es verdadera, como x 1,x2,
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- Victoria San Segundo Martin
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1 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa MTEMÁTICS ÁSICS TEORÍ DE CONJNTOS DEFINICIÓN DE CONJNTO n conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento x 1 pertenece a un conjunto se expresa de forma simbólica como: caso de que un elemento y 1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: y 1 x 1. En 1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo que significa tal que". En forma simbólica es: { x P( x) { x,x,x, que significa que el conjunto es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P ( x) es verdadera, como x 1,x2, x3, etc 1. 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos 2. 4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos. Dada la descripción verbal el conjunto de las letras vocales, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.,x n Solución. Por extensión: V { a,e,i,o,u Por comprensión: V { x xesunavocal Por diagrama de Venn: a o i e u V 1 La notación ( x) P no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un conjunto. 2 En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el número de elementos que posee el conjunto. 1
2 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar. Solución. Por extensión: P { Mercurio,Venus,Tierra,Marte, Júpiter,Saturno,rano, Neptuno,Plutón Por comprensión: P { x xesunplanetadelsistemasolar Por diagrama de Venn: rano Neptuno Marte Saturno Plutón Júpiter Mercurio Venus Tierra P Si cada elemento de un conjunto es también un elemento del conjunto, se dice que es un subconjunto de. La notación significa que está incluido en y se lee: es subconjunto de o está contenido en. Si no todos los elementos de un conjunto son elementos del conjunto, se dice que no es subconjunto de. En este caso la notación significa que no es un subconjunto de. Gráficamente, esto es: En los ejemplos anteriores, si F { a,e,o es el conjunto de las vocales fuertes y S { Mercurio,Venus es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que: F V y que S P. De la misma forma, nótese como: F P, S V, F S y S F. La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos η o #. De los conjuntos anteriores: ηv ( ) 5, ηf ( ) 3, ηp ( ) 9 y ( ) 2 2 ηs.
3 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa CONJNTOS CON NOMRES ESPECÍFICOS n conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por {. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto. φ x { x son losdinosauriosquevivenenlaactualidad { { x x son los hom bresmayoresde300años { x x son números positivos menores que cero φ n conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo. x xsonlosdíasdelasemana { { lunes,martes,miércoles, jueves,viernes,sábado,domingo { x x son losdías de la semana inglesa { lunes,martes,miércoles, jueves,viernes { x x son losdíasdel findesemana { sábado,domingo { x x son losdíasdela semana con menos de siete letras { lunes,martes, jueves,sábado C Nótese cómo:,, C n conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. J x { xeselnúmerodeundíadelmesde junio K { x x 2 4 L { x xeslacantidaddeautosenlaciudaddeméxico n conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida. N 1, 35,, 7, 9, 11, { { 2, 4, 6, 810,, { x xes la cantidaddepuntosenunalínea M 12, Q Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo. R 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 S R S { { x xesundígito Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo. 3
4 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa D { x x 2 9 { E 2,2 D E Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo. W x Z { x son lasestacionesdelaño { x xesunpuntocardinal ( W ) 4 ( Z ) 4 η η W Z Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto. En el ejemplo anterior: Primavera Verano Otoño Invierno Norte Sur Este Oeste W Z OPERCIONES CON CONJNTOS La unión de los conjuntos y es el conjunto de todos los elementos de con todos los elementos de sin repetir ninguno y se denota como. Esto es: { x x o x 4
5 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía { { durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía,durazno,melón, plátano La intersección de los conjuntos y es el conjunto de los elementos de que también pertenecen a y se denota como. Esto es: { x x y x mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía { { durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano { uva,naranja, sandía 5
6 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo: mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía { { limón, fresa, pera,mandarina,cereza E E φ El complemento del conjunto con respecto al conjunto universal es el conjunto de todos los elementos de que no están en y se denota como '. Esto es: ' { x x ' ' { mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón, plátano { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía { kiwi, pera,cereza,durazno,limón,melón, plátano La diferencia de los conjuntos y (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a y no pertenecen a y se denota como. Esto es: { x x y x
7 Facultad de Contaduría y dministración. NM Teoría de conjuntos utor: Dr. José Manuel ecerra Espinosa mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía { { durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano { mango,ciruela,manzana { durazno,melón, plátano Se puede advertir como. Sean los conjuntos: a,b,c,d,e, f,g,h,i, j,k,l,m,n { { a,d,e,g,h, k,l,n { a,c, f,g, k,l,m Obtener: a) b) c) ' d) ' e) f) g) ' h) ' i) ' ' j) ' ' k) ( )' l) ( )' 7
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