Colegio Centro América. Cuaderno de ejercicios Matemáticas

Transcripción

1 Colegio Centro América Cuaderno de ejercicios Matemáticas Nombre: Séptimo grado: Profesora: Urania Zepeda. Objetivo 1:

2 Objetivo 1: Determinar el valor de verdad de proposiciones simples y construir tablas de verdad de proposiciones compuestas utilizando las reglas de los diferentes conectivos lógicos. Proposiciones simples y compuestas. La Lógica es el conjunto de métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas: p, q, r... En lógica se distinguen dos tipos de proposiciones: Proposiciones Simples: está conformado por un solo enunciado. Ejemplos: 4+4= 8 Nicaragua está en América del Sur Proposiciones Compuestas: está conformado por dos o más enunciados unidos por conectivos lógicos. Ejemplos: Si 4 es número primo, entonces 5 es impar. Un ángulo agudo mide 90 y el ángulo llano mide 180. Nombre Conectivo lógico Símbolo Disyunción o Conjunción y Implicación Si entonces... Doble implicación si y sólo si Las tablas de verdad se utilizan en lógica simbólica para establecer la validez de las proposiciones. La construcción de tablas de verdad simplifica la tarea de determinar la verdad o falsedad de una proposición. Tabla de verdad de la conjunción La conjunción de dos proposiciones simples p q (se lee p y q), sólo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. Tabla de verdad de la disyunción La disyunción de la proposiciones simples p q (se lee: p o q ) es falsa si ambas son falsas. Tabla de verdad de la implicación o condicional En la implicación el primer término se denomina antecedente y el segundo consecuente. La implicación es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación es una conectiva lógica que se denotará con una flecha p q, se lee: Si p entonces q. Tabla de verdad de doble implicación o bicondicional La doble implicación es una conectiva lógica que se denotara con una flecha p q, se lee: p si y sólo si q. La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si ambas son falsas. La negación Es solo un modificador del valor de verdad. Se simboliza y significa no.

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4 Ejercitación I. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, y en aquellas que lo sean identificar cuáles proposiciones son simples y cuáles compuestas. 1. Qué calor! 2. Hace calor. 3. Es sábado. 4. No es cierto que Juan habla francés 5. Llueve es un número primo. 7. Si llueve, entonces las calles están mojadas. II. Sea p = 15 es múltiplo de 3 q = 3 es un número primo. Escriba el significado las siguientes proposiciones compuestas. 1) ~~p 2) ~p q 3) p q 4) q ~p

5 III. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica y determina su valor de verdad. p: El león es un mamífero. q: El tucán no es un ave. r: El tiburón es un pez. 1) El león es un mamífero o el tucán no es un ave. 2) El tucán no es un ave si y solo si el tiburón es un pez. 3) Si el león no es un mamífero entonces el tiburón es un pez. 4) El tucán es un ave y el tiburón no es un pez. IV. Determina el valor de verdad de las proposiciones compuestas por medio de tablas. 1) ~(p q) ~r 2) ~(~p ~q) p 3) (p ~q) r 4) (q r) p 5) p ~q 6) (~p r) (q r)

6 Conjuntos Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. A = {a, b, c, d, e, f} Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x A. En caso de que el elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y A. Existen diferentes formas de enunciar a los conjuntos: Por extensión: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo / que significa tal que". En forma simbólica es: A = {x x P(x)} que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición. Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos. Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos. Ejemplo. Dada la descripción verbal el conjunto de las letras vocales, expresarlo por extensión y comprensión. Solución. Por extensión: V = {a, e, i, o, u} Por comprensión: V = {x x es una vocal} Clasificación de los conjuntos Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no posee elementos. Se denota por: ϕ. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto. A = (x x son los alumnos de séptimo grado que aprobaron noveno grado. ) Conjunto universal: Es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo. A = {x x son los animales} Conjunto finito: Es aquel cuyos elementos pueden ser contados. A = {x x son los días de la semana} Conjunto infinito: Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida. A = {x x son los números enteros} Conjunto unitario: Es aquel que se distingue por tener solo un elemento. A = {x x mes del año que se escribe con la letra e} A = {enero} Cardinalidad: Es la cantidad de elementos que posee un conjunto. Ejemplo: A = {2,4,6,8} La cardinalidad del conjunto A se denota de la siguiente forma: n(a) = 4

7 Objetivo 2: Clasificar conjuntos, teniendo en cuenta sus características y el número de elementos que poseen y definirlos por extensión y comprensión, determinando su conjunto potencia. I. Dados los siguientes conjuntos realiza lo que se te pide. Conjunto A = { x x es número par mayor que 10 y } menor que 18 Escritura por comprensión o extensión. Clasificación Cardinalidad B = {2,4,6,8} C= {x/x es un número primo mayor que 12 y menor que 16} E = {meñique, anular, medio, índice. pulgar} F = {x/x es un número par menor que 10} II. Determina el conjunto potencia de: 1) A = {a, e, i, o, u} 2) B = {5,10,15} 3) C = {4,8} 4) D = {10,20,30}

8 Objetivo 3: Resolver ejercicios y problemas efectuando operaciones entre conjuntos, representándolos mediante diagramas de Venn. Operaciones con conjuntos Unión Intersección Diferencia Complemento Se unen los elementos de A con los elementos de B Son los elementos que se repiten en A y B Son los elementos que están en A pero no en B Son los elementos que están en el universo pero no en el cojunto A A B A B A-B A c

9 Dados los siguientes conjuntos U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {0,1,2,3,4} B = {2,4,5,6,7} C = {5,10} Ejercitación Efectúa las siguientes operaciones y representa gráficamente la solución mediante diagramas de Venn: 1) (A B) C = 2) A C B = 3) (A C) B = 4) B C C = 5) C A =