2, 2) -> (2, 1) -> (4, 1) -> (4, 2) -> (2, 2) c 22 = -1 (2, 3) -> (2, 1) -> (4, 1) -> (4, 3) -> (2, 3) c 23 = 0 (3, 3) -> (3, 1) -> (4, 1) -> (4, 3) -> (3, 3) c 31 = 2.5 Hay que señalar dos cosas: por un lado, una vez que se decide en qué celda se coloca є, deben evaluarse todas las demás celdas con esa nueva tabla sin modificar la posición de є; por otro lado, la celda (4, 1) no puede evaluarse ya que contiene el valor ficticio. Como la única celda con un costo negativo es la (2, 2), habrá que enviar toda el agua que se pueda desde el pozo 2 a Los Reyes, disminuyendo la cantidad que se envía a Iztapalapa, que se sustituye con agua proveniente del sistema Cutzamala que se dejará de enviar a Los Reyes. Esta cantidad es de 2.2 m 3 /s, con lo cual la asignación queda como se muestra en la tabla (cuadro 6.7), después de equilibrar oferta y demanda. x 21 = 0.3 m 3 /s x 22 = 2.2 m 3 /s x 41 = 2.2 m 3 /s x 31 = 2.5 m 3 /s x 43 = 1.4 m 3 /s Cuadro 6.7. Resultado de la segunda iteración Destino Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3 Cutzamala Demanda Iztapalapa Los Reyes Nezahualcóyotl El costo de esta solución es = $65.05, lo que resulta $2.20 menos. Se deben evaluar las celdas aún vacías y ver si alguna de ellas tiene un costo unitario negativo. Se observa que: 164

9 Método de transporte (1, 2) -> (1, 3) -> (4, 3) -> (4, 1) -> (2, 1) -> (2, 2) ->(1, 2) c 12 = +1 (2, 3) -> (2, 1) -> (4, 1) -> (4, 3) -> (2, 3) c 23 = 0 (3, 3) -> (3, 1) -> (4, 1) -> (4, 3) -> (3, 3) c 33 = +2.5 En este problema ya no hay posibilidad de mejorar la solución; por lo tanto, para enviar el agua a costo mínimo se debe enviar lo siguiente: Pozo 1: 2.0 m 3 /s a Nezahualcóyotl Pozo 2: 0.3 m 3 /s a Iztapalapa y 2.2 m 3 /s a Los Reyes Pozo 3: 2.5 m 3 /s a Iztapalapa Sistema Cutzamala: 2.2 m 3 /s a Iztapalapa y 1.4 m 3 /s a Nezahualcóyotl con un costo de $65.05 por segundo. Soluciones óptimas alternativas Cuando el costo de alguna de las celdas vacías o no básicas es cero, indica que podría hacerse distinto de cero el valor de la variable o celda correspondiente sin alterar el costo total. Dado que como todos los problemas de pl tiene infinitas soluciones posibles, no es raro que exista más de una solución con el mismo costo total, o el mismo valor de la fo. Ejemplo 6.2 En el siguiente cuadro se dan los datos de un problema en el que hay que trasladar cierta mercancía de tres distintos orígenes a tres distintos destinos. Se indican los costos unitarios, las cantidades ofrecidas y demandadas. Cuadro 6.8 Destino Oferta Demanda En este problema la oferta es de 500 unidades, mientras que la demanda es de 475 unidades, por lo tanto habrá 25 unidades que no deberán enviarse a ningún lado; sin 165

10 Programación lineal embargo, el método requiere que la oferta y la demanda sean iguales, por lo que se agregará una demanda ficticia de 25 unidades cuyo costo de transporte sea nulo. El cuadro inicial del método de transporte se muestra a continuación. Cuadro 6.9 Oferta Ficticia Disponible Al agregar la columna de una demanda ficticia, se cumple con la condición de equilibrio entre la oferta y la demanda. En el cuadro 6.9 se tiene la solución inicial: 1: 100 unidades al destino 1 2: 50 unidades al destino unidades al destino unidades al destino 3 3: 75 unidades al destino 3 25 unidades al destino ficticio, o sea, no se enviarán A partir de esta solución se tratará de mejorar la solución con el algoritmo aplicado al ejemplo anterior. Modelo de asignación Como caso especial del modelo de transporte están los modelos de asignación. Estos modelos son los apropiados para representar problemas en los cuales se trata de asignar, por ejemplo, maestros a grupos de alumnos o vendedores a zonas de la ciudad, etcétera. Se trata de asignar n personas a n puestos de trabajo, con la condición de que a cada persona se le asignará una y sólo una tarea, y que serán cubiertas cada una de las plazas con una persona. Además a cada persona se le pagará dependiendo de sus aptitudes y del trabajo que desempeñará. 166

11 Método de transporte Es claro que en estos problemas las variables x ij representan a la persona (i) y al puesto (j), esta variable toma el valor de uno si la persona es asignada al puesto, y el valor de cero si no lo es. La resolución de estos problemas puede hacerse con el método de transporte explicado en la sección anterior, aunque debido a su estructura específica se puede utilizar algún método especial para estos problemas, como el método húngaro, que no se presentara aquí ya que actualmente los programas de cómputo nos ayudan a resolver los distintos problemas sin necesidad de conocer algoritmos más económicos en tiempo. Lecturas complementarias Budnick (2007), en especial el capítulo 12. Hillier (2003), capítulo 7. Problemas de la unidad 6 Resuelve los problemas 3.18, 3.19, 3.20, 3.21 y 3.22 de la unidad