TEORIA DE CONJUNTOS COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS:

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1 TEORI DE CONJUNTOS COMPETENCI EN TEORI DE CONJUNTOS: PLIC L TEORÍ DE CONJUNTOS PR MODELR Y RESOLVER PROLEMS, EXPRESNDO UN COMPORTMIENTO SOLIDRIO, COLORTIVO Y PRTICIPTIVO CON SUS COMPÑEROS.

2 CONJUNTO Ciertos conceptos en matemáticas son primitivos, indefinibles, estos conceptos son: el número natural, el punto, la recta, el conjunto, etc. Sin embargo como noción intuitiva un conjunto se define como un sinónimo de colección, agrupación, reunión de integrantes homogéneos o heterogéneos. los integrantes que pertenecen a esta agrupación se les llama elementos del conjunto. Notación: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (,,C,D,.) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,..). sí el conjunto de los diez primeros números naturales positivos: N 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10 Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N. Determinación de un conjunto: (I) POR EXTENSIÓN: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. 2; 4;6;8 M a;e;i;o; u 1;8;27;64;...;1000 (II) POR COMPRENSIÓN: Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: x tal que x SESIÓN N 04 x / x es par;2 x 8 x / x es una vocal C = {x³ / x N ; x 10 } RELCIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Relación De Pertenencia Es una relación que vincula un elemento con un conjunto. * Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece * Si no está en un conjunto, se dice que no pertenece Ejemplo: Dado: 2;3; 5;6 sí diremos que: ; Relación De Inclusión O Subconjunto Se dice que el conjunto está incluido en, si todos los elementos de están en. Se denota como: está incluido en Si: x x Ejemplo: n;3;5 4;n;m;6;3;p;5 Se observa que todos los elementos de son también elementos de, luego:. PROPIEDDES *Pr opiedad reflexiva : * Pr opiedad antisimetrica : Si : * Pr opiedad transitiva : Si : C C

3 3. Relación de igualdad de conjuntos Dos conjuntos y son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: Dos conjuntos y son iguales si y solo si, es subconjunto de y es subconjunto de. 4. Relación de coordinabilidad de conjuntos Dos conjuntos y son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. Cuando dos conjuntos son coordinables tienen el mismo número de elementos. 1; 3;5;7;9 son coordinables a;e;i;o; u Graficándolos: Ejercicios Propuestos: 1).- Determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: = {x / x N ; 1 < x 5} = {x / x N ; 3 x 6} C = {x 2 / x N ; 5 x 8} D = { 2x 1 / xn ; x = 3} 5 2).- Expresa por extensión el conjunto: = { x / x Z 4 x < 9 } a) {16, 25, 36, 49, 64} b) {15, 24, 35, 48, 63} c) {4, 5, 6, 7, 8} d) {27, 36, 47, 60, 68} e) {17, 26, 37, 50, 65} 3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: = {x / x N x 4} a) {4, 5, 8, 13, 20} b) {0, 1, 2, 3, 4} c) {5, 8, 13, 20} d) {0, 4, 5, 8, 13} e) 4).- Expresa el conjunto: = { 3x 2 / x N 2< x 5 } por extensión. a) {7,10} b) {10, 13, 16} c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10} e) {3, 4, 5} Cardinal de un conjunto a e ii o u 5).- Determina por extensión el conjunto y dar respuesta la suma de sus elementos: = {x / x Z - 3 < x <3 } a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6).- El conjunto E = {x N / 32 < 4x < 60, x es número compuesto} determinado por extensión es: a) {8,9,10,14} b) {8,10,14} c) {8,14} d) {9,10,12,14} e) N.. El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(). 2;4;7;9 n 4 M a;b; m;n n M 3 2, 3;2;2;5;6;7 n 5 7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: = { x 2-3 / x N 2 x 5 } a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5} c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22} e) {1,5,13,22} 8).- Si el conjunto R={7a + 4, b 3, 25} es un conjunto unitario, calcule b 25 a a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5

4 9).- Hallar a + b si = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 10).- Dado el conjunto unitario: = {a + b, a + 2b 3, 12}, calcule a 2 + b 2 a) 60 b) 7 c) 80 d) 90 e) ).- Los conjuntos ={a 3 + 1,10}, = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b. a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 12).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto: ={2n + 1, 13, m-n} es unitario. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 13).- Si se sabe que ={m+n, m+2n-2, 10} es un conjunto unitario. Dar el valor de 3m 2 -n 2 a) 198 b) 188 c) 178 d) 168 e) ).- Si los conjuntos y son iguales y unitarios, calcular a + b + c si : = {a + 3, 3b + 1}, = {6c + 1, 8c - 1} a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 15).- Dado los conjunto unitarios: = {m, 3}, b = {n, 7}. Hallar m + n a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 16).- Dados los conjuntos unitarios: = {x + 7,2x + 5} ; = {y 3,5y 15}. Hallar el valor de x + y. a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 17).- Sean los conjuntos iguales y, = {x + 7,6}; = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como respuesta x.y. a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 e) 12 19).- Dados los conjuntos unitarios: = {3a + 1; 7}, = {3; b+c} y C = {2; bc} Donde: b > c Calcular: a 2b + 3c a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6 20).- Si los conjuntos y son iguales: = {3a + 5; 7} y = {b/3 2; 5} Calcular b a a) 26 b) 27 c) 18 d) 16 e) 28 21).- Si los conjuntos y son unitarios: = {2m; 12; n + 2} = {20; 5p; q} Calcule la suma m + n + p + q a) 36 b) 40 c) 48 d) 46 e) 60 22).- Determina por extensión el siguiente conjunto: = {x / x Z -3< x 4} Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 43 b) 18 c) 35 d) 38 e) 42 23).- Si el siguiente conjunto es unitario: Calcula ( m + p 2 ) P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 } a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67 24).- Si el siguiente conjunto es unitario: Calcula ( a + b ) H = { a+15 ; b 2 4 ; 45 } a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37 a) 11 b) 20 c) 30 d) 33 e) 12 18).- Si, y C son unitarios ={a + 4,b-2, 2a-4} ; = { b 3, c 3 }; C ={ c 1, d 4 } Hallar a + b + c + d

5 1. CONJUNTO FINITO Cuando el conjunto tiene un determinado número de elementos diferentes. Ejemplos: 3;6;9;12 1;3;5;7;...;29 2. CONJUNTO INFINITO Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene límite. Ejemplos: x / x es un número real x / x es un planeta deluniverso 3. CONJUNTO VCIO Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como: *l conjunto vacío se le considera incluido en cualquier otro conjunto. *El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal: n 0 Ejemplos: = {x N / x² - x 1 = 0 } = {x N / 5 < x < 6 } 4. CONJUNTO UNITRIO Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: SESIÓN N 05 CLSES DE CONJUNTOS = {ety } C = { } 5. CONJUNTO UNIVERSL U Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares. U M N 6. CONJUNTO POTENCI Se llama conjunto potencia de, al conjunto formado por todos los subconjuntos de y se le denota como P. Ejemplos: a. Dado: 4;7 Su conjunto potencia será: P 4 ; 7 ; 4;7 ; b. Dado: 2;3;4 P 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ; 3;4 ; 2;3;4 ; El número de elementos de P o número de subconjuntos de, está dado n P 2 por: Donde n representa el númerode elementos del conjunto. Ejemplos: 4;7 n P 2 4 Si: Si: Si: a; b;c;d;e 2;3;4 n P 2 8 n P 3 2 n P 2 32 Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto, su número de subconjuntos n propios será: 2 1.No se considera el mismo conjunto. 5 = {x N / 2 < x < 4 }

6 PROPIEDDES 1) P, puesto que 2) P, puesto que 3) P 4) Si P P 5) Si P P 6) P P P 7) P P P OPERCIONES ENTRE CONJUNTOS 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) Para dos conjuntos y se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de, de o de ambos. Se denota como. x / x x U x / x x Si: 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; Luego: 3 ; 4 ; 5 PROPIEDDES ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 1) Idempotencia 2) Conmutativa 3) C C sociativa 4) Si : 5) 6) U 7) Si : y son disjuntos 8) C U C 9) Si: C 10) C C C C Si: 2;3;4;6 1;3;4;5 Luego: 1; 2;3;4;5;6 PROPIEDDES 1) Idempotencia 2) Conmutativa 3) C C sociativa 4) 5) 6) Si : 7) Si y son disjuntos n n n 8) Si y son dos conjuntos no compa rables, con una región común : n n n n 2. INTERSECCIÓN Para dos conjuntos y se llama intersección de y al conjunto formado por los elementos que pertenecen a y a (elementos comunes). Se denota como. 3. DIFERENCI ( ) Para dos conjuntos y, se llama diferencia de con, al conjunto formado por todos los elementos de, que no son elementos de, Se denota por. = {x/ x x } Si: 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego: 6 ; 8 PROPIEDDES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) U 8)

7 4. DIFERENCI SIMETRIC Para dos conjuntos y, se llama diferencia de y, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de y ; pero no pertenecen a la intersección de y. Se denota por: = { x/ x ( U ) x ( ) } Formas usuales: ' x / x U x PROPIEDDES 1) ' U 2) U'= 3) ' U 4) '= U 5) '= 6) ' ' Ejemplo: 7) ' ' ' Leyes de Morgan ' ' ' Si: 2, 3, 4, 6, 7, 8 Hallar: C 1, 3, 4, 5, 9 U Como: C Si: 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 1 Luego: ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2; 4 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 5. COMPLEMENTCIÓN Para dos conjuntos y, donde es un subconjunto de. Se denota C; se lee complemento de respecto a. C * El complemento de un subconjunto respecto del conjunto universal U. C 1, 3, 4, 5, 9 2, 3, 4, 6, 7, 8 C 1, 5, 9 1, 5, 9 Rpta. PRODUCTO CRTESINO Dados los conjuntos y, se llama producto cartesiano de por, al conjunto formado por todos los pares ordenados a ; b, tales que a y b. Se denota por: a ; b / a b Ejemplo: Si: 1 ; 2 ; 3 1 ; 2 U C ' U

8 Hallar: 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2 Grafica de NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si: O n n n 2 Propiedades ) a ;b a b 2) ; 3) O O 4) C C 5) C C 6) C C 7) n n n 8) Si: C C Diagonal de un Conjunto: Si: y son dos conjuntos cualesquiera n n n Si: y son conjuntos tales que n n n n Dado el conjunto, la diagonal del producto que se denota, se define por: x ; y Ejemplo: a ; b ; c 1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar: y Si: C O n C n n n C n n C n C n C a ; a ; b ; b ; c ; c C 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4

9 PR ORDENDO: Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a;b) Se cumple que: a ;b b ;a Si: a ;b c ;d a= c b= d Para los problemas : sólo 2: y 3: sólo 1 y 2: 2 y 3: 1, 2 y 3: ó C 1 : sólo 3: sólo 7: sólo C 2: sólo y 4: sólo y C 6: sólo y C 5:, y C 25: y 45: y C 56: y C

10 SESIÓN N 06 c) 9 5,9 d) e) 5, 2 1 Si: 3,6 2,4,6 Hallar la suma de los términos del conjunto: a) 10 b) 12 c)14 d) 13 e) 11 2, 3, 4,6 3 Luego: 2, 3, 4,6 3 2, 4,6 Piden: Hallar: x 3y, si: 3 x 2x 1, y 5 23, 2 3 a) 14 b) 13 c)11 d) 15 e) 16 Solución: Por pares ordenados iguales * 2x 1 23 x * y 5 y Luego piden: Si: 5, 2,9 Señale la expresión falsa: a) 2 b) 2 Se observa en el conjunto que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5,9, luego 5,9, lo falso seria (d). 4 4 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3 Del gráfico, se tiene: * y w z15 41 y+ w+ z= 26.. ( I ) * w w= 13 * y y= 10 Reemplazando en ( I ) z 26 z 3 Rpta. 5 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 41 Estudian 15 y z w Formando ecuaciones: x 3 13 x= 10 y 3 4 y= 1 Trabajan 17 con bigote calvos 13 4 z x 3 y

11 z 17 z 3 Rpta. 6 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 x : # banderas que tienen 3 colores No hay banderas de un solo color R De la figura se tiene que: 25 x x 35 x 15 x x x= 5 Rpta. 7 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 F 25 x x 15 x 35 x 19 x x 23 x T 19 x x 23 x 8 En un grupo de 55 personas, 25 hablan Inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38 Del grafico se tiene que: a b c x y z 50. ( I ) a x y 20 b y z 27 c x z 28 a b c 2x y z 75. ( II ) ( I ) en ( II ) 50 x y z 75 x y z 25 Rpta. 9 Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos? a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. I 25 F 32 Recordado que: n # Subconjuntos 2 = a x n 6 = # Subconjuntos = 64 Rpta. y 5 c z b 33 x 13 Rpta.

12 10 Sean y dos conjuntos contenidos en un universo, si:. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) b) O c) d) ' e) ' Como: Quiere decir que y son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: (Verdadero) O (Falso) (Verdadero) ' (Verdadero) (Verdadero) ' O Rpta. 11 Si: 12 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56 Determinar el conjunto dado por compresión a) {x² + 1 / x N Ʌ x 7 } b) {x² + x / x N Ʌ x 6 } c) {x ( x + 1) / x N Ʌ x 7 } d) {x² + x / x N Ʌ 1 < x < 8 } e) {x² + x / x N Ʌ x < 8 } 2, 6, 12, 20, 30, 42, , 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8 Lo elementos son de la forma: x x 1 Donde: x 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Rpta. {x ( x + 1) / x } N Ʌ x Cuantos sub conjuntos tiene = { (x 2)² / x ZɅ -1 x <5 } a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a. x 1, 0, 1, 2, 3, 4 Reemplazando en: x 2 2 9, 4, 1, 0, 1, 4 9, 4, 1, 0 Total de sub conjuntos es: Rpta. 13 Si 3, 6 2, 4, 6 Hallar la suma de los términos del conjunto: a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13 U = { 2, 3, 4, 6 } 3 Luego: 2, 3, 4, 6 3 2, 4, 6 Piden: Rpta. 14 La diferencia simétrica de dos conjuntos y se define: x / x Si se define los conjuntos: U = { x / x N Ʌ x < 10 }

13 x / x U x es divisor de 12 x / x U x es impar Cuántos elementos tiene C? a) 1, 3, 8 b) 1, 4, 8 c) 1, 8, 3 d) 3, 1, 8 e) n.a. U 1, 2, 3,..., 9 = { 1, 2, 3, 4, 6 } 1, 3, 5, 7, 9 2, 4, 6, 5, 7, 9 C 1, 3, 8 Rpta. 15 Dado: n m, n+ p, 8 m p, 10 Unitarios Hallar: m n p a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 m n n p m= p m p 10 2m= 10 De donde: m p 5 n m 8 n= 3 Luego: m n p 3 Rpta. 16 Si: # P 256 # P # P 64 Calcular: # P U a) b) c) 360 d) 512 e) # P # 8 6 # P 64 2 # 6 4 # P 16 2 # 4 # # # # Rpta. # P 2 17 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. Cuántos hombres estudian R.M.? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a. H 28 M El número de mujeres que no estudian R.M. es: El número de hombres que estudian R.M. está dado por: x Rpta. x De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Inglés, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. Cuántos hablan dos de dichos idiomas?

14 a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a. Hablan Ingles: I 46 Hablan Castellano: C 40 Hablan Francés: F 35 Hablan 2 Idiomas: x y C I F Luego: I C F x x 46 x y y 35 y 80 De donde se tiene que: xy 41 Rpta. 19 Se tiene los conjuntos,, C subconjuntos de los números naturales, es el conjunto de los múltiplos de 3, es el conjunto de los múltiplos de 4 y menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia: C a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3,, C N 46 x y 40 x x y 35 y x / x 3 0;3;6;...;3n x / x 4 x 24 Por lo tanto la suma de los elementos: 12 3 Rpta. 20 Se tiene 2 conjuntos y tal que la unión de y tiene 36 elementos, el número de elementos de es a la mitad del número de elementos de. Los elementos comunes de y son la mitad de los elementos no comunes, hallar el número de elementos de. a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80 (1) n n n 2n n Se sabe: n n n n 36 n 2n n 3n n 36 demás: n n n 2n 2n n n 2n 4n 3n De (1) y (2) n 12 n 16 n 32 Rpta. 0;4;8;12;16; 20 C x / x esdivisor de 48 C 1; 2;3;4;8;12;16; 24;48 C 1; 2 1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

15 2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15% 4. Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos? I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas 5. Sean: 1, 2, 3 y 4, 5 Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? * 2, 4 * 4, 2 * 5, 2 * 3, 4 * 3, 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a. 6. Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos? a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto contiene uno o más elementos que no contiene, diremos que es un subconjunto propio de. II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal III. l conjunto universal se le designa el valor de 1 IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto. a) VFVV b) FVVV c) VVVV d) VVFV e) FVFV 7. Si se determina por comprensión el conjunto: M 0, 2, 4, 8, 10, 12,... se tiene: a) M x / x es un número par b) M x / x 2n ; 0 n c) M x / x N; N= serie de números pares d) } e) n. a. 8. Dado el conjunto: 3 2 F x / x 2x 2x 2 0 Cuál es su valor determinado por extensión? a) F 1, 0, 2 b) F 2, 1, 1 c) F 2, 1, 0, 1 d) F 1, 1, 2 e) n.a. 9. qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) UC b) C c) C d) C e) UC C

16 10. Si el conjunto: = {x / x³ + 4x² - 11x 30 = 0 }se intersecta con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a. 11. En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta un libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) l encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. Cuántos fueron los alumnos encuestados? a) b) c) d) e) En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes, de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 primeros. Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) El conjunto: C C C equivalente a: a) CC b) c) C d) C e) El conjunto universal 15. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal de Tv. Y el 50% no ve el canal, si el 55% ve el canal o el canal, pero no los dos canales, el porcentaje de la población que ve ambos canales es: a) 20% b) 18% c) 13% d) 12% e) n.a. 16. De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. Cuántas personas van a los 3 lugares? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. Cuántas mujeres eran solteras? a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. Cuántos días la vio en ambas horas? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Determinar por extensión: a) 0, 1, 2, 3, 4, 5 b) 1, 2, 3, 4, 5 c) 1, 2, 4, 5 d) 1, 2, 3, 5 e) 1, 2, 3, 4

17 20. Sean y dos conjuntos tales que: n 24 n 10 n 6 Hallar: 5n 4n a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) Para un conjunto x, el número de elementos de x dentamos por n(x) y P(x) denota al conjunto de subconjuntos de x, según esto, si n()=4; n()=3 y n 2. Hallar la suma: n P P n P a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 e) Dado el conjunto y los subconjuntos, y C, se tiene los siguientes datos: n(u)=44 ; n()=21 ; n()=17 n C 14 ; n C 12 n C' 3 ; n C 5 y n C ' 6. Hallar: n(c) a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) Si n() 8 ; n() 8 ; n(c) 5 y n(d) 5, el número máximo de elementos de UC es k y el número máximo de elementos de D es h. Hallar el valor de h.k a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley, además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente un deporte y, el total de personas que practican exactamente dos deportes; Hallar x-y a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) Supóngase que Mary come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. Cuántas mañanas come solamente huevos? a) 7 b) 6 c) 9 d) 5 e) De 120 personas de una universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso, 62 alumnos estudian el curso, 36 alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. Cuántos alumnos estudian exclusivamente 2 cursos? a) 25 b) 20 c) 9 d) 28 e) De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades? a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) Si los conjuntos y son tales que: n 30 ; n 12 y n 10 ; Hallar: n n a) 30 b) 39 c) 40 d) 28 e) De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas, y C se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos menos 40 leen ; 15 leen y pero no C; 6 leen y C pero no ; 10 leen solo C. El número de los que leen y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen solo es el mismo que el total de los que leen y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente. a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60

18 30. Si: Hallar: n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Siendo: } } Calcular la suma de los elementos de P Q? a) 18 b) 16 c) 21 d) 20 } } b d b d c b a b d a e b a e d e 32. En un instituto de 77 alumnos, se sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los que estudian sólo un idioma son 28 más, de los que sólo estudian 2 idiomas. Si además son 3 las personas que estudian los 3 idiomas. Determinar cuántos estudian solo dos idiomas? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) Un club tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. Cuántos figuran exactamente en 1 deporte? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) Según la figura. Cuáles son las zonas que representan a: a) 5 b) 5 c) 5, 2 d) 5, 2, 3 e) n.a. CLVES: ' C ' U C c c a b c d c e e d a c c d d e e c

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