PRÁCTICA 5: Optimización de modelos lineales (continuos

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1 Grado en Administración de Empresas Departamento de Estadística Asignatura: Optimización y Simulación para la Empresa Curso: 2011/2012 PRÁCTICA 5: Optimización de modelos lineales (continuos y discretos) 1. Ejemplo Utilizaremos uno de los ejemplos desarrollados en las transparencias del Tema 2 (ejemplo 4). Optimización de modelos lineales (continuos). Una empresa elabora un aceite nuevo (REFI) refinando exclusivamente diferentes tipos de aceite y mezclándolos. Los tipos de aceite se clasifican en dos categorías: vegetales (VEG1 y VEG2) y no vegetales (OIL1, OIL2 y OIL3). Dependiendo del tipo de aceite, vegetal o no vegetal, se requiere una línea de producción distinta para refinarlo, por lo que se puede refinar un máximo de 200 toneladas de aceite vegetal y 250 de no vegetal. Además, se puede asumir que el coste del refinamiento es nulo y que durante este proceso no se producen pérdidas de peso. Por otro lado, existen restricciones de control de calidad que imponen cotas (inferior y superior) a la acidez del producto final: 1.4 y 1.8 unidades, respectivamente. Se puede asumir que la acidez se mezcla linealmente. La acidez y el coste de una tonelada de cada tipo de aceite se refleja en la siguiente tabla: Aceite VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3 Coste Acidez Cada tonelada de producto final se vende a un precio de 150 euros. Plantea el modelo que maximiza el beneficio neto. El problema se modela como se explica a continuación. Sea y el número de toneladas de producto final y x j el número de toneladas de cada uno de los aceites, j = 1, 2, 3, 4, 5 (1= VEG1, 2= VEG2, etc.). Todas estas variables son positivas. La función objetivo a maximizar es z = 150y 110x 1 120x 2 130x 3 110x 4 115x 5. 1

2 Para que las variables estén bien definidas, debe cumplirse que y = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5. Los límites de producción vienen dados por las restricciones x 1 + x y x 3 + x 4 + x Finalmente, los límites de acidez vienen dados por x x 2 + 2x x x 5 y 1.8. Pese a que inicialmente es una restricción no lineal, se transforma de manera inmediata en las restricciones lineales 2.2x x 2 + 2x x x 5 1.4y 0 y 2.2x x 2 + 2x x x 5 1.8y 0. Así, el modelo buscado es Max. 150y 110x 1 120x 2 130x 3 110x 4 115x 5 s.a x 1 + x 2 200, x 3 + x 4 + x 5 250, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 y = 0, 2.2x x 2 + 2x x x 5 1.4y 0, 2.2x x 2 + 2x x x 5 1.8y 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, y 0. Si resolvemos el problema con Solver, vemos (Figura 1) que la solución óptima es x = (200, 0, 0, 250, 0) e y = 450 para un beneficio neto de z = euros. 2. Análisis de sensibilidad Ahora que hemos resuelto el problema, puede parecer que ya hemos acabado. Sin embargo, en los problemas reales de optimización lineal, la resolución de un modelo rara vez es el final del análisis. Casi siempre es muy útil (e incluso necesario) realizar un análisis de sensibilidad para ver cómo cambia la solución si varían los datos (condiciones) del problema. Para ello, al resolver el modelo, solicitaremos ver el informe de sensibilidad (Figura 2). Al hacerlo, obtendremos un informe similar al que se ve en la Figura Costes reducidos En la primera parte del informe vemos información sobre las variables. Algunas tienen un valor distinto de cero y tienen un coste reducido nulo (por ejemplo, VEG1). Otras tienen valor nulo y coste reducido distinto de cero, como es el caso de VEG2. Esta variable tiene un coste reducido de-10. Eso significa que, sin cambiar las demás condiciones, usar una unidad de este aceite repercute en que los beneficios aumentan -10 euros (es decir, disminuyen en 10 euros). Es fácil verlo añadiendo la restricción x 2 1 al modelo. 2

3 Figura 1: Solución óptima Coeficientes de la función objetivo (análisis de costes) También en esta primera parte vemos que la variable REFI tiene un coeficiente de 150 (el beneficio bruto que ya sabíamos) con un aumento disponible de 1E30 (esto es, infinito) y una disminución disponible de 40. Esto significa que la solución no cambia si este beneficio aumenta todo lo que se quiera o disminuye en una cantidad inferior a 40 euros. Si el beneficio pasa a ser de 110 euros (=150-40), entonces la solución cambia. Un análisis similar podemos hacer, por ejemplo, con VEG2. Vemos que si su coeficiente aumenta en 10 euros (es decir, el coste se reduce en 10 pues el coeficiente pasa de -120 a -110), entonces la solución varía y comienza a ser rentable usar este aceite Precios sombra En la segunda parte del informe vemos que el precio sombra de la restricción Límite ref. vegetal es 40. Eso significa que, para esta restricción hemos llegado a su límite (observa que se está el máximo permitido de 200 toneladas, es decir, se trata de una restricción vinculante), pero que si ese límite superior se incrementase en una unidad (sin variar el resto de condiciones), entonces ganaríamos 40 euros más. O si disminuye en una unidad, entonces ganaríamos 40 euros menos. 3

4 Figura 2: Opción de análisis de sensibilidad. Figura 3: Informe del análisis de sensibilidad. Vemos además, que tenemos un aumento permisible de 175 y una disminución permisible de Eso significa que el precio sombra no variará mientras el lado derecho sea un valor del intervalo [ , ] = [62.5, 375]. Además, la estructura de la solución tampoco variará. Si excedemos esos límites, cambia el precio sombra y la estrategia de decisión (el aspecto de la solución) es distinto. Por ejemplo, si el lado derecho vale 220, la estrategia óptima es V EG1 = 220 y OIL2 = 250 (es decir, simplemente aumentamos V EG1 en tantas unidades como hemos aumentado el lado derecho). En cambio, si el lado derecho es 400, la solución óptima es V EG1 = , V EG2 = 9.09 y OIL2 = 250, por lo que vemos que ahora ya interesa utilizar también aceite VEG2. Además, el precio sombra pasa a ser Por otra parte, vemos que la restricción LI acidez tiene un precio sombra con valor nulo. Eso se debe que el lado izquierdo de la restricción no es igual al límite del lado derecho, es decir, es una restricción no vinculante. También se dice que su holgura es estrictamente positiva (las restricciones vinculantes tienen holgura con valor cero). 4

5 3. Incorporando nuevos aspectos al problema (i) El alimento final no puede contener más de tres tipos de aceite diferentes. (ii) Si el producto final contiene un cierto tipo de aceite, debe contener al menos 20 toneladas del mismo. (iii) Si la mezcla contiene algún tipo de aceite vegetal (VEG1 o VEG2), entonces también debe contener aceite no vegetal de tipo 3 (OIL3). Si queremos incorporar estas condiciones al problema sin cambiar el tipo de modelos con los que estamos trabajando (queremos que sigan siendo lineales), tenemos que usar variables binarias. Ahora además de decidir qué cantidad de cada tipo de aceite vamos mezclar, aparecen decisiones acerca de qué tipo de aceite se va a mezclar. Aparecen decisiones del tipo si/no, para indicar si se utiliza un tipo de aceite o no se utiliza. { 1 sí se utiliza el acetite de tipo i δ i = 0 no se utiliza este aceite 3.1. Número máximo de productos diferentes El alimento final no puede contener más de 3 tipos de aceite Según esto sólo tres variables δ i pueden ser igual a 1, como mucho. Esto se representa limitando a que la suma de las variables sea menor o igual que 3: δ 1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 + δ 5 3 Introduce estas variables en la hoja de cálculo, incorpora la restricción anterior y resuelve con Excel el nuevo problema. Qué observas? Ten en cuenta que la declaración de variables binarias en Solver se hace añadiendo la restricción que aparece en la Figura 4. Se obtiene la misma solución, con todas las variables δ i = 0, para todo i = 1,..., 5, pero se han usado los aceites VEG1 y OIL2 (x 1 = 200 > 0 y x 4 = 250 > 0). Qué está pasando? Para que las variables de uso (δ i, i = 1,..., 5) estén bien definidas, tenemos que relacionar las decisiones sobre qué tipo de aceite mezclar con las decisiones acerca de cuánto aceite mezclar de cada tipo. Si no se utiliza un tipo de aceite, entonces no se puede mezclar nada de ese tipo de aceite. En términos de nuestras variables: 5

6 Figura 4: Declaración variables binarias. Si δ i = 0, entonces x i = 0. Si δ i = 1, entonces x i 0. Cómo representarlo en forma de restricciones lineales? x 1 δ 1 x 2 δ 2 x 3 δ 3 x 4 δ 4 x 5 δ 5 Introduce estas nuevas restricciones en la hoja de cálculo y vuelve a resolver el problema con Solver. Qué observas? Para no acotar artificialmente la producción, las cambiamos por x 1 Mδ 1 x 2 Mδ 2 x 3 Mδ 3 x 4 Mδ 4 x 5 Mδ 5 con M suficientemente grande. Fija M = 10 6, modifica las restricciones, y vuelve a resolver el problema con Solver. Qué observas? Si M es demasiado grande, el modelo es muy malo y tenemos problemas para resolverlo. Es muy importante buscar un valor de M que sea ajustado. Sin que acote artificialmente la producción, tratar de que sea lo más pequeño posible. Por ejemplo, para nuestro problema: x 1 200δ 1 x 2 200δ 2 x 3 250δ 3 x 4 250δ 4 x 5 250δ 5 Modifica las restricciones, y vuelve a resolver el problema con Solver. Qué observas? 6

7 3.2. Nivel mínimo de producción Si el producto final contiene un cierto tipo de aceite, debe contener al menos 20 toneladas del mismo. En términos de las variables δ i, i = 1,..., 5 de uso: Si δ i = 1, entonces x i 20 x i 20δ i, i = 1,..., 5 Introduce estas nuevas restricciones en la hoja de cálculo y vuelve a resolver el problema con Solver. Qué observas? 3.3. Relaciones entre componentes Si la mezcla contiene algún tipo de aceite vegetal (VEG1 o VEG2), entonces también debe contener aceite no vegetal de tipo 3 (OIL3). En términos de nuestras variables: Si δ 1 = 1 ó δ 2 = 1, entonces δ 5 = 1 Cómo sabemos si una de las dos variables δ 1 ó δ 2 ha tomado el valor 1? Mirando la suma δ 1 + δ 2. La condición anterior es: Si δ 1 + δ 2 1, entonces δ 5 = 1 Esta condición se puede modelizar de dos formas: A partir de una única restricción: δ 1 + δ 2 2δ 5, A partir de dos restricciones: δ 1 δ 5, δ 2 δ 5. Introduce en la hoja de cálculo la primera de las restricciones δ 1 +δ 2 2δ 5. Elimina las restricciones que fuerzan a que las variables δ i sean binarias. Cámbialas por restricciones que fuercen a que sean menores o iguales a 1. Vuelve a resolver el problema y apunta la solución obtenida (niveles de producción óptimos y beneficio óptimo). Comprueba si la solución obtenida verifica las restricciones δ 1 δ 5 y δ 2 δ 5. Qué observas? cambia la restricción δ 1 + δ 2 2δ 5 por estas dos nuevas restricciones y vuelve a resolver el problema. Qué observas? Si nos olvidamos de que las variables δ i, i = 1,..., n tiene que ser binarias, el Modelo 1 (con la primera restricción) tiene más soluciones fraccionarias (con algún δ i no entero) que el Modelo 2 (con las dos últimas restricciones). De hecho, el Modelo 2 da una solución óptima entera. Por tanto, el Modelo 2 es mejor que el Modelo 1. 7

8 4. Ejercicios 1. En el ejemplo de esta práctica, supongamos que la empresa tiene que comprar los depósitos en los que va a almacenar los aceites que utilice. Cada tipo de aceite requiere un depósito independiente y la empresa está considerando 2 tipos de depósito diferentes: Tipo Capacidad (toneladas) Coste I II Construir un modelo que contemple la decisión sobre qué tipo de depósito adquirir para cada uno de los aceites considerados. 2. Una empresa debe decidir la composición de su cartera de inversiones, para lo que dispone de un capital de euros. La cartera debe estar compuesta por acciones en algunas de las siguientes compañías: Sector Compañía Rentabilidad Anual( %) Eléctrico Iberdrola 1.5 Endesa 7.5 Banca BBVA 3.0 Bankinter 4.0 SCH 5.0 Comunicaciones Telefónica 1.0 Petroquímico Repsol 2.5 Cepsa 1.8 BP 5.0 GALP 2.0 Además, puede dedicar parte de su inversión a un depósito a plazo fijo con una rentabilidad del 3 % anual. En cualquier caso, la empresa tiene algunas condiciones que limitan la elección. a) Debe invertir en al menos 5 compañías y tres sectores. b) No puede invertir más del 25 % de la inversión en acciones en una sola compañía concreta ni más del 50 % en un sector concreto. c) Si decide invertir en una compañía, debe invertir como mínimo euros. d) Si invierte en Endesa no podrá invertir en BP. e) Si invierte en el sector Petroquímico, debe invertir en Repsol. Crear un modelo de optimización discreta que permita determinar cómo distribuir las inversiones de la empresa de forma que se maximice el beneficio obtenido. 8