CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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1 COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO 11º Profesor: Lic. EDUARDO DUARTE SUESCÚN TALLER CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números. De particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se denota por R En este capítulo se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal es el conjunto de los números reales. Se revisarán en primer lugar algunas propiedades elementales de los números reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teoría de conjuntos a conjuntos de números. El conjunto de los números reales con sus propiedades se llama el sistema de los números reales. NÚMEROS REALES, Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por puntos de una línea recta. En la Figura, se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real viene representado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real, podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número s= 2,

2 Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos. El 0 mismo no es ni positivo ni negativo. ENTEROS, Los enteros son los números reales..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Se denotan los enteros por ; así que se escribe = {... -2, -1, 0, 1, 2,...,} 30 Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la operación división. NÚMEROS RACIONALES, Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por, así que, = {x x = p/q donde p, q } Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/1; por tanto, es un subconjunto de. Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es un número racional nueva NÚMEROS NATURALES, Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por ; así que = {1, 2, 3,...} Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de números:

3 Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural. Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por p mismo. He aquí los primeros números primos: NÚMEROS IRRACIONALES, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales en los números reales ; por eso se denotan los números irracionales por. Ejemplos de números irracionales son 3,, 2, etc. DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS El siguiente diagrama muestra los distintos conjuntos de números vistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los números complejos, que son los de la forma a bi, con a y b reales. Obsérvese que el conjunto de los números complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.) Números Complejos Números Reales Números Racionales Números irracionales Números Enteros Enteros Negativos Cero Números Naturales Números Primos

4 DESIGUALDADES Se introduce el concepto de «orden» en el sistema de los números reales por la Definición: El número real a, es menor que el número real b, lo que se escribe: a < b si b a es un número positivo. Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la relación a < b. Sean los números reales a, b y c; entonces: P1: O bien a < b, o a = b, o b < a. P2: Si a < b, y b < c, entonces a < c. P3: Si a < b, entonces a + c < b + c. P4: Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc. P5: Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac. Geométricamente, si a < b el punto a sobre la recta real está a la izquierda del punto b, También se indica a < b por b > a lo que se lee «b es mayor que a». Asimismo, se escribe a b o b a si a < o a = b, es decir, si a no es mayor que b. Ejemplo 1: 2 < 5; y 4 4; 5 > - 8. Ejemplo 2: La notación x < 5 significa que x es un número real menor que 5; así que x está a la izquierda de 5 en la recta real. La notación 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con lo que x estará entre 2 y 7 en la recta real. Observación 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relación a < b, se define mediante el concepto de número positivo. La propiedad fundamental de los números positivos que se utiliza para demostrar propiedades de la relación a < b, es que tales números son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación, hecho que, además, está ligado íntimamente al de que los números naturales también son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación.

5 Observación 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c números reales cualesquiera: (1) a a (2) Si, a b y b a entonces a = b. (3) Si a b y b c entonces a c. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por x Se define así: x si x 0 x = x si x < 0 Es decir que si x es positivo o cero, entonces x es igual a x, y si x es negativo, entonces x es igual a x. En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, esto es x que 0 para todo x R. Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de es la distancia del punto x de la recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntos cualesquiera, o sea entre dos números reales a y b, es a b = b a. Ejemplo 2-1: -2 = 2, 7 = 7, - = 3-8 = -5 = 5, 8-3 = 5 = 5, -3-4 = -7 = 7. Ejemplo 2-2: La relación Significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar entre - 5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo: x < 5 y - 5 < x < 5 tienen el mismo significado. De modo análogo Significan lo mismo x 5 y - 5 x 5

6 INTERVALOS Examínense los siguientes conjuntos de números: A1 = {x 2 < x < 5} A2 = {x 2 x 5} A3 = {x 2 < x 5} A4 = {x 2 x 5} Nótese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que están entre 2 y 5 con las excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 2 y 5 son los extremos de cada intervalo. Por otra parle, A1 es un intervalo abierto, pues no contiene los extremos: A2 es un intervalo cerrado, ya que contiene ambos extremos, y A3 y A4 son abierto- cerrado y cerrado-abierto respectivamente. Se representan gráficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue: A A A A 4 Obsérvese que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 2 y 5 y que se repinta el segmento entre los puntos dichos. Cuando un intervalo incluye un extremo, esto se hace ver llenando el círculo del extremo. Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas, se emplea: generalmente una notación abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalos anteriores se denotan, a veces, por A1 =]2. 5[A2 = [2. 5] A3 =]2. 5] A4 =[2-5[

7 Nótese que se usa un corchete al revés para designar un extremo abierto, es decir, un extremo que no pertenece al intervalo, y que se usa un corchete para designar un extremo cerrado. PROPIEDADES DE LOS INTERVALOS Sea f la familia de lodos los intervalos de la recta real. Se incluyen en f el conjunto vacío y los puntos a = [a, a]. Tienen entonces los intervalos las propiedades siguientes: (1) La intersección, de dos intervalos es un intervalo, es decir: A f, B f implica A B f (2) La unión de dos intervalos no disjuntos es un intervalo, es decir: A f, B f, A B implica A B f (3) La diferencia de dos intervalos no comparables es un intervalo, es decir: A f, B f, A B, B A implica A - B f. Ejemplo 3-1: Sean A = 2, 4), B = (3, 8). Entones A B = (3, 4), A B= [2, 8[ A B = [2, 3], B - A = [4, 8[ INTERVALOS INFINITOS Los conjuntos de la forma A = {x x > 1}, B = {x x 1} C = {x x < 3}, D = {x x 4}, E = {x x R} Se llama intervalos infinitos y se les denota también por A = (1, ), B = [2, [, C = (-, 3), D = ]-, 4], E =(-, ) Se representan estos intervalos infinitos sobre la recta real como sigue: A está repintado B está repintado

8 C está repintado D está repintado E está repintado CONJUNTOS ACOTADOS Y NO ACOTADOS Sea A un conjunto de números; se dice que A es un conjunto acotado si A es subconjunto de un intervalo finito. Una definición equivalente de acotación es Definición: El conjunto A es acotado si existe un número positivo M, tal que x = M Para todo x A. Un conjunto se dice no acotado si no es acotado. Nótese que, entonces, A es un subconjunto del intervalo finito [- M, M]. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Sea A = {1, ½, 1/3,...}. A es acotado, pues es un, subconjunto del intervalo cerrado [0. 1]. Sea A = {2, 4, 6,...}. A es un conjunto no acotado. EI conjunto A = {7. 350, , 42} es acotado. Observación 3-3: Si un conjunto A es finito, entonces es necesariamente acotado. Si un conjunto es infinito, puede ser acotado.

9 PROBLEMAS RESUELTOS CONJUNTOS DE NÚMEROS En los problemas siguientes, R, Q, Q', Z, N y P designan, respectivamente, los números reales, racionales, irracionales, enteros, naturales y primos. 1. Entre lo que sigue, decir que es verdadero y que Falso. (1) 7 N (6) -6 Q (11) 3 8 N (2) 2 Q (7) 11 P (12) 9 Q' 4 (3) 4 Z (8) 2 1 Z (13) - 2 Z (4) 9 P (9) 5 Q (14) 2 R (5) 3 Q (10) 1 R (15) 4 R (1) Falso. N solo contiene los enteros positivos; - 7 es negativo (2) Cierto. 2 no se puede expresar como razón de dos enteros, así que 2 no es racional. (3) Cierto. Z, el conjunto de los enteros, contiene todos los enteros, positivos y negativos, (4) Falso. 3 divide a 9, así que 9 no es primo. (5) Falso. N no es racional ni tampoco 3. (6) Cierto. Los números racionales incluyen a los enteros. Así, - 6 = (- 6/1). (7) Cierto. 11 no tiene divisores excepto 11 y 1; así que 11 es primo. (8) Falso. 2 1 no es entero. (9) Falso. 5 no es un número real; por tanto, en particular, no es un número irracional. (10) Cierto. 1 es un número real. 3 (11) Cierto. 8 2 que es un entero positivo.

10 (12) Falso. 9 = 3/2 que es racional. 4 (13) Cierto. Z consta de los enteros positivos y negativos. (14) Cierto. es real y también lo es 2. (15) Falso. 4 = 2i no es real. 2. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos R, N y Q'. N y Q' son ambos subconjuntos de R. Pero N y Q' no son comparables. Según esto, el diagrama lineal es R N Q 3. A cuales de los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P pertenece cada uno de los números siguientes? (1) - 3/4, (2) 13, (3) 7 (1) -3/4 Q. de 1os números racionales, ya que es la razón de dos enteros -3 y 4. Asimismo. -3/4 R, ya que Q R. (2) 3 P porque los únicos divisores de 13 son 13 y pertenece también a N, Z, y Q y R, pues P es subconjunto de cada uno de éstos. (3) 7 no es un número real; así, pues, no pertenece a ninguno de los conjuntos dados. 4. De los conjuntos R, Q, Q, Z, N y P, cuáles no son cerrados respecto de las operaciones de (1) adición, (2) substracción? (1) Q' y P. Por ejemplo, 2 Q' y 2 Q', pero Q'; 3 P y 5 P, pero P. (2) Q', N y P. Por ejemplo, 2 Q' pero Q'; 3 N y 7 N, pero 3-7 = - 4 N; 7 P y 3 P, pero 7-3 = 4 P.

11 DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 5. Valiéndose de la notación, escribir las afirmaciones siguientes: (1) a es menor que b. (4) a no es menor que b. (2) a no es mayor o igual que b. (5) a es mayor o igual que b. (3) a es menor o igual que b. (6) a no es mayor que b. Recuérdese que un trazo vertical u oblicuo que atraviesa un signo indica el significado opuesto del signo. Se escribe: (1) a < b, (2) a b, (3) a < b. (4) a < b. (5) a b, (6) a > b. 6. Insertar entre los siguientes pares de números el signo adecuado: <, > o =. (1) (3) (5) (2) (4) -5.3 (6) -. /2 Se escribe a < b si b - a es positivo a > b si b - a es negativo y a = b si b - a = 0. Entonces (1) 3 > - 9, (2) 4 > - 8, (3) 3 2 > 7, (4) -5 < 3, (5) 3 2 = 9, (6) - < /2. 7. Escribir las siguientes relaciones geométricas entre números reales con la notación de las desigualdades: (1) y está a la derecha de 8. (3) x está entre - 3 y 7.. (2) z está a la izquierda de 0. (4) w está entre 5 y 1. Recuérdese que a < b significa que a está a la izquierda de b sobre la recta real. De acuerdo con esto, (1) y > 8 o también 8 < y. (2) z < 0. (3) - 3 < x y x < 7, o mas brevemente, -3 < x < 7. (4) 5 > w y w >1, o bien w < 5 y 1 < w. O también 1 < w < 5. No es costumbre escribir 5 > w >1. 8. Calcular: (1) 3-5 (6) (2) (7) (3) (8) (4) (9) (5) (10) - - 5

12 (1) 3-5 = - 2 = 2 (2) = 2 = 2 (3) = - 8 = 8 (4) = 2-6 =-4. (5) = = 4-5 = - 1 (6) = = 8+2 = 10 (7) = = 3-3 = 0 (8) = = = 7 (9) = 2-6 = - 4 = 4 (10) = - 5 = 5 9. Escribir de manera que x quede sola entre los signos de desigualdad: (1) 3<x-4<8 (3) - 9 < 3x<12 (5) 3<2x-5<7 (2) 1 < x + 3 < 2 (4) - 6 < - 2x < 4 (6) -7 < - 2x + 3 < 5 (1) Súmese 4 a cada lado de 3 < x - 4 < 8 para tener 7 < x < 12. (2) Sumar - 3 a cada lado de - 1 < x + 3 < 2 para tener -4 < x < -1. (3) Multiplicar cada lado de - 9 < 3x < 12 por 3 1 y se tiene - 3 < x < 4. 1 (4) Por se tiene 4 < x < 6. 2 (6) Sumar - 3 a cada lado de - 7 < - 2x + 3 < 5 con lo que se obtiene - 10 < - 2x < 1 2. Ahora multiplicando por se invierten las desigualdades y resulta - 1 < x < Escribir sin el signo de valor absoluto: (1) x < 3, (2) x - 2 < 5, (3) 2x + 3 < 7. (1) - 3 < x < 3 (2) - 5 < x - 2 < 5 o - 3 < x < 7 (3) - 7< 2x + 3 < 7 o - 10 < 2x < 4 o - 5 < x < 2

13 11.Escribir con el signo de valor absoluto: (1) 2 < x < 6, (2) 4 < x < 10. Nótese primero que se escribe la desigualdad de modo que un número y su negativo aparecen en los extremos de la desigualdad. (1) Sumar - 2 a cada lado de - 2 < x < 6 y resulta lo que equivale a - 4 < x - 2 < 4 x - 2 <4 (2) Sumar - 7 a cada lado de 4 < x < 10 y resulta que equivale a 3 < x - 7 < 3 x - 7 < 3 12.Insertar el símbolo adecuado, o, entre los siguientes pares de números: (1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) Téngase en cuenta que a e b es cierto si a < b o si a = b, y que a b es cierto si a > b o si a = b. (1) -7, ya que 1 > -7. (2) -2-9, pues -2 > - 9. (3) Tanto como son ciertos, ya que 2 3 = 8 (4) 3 7, puesto que 3 < 7. (5) Tanto como son ciertos, porque 3 2 = 9. (6) 3-11, porque 3 2 > -11. INTERVALOS 13.Escribir los intervalos siguientes en forma constructiva conjuntista: (1) M = [-3, 5[, (2) S = ]3, 8[, (3) T - [0, 4], (4) W = ]-7, -2]. Recuérdese que el corchete invertido significa que el extremo no pertenece al intervalo; y que el corchete significa que el extremo pertenece al intervalo. Así, pues: M = {x -3 x < 5} S = {x 3 < x < 8}

14 T = {x 0 x 4} W = {x -7 < x -2} 14.Representar los intervalos R =]-1, 2], S = [-2, 2[, T =]0, 1[ y W = [1, 3] sobre la recta real. Para representar R, señálese primero cada extremo suyo - 1 y 2 con un círculo: Como el extremo 2 pertenece a R, repintar el círculo que rodea el 2: Por ultimo, repíntese la recta entre los extremos: Representación de R De la misma manera. Representación de S Representación de T Representación de W 15.Sean A = {x x < 3, B = {x x 2}, C = {x x 1} y D = {x x > - 1}. Representar los conjuntos sobre la recta real y escribir luego los conjuntos en notación de intervalos. Los conjuntos son todos intervalos infinitos. Enciérrese con un círculo el extremo y dibújese una semirrecta dirigida hacia el lado del extremo en que está el conjunto, como se muestra en seguida:

15 A B C D Con la notación de intervalos, los conjuntos se definen así: A =]-, 3[, B = [2, [, C = ] -, 1] y D =]-1, x [. Nótese que se usa corchete al revés del lado del símbolo de infinito. OPERACIONES CON INTERVALOS 16.Sean A = [-3, 1[ y B = [-1, 2]. (1) Representar A y B sobre la misma recta real. (2) Mediante (1), representar A B, A B y A - B sobre rectas reales. (3) Escribir A, A B y A - B en notación de intervalos. (1) Sobre la recta real, rayar A con trazos inclinados a la derecha (///) y rayar B con trazos inclinados a la izquierda (\\\\): A y B rayados (2) A B contiene los puntos de cada intervalo, esto es, los puntos rayados en la figura: A B lo repintado.

16 A B contiene solamente los puntos que están tanto en A como en B, o sea los puntos cubiertos con doble rayado: A B lo repintado. A - B contiene los puntos de A que no están en B, o sea los puntos rayados con //// pero fuera del doble rayado: (3) Los gráficos anteriores indican que A B = [-3, 2], A B = [- 1, 1[ y A B = [-3, 1[. 17.Dibujar sobre la recta real y escribir el conjunto que resulta en notación de intervalos; (a) {x x 1} {x -3 < x<2} (b) {x x< 2} {x x 0} (c) {x x - 3 < x 1} {x x > 2} (d) {x - 2 < x 3} {x x < 1} (e) {x - 3 x 0} {x -2 < x < 3} En cada caso, representar el conjunto de la izquierda con trazos //// y el de la derecha con trazos \\\\. (a) La intersección abarca los puntos doblemente rayados, o sea el conjunto [- 1, 2[. (b) La unión consta de todos los puntos rayados; estos forman el conjunto]-, [, toda la recta real. (c)

17 La intersección es el conjunto vacío, ya que no hay puntos con doble rayado, es decir, no hay ningún punto que esté en ambos intervalos. (d) La unión es el intervalo infinito ] -, 3]. (e) La intersección cs el conjunto de puntos con doble rayado, es decir, el conjunto ]- 2, 0]. Problemas propuestos CONJUNTOS DE NUMEROS 18. Decir si es cierto o falso: (1) Q (3) - 3 N (5)7 P (7)-5 Z (9)15 P (ll)2/3 Z (2) 3 2 (4) 1 Q (6) 3 R (8 3 R (10) 3 2 Q (12)2 Q DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 33. Escribir las afirmaciones siguientes con la notación de orden: (1) x no es mayor que y. (3) r no es menor que y. (2) El valor absoluto de x es menor que 4. (4) r es mayor o igual que t. 34. Entre los siguientes pares de números insertar el símbolo correcto: <, > o =, siendo x un numero real cualquiera. (1) (3) ( 5 ) (7) (2) x.-3 (4) /3 (6) - x...1 (8) Escribir las relaciones geométricas entre los números utilizando la notación de las desigualdades: (1) a está a la derecha de b. (2) x está a la izquierda de y. (1) r está entre 5 y Calcular: (1) 4-7 (4) (7) (2) (5) (8) (3) (6) l1-5 (9)

18 37. Escribir de modo que x quede sola entre los signos de desigualdad: (1) - 2<X - 3<4 (3) < 4 X < - 8 (5) - 1 < 2x - 3 < 5 (2) - 5 < x + 2 < 1 (4) 4 < - 2x < 10 (6) - 3 < 5-2x < Escribir sin el signo de valor absoluto: (1) x 8, (2) x 3 < 8, (3) 2x + 4 < Escribir con el signo de valor absoluto: (1) - 3 < X < 9, (2) 2 x 8. (3) -7 < x < Demostrar P 5 : Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac. (Nota: Se da por sentado que el producto de un número negativo y un número positivo es negativo.) INTERVALOS 41. Escribir los siguientes intervalos en forma constructiva: A = [-3,1[, B= [1, 2], C = ]- 1, 3], D = ]-4, 2[. 42. Entre los conjuntos del Problema 41, cuál es (1) un intervalo abierto, (2) un intervalo cerrado? 43. Representar los conjuntos del Problema 41 sobre la recta real. 44. Escribir los siguientes intervalos infinitos con la notación de intervalos: R = {x = < 2), S = {x x > -1}, T = {x x < - 3). 45. Representar los conjuntos del Problema 44 sobre la recta real. 46. Sean A = [- 4, 2[, B = ]- 1, 6[, C = ] -, 1]. Hallar y escribir con notación de intervalos (1) A B (3) A B (5) A C (7)A -C (9) B C (11) B C (2) A B (4) B - A (6) A C (8) C - A (10) B C (12) C B CONTENIDOS DEL TALLER TOMADOS DE: SEYMOUR y LIPSCHUTZ, Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Ed. Carvajal, Colección SCHAUM, Cali, JUAN M. SILVA - ADRIANA LAZO, Matemáticas, Biblioteca Científica Tecnológica. Primera Edición. Ed. Limusa. México COMPILACIÓN: Rolando René Elizalde Córdova