CUN GUIA # 1 CONJUNTOS

Transcripción

1 GUIA # 1 CONJUNTOS SÍMBOLOS = Llaves, que indican conjunto = slach, que significa tal que, (tales que) = pertenece, se utiliza para indicar que un elemento forma parte de un Conjunto determinado. = no pertenece, sirve para indicar que un elemento no esta en un conjunto dado. = contenencia sirve para indicar que un conjunto es subconjunto de propio de otro. = no contenencia, con el se indica que es un conjunto no es un subconjunto propio de otro. = fi, indica el conjunto vació. U = nos indica el conjunto universal. = nos da a entender la unión entre dos o mas conjuntos. = nos indica la intersección entre dos o mas conjuntos. = o, disyunción.

2 = y, conjunción., = complemento de A. = diferencia simétrica o triangular. = diferencia. = producto cartesiano. n A = números de elementos de A. n A B = números de elementos de la unión B. ~ = no negación. = entonces implica condicional. = si solo si, equivale ó bi condicional. = existe un, cuantificador existencial. = para todo, cuantificador universal. F V = paréntesis internos. = paréntesis externos. = indicativo de proposición falsa = indicativo de proposición verdadera = su lectura depende de donde este ubicada la variable a leer P = existe un que cumpla una condición dada. Z Q P = existe toda que cumpla una condición. = conjunto de números naturales = conjunto de números enteros = conjunto de números racionales = conjunto de números irracionales R C = conjunto de números reales = conjunto de números complejos

3 2.1 Definiciones Conjunto: es la colección de objetos especificados en tal forma que se puede firmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colección. Es importante hacer notar que cuando se listan los elementos de un conjunto no debe aparecer un elemento más de una vez dentro de la lista. Notación: se usan letras mayúsculas para darles un nombre. Igualando la letra a una serie de objetos, estos son encerrados entre { } y la lista de objetos es separada por comas. Por lo que se dice que un conjunto se describe ya sea listando todos sus elementos entre llaves. O bien encerrando entre llaves una regla que determina los elementos del conjunto. En este caso se emplea que significa "tales que" o "tal que". En forma simbólica: A = {X P(X)} = {X1, X 2,..} Significa A es el conjunto de todas las X tales que P(X) es verdadera, como X 1, X 2, etc. a) A = Conjunto de animales A = {perro, gato, tigre} Significa A es el conjunto de los animales, perro, gato y tigre. b) S = {X X es el nombre de un varón} = {Pedro, Omar, Jorge} Significa A es el conjunto de nombres de varones, como Pedro, Omar, Jorge Miembro o Elemento del Conjunto: es cada uno de los objetos de un conjunto. a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, el miembro 1 o elemento 1 es perro; el miembro 2 o elemento 2 es gato; y el miembro 3 o elemento 3 es tigre. b) S = {X X es un dedo de la mano} Significa que S es el conjunto de todas las X tales que X es un dedo de la mano Pertenencia: cuando un elemento es o pertenece a un conjunto dado. Notación: Si "a" es un elemento del Conjunto A, y si "g" no es un elemento del Conjunto A, en forma simbólica se expresa como: a A g A a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, se encuentra el perro por lo que se dice que "perro es un elemento del Conjunto A". b) Y también puede decirse que "la flor no es un elemento del Conjunto A".

4 2.2 Conjuntos con Nombres Específicos Conjunto Vació o Nulo: es aquel conjunto que no tiene elementos. Notación: Se representa por una. a) S = { } b) S = {X X es un dinosaurio haya sobrevivido hasta la era moderna} c) S = {X X 2 = 3 y además x es un número entero} Conjunto Finito: es el conjunto cuyos elementos pueden ser contados. a) S = {X X es el número de un día del mes de agosto}. b) S = {X X 2 = 4} Conjunto Infinito: es el conjunto cuyos elementos no pueden ser contados, es decir si se intenta contarlos nunca se terminaría. S = {1, 3, 5, 7,..} S = {X X es un punto sobre la recta numérica} 2.3 Métodos para representar un conjunto Método de la Regla: como su nombre los dice se encierra entre llaves una regla que determina los elementos del conjunto. Donde regla son los principios que rigen al conjunto Método del Listado: se listan todos los elementos del conjunto y se encierran entre llaves. Regla S = {X X es un día de la semana} Listado S = {Sábado, Domingo} S = {X X 2 = 9} S = {-3, 3} S = {X X es un número natural impar positivo } S = {1, 3, 5} S = {X X es un animal doméstico} S = {X X es un dedo de la mano} S = {perro, gato} S = {meñique, anular} S = {X X es el número de un día del mes de agosto} S = {1, 2, 3, 4,.., 29, 30, 31}

5 Problema: Sea G el conjunto de todos los números tales que x 2 = 16 a) Especifique G por el método de la regla b) Especifique G por el método del listado Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F) c) 3 G d) 9 G e) -4 G Solución: Regla a) S = {X X 2 = 16} b) S = {-4, 4} Listado c) 3 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Falso = F d) 9 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V e) -4 G Como -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V f) -2 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V 2.4 Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. Notación: A B significa "A es un subconjunto de B". Si no todos los elementos de un conjunto A es elemento del conjunto B, se dice que A no es un subconjunto de B. Notación: A B significa "A no es un subconjunto de B". Nota Importante: el conjunto vació es un subconjunto de todo conjunto. Por lo que si A es cualquier conjunto, entonces A. a) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de mujeres, entonces : B A b) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de flores, entonces : B A c) Si A es el conjunto de todas las mujeres estudiantes de un grupo y B es el conjunto de todo el grupo, entonces : A B d) Si A es el conjunto de todas las mujeres profesionistas y B es el conjunto de un grupo de estudiantes, entonces : A B, ni B A. Problema: Liste todos los subconjuntos del conjunto A = {a, b, c} Solución: { a, b, c }, { a, b }, { a, c }, { b, c}, { a }, { b }, { c},

6 2.5 Igualdad de los conjuntos Si el conjunto A y el conjunto B tienen exactamente los mismos elementos se dice que los dos conjuntos son iguales. Se emplea en forma común el símbolo ==> para indicar "implica". Notación: A = B significa "A es igual a B porque A y B tienen exactamente los mismos elementos". a) A = {Paty, Jorge, Rafa}; B = {Paty, Jorge, Rafa} ==> A = B b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = { X es un número del 1 al 5} ==> A = B c) A = {X X 2 = 9}; B = {-3, 3} ==> A = B 2.6 Desigualdad de los conjuntos Si el conjunto A y el conjunto B no tienen exactamente los mismos elementos se dice que los dos conjuntos son diferentes. Notación: A B significa "A es diferente a B porque A y B no tienen exactamente los mismos elementos". a) A = {Patricia, Jorge, Rafa}; B = {Patricia, Jorge, Raquelito} ==> A B, porque Rafa y Raquelito son diferentes personas. b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {10, 20, 30, 40, 50} ==> A B c) A = {X X 2 = 9}; B = {-2, 2} ==> A B Problema: Se tiene el conjunto A de todas las mujeres estudiantes de un grupo y el conjunto B de todo el grupo que es mixto, y que está formado por: Ana, Beto, Cecilia, Daniel, Esperanza: a) Especifique A por el método de la regla b) Especifique A por el método del listado c) Especifique B por el método de la regla d) Especifique B por el método del listado Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F) e) Jimena A f) Tito A g) Beto B h) manzana B i) B A j) A B k) A B l) B = A

7 Solución: CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR Regla a) A = {X X es mujer estudiante de un grupo} c) B = {X X es un grupo mixto de personas} Listado b) A = {Ana, Cecilia} d) B = {Ana, Beto, Cecilia, Daniel, Esperanza} e) Jimena A. Dado que Jimena no se encuentra en lista b) ==> Jimena A ==> F. f) Tito A. Dado que Tito no se encuentra en lista b) ==> Tito A ==> V. g) Beto B. Dado que Beto se encuentra en lista d) ==> Tito B ==> V. h) manzana B. Dado que manzana es fruta y no se encuentra en lista b) manzana B ==> F. i) B A. Dado que B contiene 5 personas y A solo dos ==> B A ==> F. j) A B. Dado que A tiene dos personas que se encuentran en la lista del conjunto B ==> A B ==> F. k) A B. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> V. l) B = A. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> F. 2.7 Conjunto Universal Es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Notación: el conjunto universal se representa por "U". Nota Importante: el resto de los conjuntos de la discusión deben ser subconjuntos de U. a) Si U = {X X son los días de la semana}; A = {X es semana inglesa}; B = {X es día impar (empezando con lunes)} y C = {X X es el número de letras del día correspondiente y X < 9}, entonces: U = {X X son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} A = {X es semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}; B = {X es día impar (empezando con lunes)} = {lunes, miércoles, viernes, domingo} C = {X X es el día de la semana, cuya palabra tiene un número de letras menor que 9} = {lunes, martes, jueves, viernes, sábado, domingo}, y puede concluirse que: A U, B U, C U

8 2.8 Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son ayudas útiles para visualizar las relaciones entre conjuntos. Notación: se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal. Un conjunto específico A se representa por medio de un círculo. Donde A U y se grafica de la siguiente manera: 2.9 Operaciones elementales de Conjuntos Unión La unión de los Conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos de A y todos los elementos de B. La Unión puede ser entre dos o más conjuntos. Notación: la forma simbólica de representar A unión B es: = {X X A o bien X B} Aquí se emplea la partícula (letra) "o" en la forma en que siempre se ha utilizado en matemáticas; es decir, x puede ser un elemento del conjunto A, o bien del conjunto B, o bien de ambos. En diagramas de Venn: Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la unión está asociada a la palabra "o". a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces: = {2, 3, 5, 7, 8, 9} Son los elementos que estén en A o que estén en B. En Diagramas de Venn: b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: = {Guillermo, Jorge, Kelvin, Luga, María, Tere} En Diagramas de Venn:

9 2.9.2 Intersección La Intersección es entre dos o más conjuntos. Así la Intersección de los Conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos del conjunto A que también pertenecen al conjunto B. Notación: la forma simbólica de representar A Intersección B es: = {X X A y X B} Aquí se emplea la partícula "y" en la forma en que siempre se ha utilizado en matemáticas; es decir, x es un elemento que pertenece al conjunto A y también pertenece al conjunto B, es decir pertenece a ambos conjuntos. En diagramas de Venn: Conjuntos Ajenos o Disjuntos Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, su intersección es vacía. En este caso se dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, es decir: A B = Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la intersección está asociada a la palabra "y". a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces: = En diagramas de Venn: b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: = {Tere} En diagramas de Venn:

10 2.9.4 Complemento El complemento de A (con relación a U), que se representa como A', es el conjunto de los elementos de U que no son de A. Notación: la forma simbólica de representar A' es: A' = {X U X A} A' En diagramas de Venn: Ejemplo: a) Si U = {2, 3, 5, 7, 8, 9}, y A = {2, 7, 8} entonces: A' = {3, 5, 9} En diagramas de Venn: EJEMPLO FINAL Si A = {c, f, i}; B = {c, d, e, f, g}, y C = {d, e, g}, entonces: a) = {c, d, e, f, g, i} y en diagrama de Venn: b) = {c, f} y en diagrama de Venn: c) = porque A y C son ajenos y en diagrama de Venn: d) C' con relación a B es C' = {c, f} y en Diagrama de Venn: e) = {d, e, g} y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que = C.

11 f) C B y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que (C B) = = C g) A B h) ( ) B y en diagramas de Venn: Diferencia A - B La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos de A que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. Notación: La forma simbólica de representar la diferencia de los conjuntos A y B es: A - B = {X X A y X B} A - B y B-A en diagramas de Venn: En la siguiente figura A - B se representa por el área oscura; B - A por el área clara y por el área gris del centro. Notas Importantes a cerca de A - B: Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes operaciones: a) A - B = A B' = B' - A' b) A - B =, si y solo si, A B c) A - B = B - A, si y solo si, A = B d) A - B = A, si y solo si, A B = e) (A - B) A f) Los conjuntos (A - B), A B y (B-A) son mutuamente disjuntos, es decir, la intersección de dos conjuntos cualesquiera es vacía. Ejemplo: a) Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S - T = {a, c} b) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. Entonces A - B = {2, 4, 5} y puede decirse que {2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ===> (A - B) A c) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: A - B = {María, Jorge, Luga} En diagramas de Venn:

12 2.10 Leyes de operaciones con conjuntos Se listan a continuación las leyes más importantes que rigen las operaciones con conjuntos: Leyes de Complemento Leyes de Complemento 1) (A')' = A 2) ' = U 2') U' = 3) A - A = ; A - = A; A - B = A B' Leyes de Identidad Leyes de Identidad 4) A = A 4') A U = A Leyes de Identidad 5) A U = U Leyes de Idempotencia 6) A A = A Leyes de Complemento 7) A A' = U Leyes Asociativas 8) (A B) C = A (B C) Leyes Conmutativas 9) A B = B A Leyes Distributivas 10) A ( B C) = (A B) (A C) Leyes de Morgan 11) (A B)' = A' B' Leyes de Morgan 12) A - (B C) = (A - B) (A - C) Leyes de Identidad 5') A = Leyes de Idempotencia 6') A A = A Leyes de Complemento 7') A A' = Leyes Asociativas 8') ) (A B) C = A (B C) Leyes Conmutativas 9') A B = B A Leyes Distributivas 10') A ( B C) = (A B) (A C) Leyes de Morgan 11') (A B)' = A' B' Leyes de Morgan 12') A - (B C) = (A - B) (A - C)

13 2.11 Teoremas de operaciones con conjuntos Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas, cuando los conjuntos de que se trata son comparables: Teorema 1) Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección de A y B es precisamente A, es decir: A B ==> A B = A Teorema 2) Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y B es precisamente B, es decir: A B ==> A B = B Teorema 3) Sea A un subconjunto de B. Entonces B' es un subconjunto de A', es decir: A B ==> B' A' Teorema 4) Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y (B-A) es precisamente B, es decir A B ==> A ( B - A) = B 2.12 Problemas resueltos Problema 1 Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar: a) A B b) B A c) B' d) B - A e) A' B f) A B' g) A' B' h) B' - A' i) A B' j) (A B)' Solución: a) La A B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A B = {a, b, d, e} b) La B A consta de los elementos que son comunes A y a B, es decir, B A = A B = {b, d} c) B' costa de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c} d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, es decir, B - A = {e} e) A' = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A' B = {e} f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A B' = {a, b, c, d}

14 g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' B' = {c} h) B' - A' = {a} i) Según (b), A B = {b, d}; luego (A B)' = {a, c, e} j) Según (a), A B = {a, b, d, e}; luego (A B)' = {e} Problema 2 En el diagrama de Venn que sigue, rayar: a) A (B C) b) (A B) (A C) c) A (B C) d) (A B) (A C) Solución: a) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha (color azul ) y rayar (B C) con trazos inclinados a la izquierda (color rojo), entonces A (B C) es el área con doble rayado. b) Primero rayar (A B) con trazos inclinados a la derecha y (A C) con trazos inclinados a la izquierda, entonces (A B) (A C) resulta ser ) es el área con doble rayado como se muestra en seguida : En esta gráfica puede notarse que : (A B) (A C) = A (B C) c) Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha y se raya (B C) con trazos inclinados a la izquierda; así resulta ser A (B C) el área total rayada. d) Primero se raya (A B) con trazos inclinados a la derecha y se raya (A C) con trazos inclinados a la izquierda; (A B) (A C) es el área con doble rayado. Nótese que (A B) (A C) = A (B C)

15 Problema 3 Demostrar: B - A es un subconjunto de A'. Solución: Sea x perteneciente a B - A. Entonces x B y x A; por tanto, x es elemento de A'. Si x (B - A) ==> x A', y por lo tanto B - A es subconjunto de A'. Problema 4 Demostrar: B - A' = B A. Solución: B - A' = {x x B y x A'} = {x x B y x A} = B A Problema 5 Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C tengan las siguientes características : a) A B, C B, A C = b) A B, C B, A C c) A C, A C, B C = d) A (B C), B C, C B, A C Solución: a) A B, C B, A C = b) A B, C B, A C c) A C, A C, B C = d) A (B C), B C, C B, A C

16 Tareas de repaso: 1- Defina por extensión los siguientes conjuntos : a) el conjunto de vocales. b) el conjunto de los números irracionales. c) el conjunto de países de América del sur con costas en el Océano Pacifico. d) El conjunto de pre-grados de esta universidad. e) El conjunto de los números naturales mayores que 8 y menores o iguales a 30. f) El conjunto de los números impares primos menores a Definir por comprensión los siguientes conjuntos: a) lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, domin go b) B = {bandera, escudo, himno nacional} c) C 2,4,6,8,10 d) D ={3,6,9,12,15,18} e) E ={-3,-6,-9,-12,-15,-18...} 3- Escriba al frente si la afirmación es correcta en incorrecta: 2,3,5, a, e, i 3,5 C a, e D 2,i a) 3 b) C c) a D d) C e) i D

17 4. Dado: Dado: U ={1,2,3,4,a, b,c, f} U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A ={1,2,3, a} A ={1,3,6,8,10} B ={3,4,a, b,c } B ={2,4,5, 6,8 } C ={3,4,a, c, f} C ={1,4,6, 10} D ={a, b,c f} D ={ } Determinar para cada uno de los datos anteriores y representar gráficamente. a) A B b) A C c) B D d) B C D e) C D f) (A C) g) (AC)B h) (A-B)C INVESTIGACIÓN: Mediante el uso de los diagramas de Venn, desarrollar los siguientes ejercicios y responder las preguntas solicitadas. 1. En un lote de animales hay 100; 20 tienen aftosa,30 ranilla y 10 que tienen ambos síntomas: Se pregunta: a) Cuantos animales tienen aftosa o ranilla? b) Cuantos animales tienen ambos síntomas? 2. De los 110 estudiantes de un curso: 46 pierden matemáticas, 38 física, 26 química. De estos: 26 pierden matemáticas y física, 14 física y química, 18 matemáticas y química y 8 estudiantes pierden las materias. a) Cuantos no pierden ninguna materia? b) Cuantos solo física y matemáticas? c) Cuantos solo química? d) Cuantos pierden de a 2 materias? e) Cuantos pierden de a 1 materia?