Operadores en espacios de Hilbert

Transcripción

1 Operadores en espacios de Hilbert Jorge E. Hernández U. EMALCA-Panamá de octubre de 2013 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

2 Resumen En este trabajo presentamos los proyectores (ortogonales) como un problema de la mejor aproximación y estudiamos sus propiedades fundamentales. En particular, damos una caracterización de los proyectores para obtener una descomposición del espacio como suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Basados en esta descomposición representamos mediante matrices a los operadores lineales continuos y esta representación matricial nos permite estudiar, desde un ángulo diferente, a los operadores lineales positivos. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

3 Problema Dados un espacio X con producto interno, un subconjunto no vacío K de X y x X. Existirá un y 0 K tal que x y 0 = inf{ x y : y K} = d(x, K)}? Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

4 Proyección métrica Consideramos P K (x) = {y K : x y = d(x, K)} A cada elemento de este conjunto lo llamaremos una mejor aproximación de x por elementos de K y a la función P K : X P(K) x P K (x) la llamaremos proyección (métrica) sobre K. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

5 Denominaciones Si P K (x) para todo x X, diremos que K es proximal. Si P K (x) es un conjunto unitario para todo x X, diremos que K es un conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a P K como una función univaluada. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

6 Preguntas Existencia: Cuáles son los conjuntos proximales? Unicidad: Cuáles son los conjuntos de Chebyshev? Caracterización de la mejor aproximación: Cómo se reconocen? Error de la aproximación: Cómo se calcula el error de la aproximación d(x, K)? Continuidad de la aproximación. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

7 Existencia y unicidad Teorema Sean X un espacio con producto interno y K un subconjunto no vacío convexo y completo de X. Entonces para cada x X existe un único y X talque x y = d(x, K) es decir, K es un conjunto de Chebyshev. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

8 Caracterización Teorema Sean X un espacio con producto interno, Y un subespacio cojmpleto de X y x X. Entonces z := x P K (x) Y es decir < z, y >= 0 para todo y Y. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

9 Corolario Sean H un subespacio Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y z : x P Y (x) Y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

10 Consecuencias Descomposición Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio cerrado de H, entonces para todo x X se tiene x = y + z donde y = P Y (x) Y, z Y. Luego, como Y Y = {0} se tiene que H = Y Y Si x H es tal que x = y + z con y Y, z Y, entonces y = P Y (x). Además, Y = Y y X = Y Y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

11 Ejemplo Sea Y un subespacio de dimensión finita n de un espacio de Hilbert H. Por el proceso de Gram-Schmidt podemos encontrar una base ortonormal B = {e 1, e 2,... e n }. Luego, para x H se tiene que P Y (x) = n α i e i i=1 z = x P Y (x) Y Para todo i = 1, 2,..., n se tiene < x P Y (x), e i > = < x, e i > < P Y (x), e i > = < x, e i > < n j=1 α je j, e i > = < x, e i > n j=1 α j < e j, e i > = < x, e i > α i de donde α i =< x, e i > y P Y (x) = n < x, e i > e i j=1 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

12 Propiedades del operador proyección Propiedades 1 P Y es lineal. P Y es acotado y P Y = 1. Ker(P Y ) = Y. Ran(P Y ) = Y. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

13 Propiedades del operador proyección Propiedades 2 P Y (x) = x, para todo x X. P Y /Y = I Y. (P Y ) 2 = P Y. Es decir P Y es idempotente. P Y = I P Y, osea P Y + P Y = I. Ker(P Y ) = Ran(P Y ), Ran(P P Y ) = Ker(P Y ). < P Y (x 1 ), x 2 >=< x 1, P Y (x 2 ) >=< P Y (x 1 ), P Y (x 2 ) >. (P Y ) = P Y. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

14 Proyección ortogonal Definición Sean H un espacio de Hilbert y P : H H un operador lineal acotado. Decimos que P es una proyección ortogonal si P es autoadjunto e idempotente, o sea P = P 2 = P. Observación: Si Y es un subespacio cerrado de H, P Y y P Y son proyecciones ortogonales. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

15 Descomposición Teorema Sean H un espacio de Hilbert y P : H H una proyección entonces H = Ker(P ) Ran(P ) Demostración Ker(P ) es un subespacio cerrado de H, por lo tanto H = Ker(P ) (Ker(P )). Además Ker(P ) = (Ran(P )) = (Ran(P )) y como Ran(P ) es cerrado (Ker(P )) = ((Ran(P ) ) = Ran(P ) Así, pues H = Ker(P ) Ran(P ) Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

16 Teorema Sea P : H H una proyección. Entonces P = P Y, donde Y = Ran(P ). Demostración Sabemos que H = Ran(P ) (Ran(P )) = Ran(P ) Ker(P ). Sea x H, entonces x = y + z con y Ran(P ), z Ker(P ) = (Ran(P )). De donde P Ran(P ) (x) = y, P (x) = P (y) + P (z) = y, Así, P Ran(P ) (x) = P (x), x H Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

17 Operadores positivos Definición Sean H un espacio de Hoilbert y T : H H un operador lineal autoadjunto (T = T ). T es un operador positivo si En este caso escribimos T 0. < T (x), x > 0, x X Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

18 Relación de orden Sobre la base de la definción anterior, podemos dotar al conjunto de los operadores lineales acotados y autoadjuntos en un espacio de Hilbert de una relación de orden parcial, como sigue: para todo x X. T 1 T 2 T 2 T 1 0 < T 1 (x), x > < T 2 (x), x > Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

19 Espacios complejos Relación de orden Si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

20 Las proyecciones son positivas Teorema Sea H un espacio de Hilbert, Y un subespacio cerrado de H. Entonces P Y es un operador positivo. < P Y (x), x >=< (P Y ) 2 (x), x >=< P Y (x), P Y (x) > 0 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

21 Representación matricial de operadores Denotemos por B + (H) al conjunto de los operadores lineales acotados y positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sean Y un espacio cerrado de H, P la proyección sobre Y y T un operador lineal acotado sobre H. Entonces P T P + P T (I P ) + (I P )T P + (I P )T (I P ) = P T P + P T P T P + T P P T P + T P T T P + P T P = T Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

22 Representación matricial Notaciones t 11 = P T P/Y B(Y ) t 12 = P T (I P )/Y B(Y, Y ) t 21 = (I P )T P/Y B(Y, Y ) t 22 = (I P )T (I P )/Y B(Y ) Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

23 Representación matricial Sean x = y + z Y Y con y Y, z Y Entonces t 11 (z) = 0,t 12 (y) = 0, t 21 (z) = 0, t 22 (y) = 0 Por lo tanto [ t11 t 12 t 21 t 22 ] [ y z ] = t 11 (y) + t 12 (z) + t 21 (z) + t 22 (y) = t 11 (y + z) + t 12 (y + z) + t 21 (y + z) + t 22 (y + z) = (t 11 + t 12 + t 21 + t 22 )(z) = T (x) Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

24 Representación matricial Identificación Así, podemos hacer la identificación [ t11 t T = 12 t 21 t 22 ] B(H) Además, si T B + (H) t 12 = (P T (I P )) = (I P ) T P + (I P )T P = t 21 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

25 Representación matricial El caso T B + (H) Por lo tanto podemos escribir [ a b T = b c ] donde a = t 11, b = t 12, c = t 22. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

26 Representación matricial Observación Notemos además que para todo y Y y para z Y < a(y), y >=< P T P (y), y >=< T (P (y)), P (y) > 0 < c(z), z >=< (I P )T (I P )(z), z >=< T ((I P )(z)), (I P )(z) > 0. Por consiguiente a B + (Y ) y c B + (Y ) Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

27 Representación matricial Ejemplo Si T = P = P Y, entonces T B(H): a = t 11 = P T P/Y = P P P/Y = P/Y = I Y. b = t 12 = P T (I P )/Y = P P (I P )/Y = P (P P )/Y = 0. c = t 22 = (I P )T (I P )/Y = (I P )P (I P )/Y = (I P )(P P )/Y = 0. Por lo tanto [ ] 1 0 P = 0 1 donde 1 = I Y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

28 Ejemplo Si T = I P = P Y, entonces T = [ ] donde 1 = I Y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

29 Representación matricial Otro ejemplo Sea ahora T B(H) un operador idempotente tal que T (H) = Y, entonces T (y) = y para todo y H. Por lo tanto t 11 = P T P/Y = P/Y = I Y t 12 = P T (I P )/Y =: y t 21 = (I P )T P/Y = (I P )P = 0 t 22 = (I P )T (I P )/Y = 0 Así pues [ ] 1 y T = 0 0 con y B(Y, Y ). Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

30 Operacionalidad Sean [ ] [ ] a1 b T = 1 a2 b y L = 2 c 1 d 1 c 2 d 2 Entonces [ ] a1 + a T + L = 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2 [ ] a1 a T L = 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

31 Inversión Representación de operadores inversos Si a y d son operadores inversibles y [ ] a 0 A = c d Entonces [ A 1 = a 1 0 d 1 ca 1 d 1 ] Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

32 Inversión Caso general Si [ ] a b A = c d y los operadores correspondientes son inversibles [ A 1 (a bd = 1 c) 1 a 1 b(d ca 1 b) 1 d 1 c(a bd 1 c) 1 (d ca 1 b) 1 ] Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

33 Raiz cuadrada de un operador Definición Sea T un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo. Entonces un operador autoadjunto. Entonces un operador A : H H es llamado una raíz cuadrada de T si A 2 = T. Si además, A 0, entonces A es llamado una raíz cuadrada positiva de T y escribimos A = T 1 2 Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

34 Raíz cuadrada Ejemplo Sea T : l 2 l 2, dado por T (x 1, x 2,..., ) = (0, 0, 0, 0, x 5, x 6,... ) Propiedades: T es lineal. T es un OLA y T = 1. < T (x), y >=< x, T (y) >, para x, y l 2. < T (x), x >= n 5 x2 n 0. x = (x 1, x 2,... ) l 2. T 2 (x) = T (x), x l 2. T 1 2 = T. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

35 Continuación Consideremos Propiedades Y = {(x 1, x 2,... ) l 2 /x 2n = 0, n N} Y es un subespacio cerrado de l 2. Y = {(x 1, x 2,... ) l 2 /x 2n 1 = 0, n N}. Nótese que P = P Y : l 2 l 2 P (x 1, x 2,... ) = (x 1, 0, x 2, 0, x 3,... ) Como T B + (l 2 ) se tiene que [ a b T = b c ] Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

36 Continuación Si y = (y 1, 0.y 3, 0, y 5,... ) Y z = (0, z 2, 0, z 4... ) Y entonces a(y) = (P T P )(y) = (0, 0, 0, 0, y 5, 0, y 7,... ) = T (y). b(z) = (P T (I P )(z) = 0. c(z) = ((I P )T (I P ))(z) = (0, 0, 0, 0, 0, z 6, 0,... ) = T (z). Así, [ ] T/Y 0 T = 0 T/Y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

37 Unicidad de la raíz cuadrada Teorema Sea H un espacio de Hilbert complejo y T : H H lineal, acotado y continuo. Entonces T posee una única raíz cuadrada positiva A. Además, si L B(H) es tal que LT = T L, entonces LA = AL. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

38 Propiedades Teorema Si H es un espacio de Hilbert complejo y T : H H un operador positivo, entonces T 1 2 = T 1 2 T (x) T 1 2 < T (x), x > 1 2. < T (x), x >= 0 T (x) = 0. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

39 Propiedades Teorema Sea H un espacio de Hilbert complejo y T B + (H), entonces Ker(T ) = Ker(T 1 2 ). Ran(T ) Ran(T 1 2 ) Ran(T ). Ran(T ) es cerrado si y sólo si Ran(T ) = Ran(T 1 2 ). Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

40 Teorema de Douglas Sea H un espacio de Hilbert complejo y sean A,B B(H), los siguientes enunciados son equivalentes: Existe D B(H) tal que AD = B. Ran(B) R(A). Existe un número real positivo λ tal que BB λaa Si una de estas condiciones se satisface, existe un único X B(H) tal que AX = B, Ker(X) = Ker(B) y Ran(X) (Ker(A)). Más aún X 2 = inf{λ R + /BB λaa } X es llamado la solución reducida de la ecuación AX = B. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

41 Teorema Sean H un espacio de Hilbert complejo y T B + (H) con representación matricial [ ] a b T = b d Entonces: R(b ) R(d 1 2 ). R(b) R(a 1 2 ). Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

42 Formas sesquilineales Sean H un espacio de Hilbert complejo y A B + (H). Definimos < x, y > A =< A(x), y > para todo (x, y) H H. Propiedades < x + y, z > A =< x, z > A + < y, z > A. < αx, z > A = α < x, z > A. < x, z > A =< z, x > A. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

43 Propiedades < x, x > A = < A(x), x > = < A 1/2 A 1/2 (x, x > = < A 1/2 (x), A!/2 (x) > = A 1/2 2 0 < x, x > A = 0 A 1/2 (x) = 0 A 1/2 (x) = 0. < x, z > A = < A(x), z A x z. <, > A es una forma sesquilineal acotada no negativa. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

44 Observaciones <, > A no es (necesariamente) un producto interno sobre H. Como Ker(A) = Ker(A 1/2 ), A es inyectivo si y sólo si A 1/2 es inyectivo. Si A es inyectivo, <, > A es un producto interno sobre H. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

45 Teorema Sea A B + (H) invertible. Entonces x 2 A =< x, x > A=< A(x), x > A x 2. x A A 1/2 x. Como A es inversible, 0 / σ(a). Sea m = inf < A(x), x > σ(a) x =1 entonces m > 0 y m < A(x)/ x, A(x)/ x >= 1 1 < A(x), x >= x 2 x 2 < x, x > A Entonces m x 2 < x, x > A m 1/2 x x A. Por lo tanto m 1/2 x x A A 1/2 x Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

46 A-ortogonalidad Definición Si A B + (H), S H, no vacío. El A-ortogonal de S, se denota S A se define S A = {x H/ < x, z > A = 0, z S} = {x H/ < A(x), z >= 0, S} y Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

47 A-ortogonalidad Propiedades S A = A 1 (S ) = (A(S)). Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces Y Y A = Y Ker(A). Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

48 A-adjunto Definición Sean A B + (H) y T, W B(H). Decimos que W es un A-adjunto de T si < T (x), y > A =< x, W (y) > A para todo x, y H. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

49 A-adjunto Propiedades W es un A-adjunto de T si y sólo si T A = AW. T posee A-adjunto si y sólo si Ran(T A) Ran(A). Si A es inversible, entonces todo operador T B(H) posee el A-adjunto W = A 1 T A. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

50 A-autoadjunto Definición Sean A B + (H), T B(H). T es A-autoadjunto, si para todo x, y H < T (x), y > A =< x, T (y) > A Caracterización T es A-autoadjunto si y sólo si T A = AT Observación El hecho de que un operador sea A-autoadjunto no implica que sea autoadjunto. T A = AT T = T Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

51 Notaciones Q = Q(H) = {Q B(H) : Q 2 = Q} P = P(H){P B(H) : P = P } Si Z es un subespacio cerrado Q Z := {Q Q(H) : Ran(Q) = Z} P A (H) = {Q Q : Q es P(A, Z) = Q Z P A (H). A-autoadjunto}. A los elementos de Q P se le llaman proyecciones oblicuas. Si A B + (H) y Z es cerrado en H, decimos que el par (A, Z) es compatible si P(A, Z) Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

52 Teorema Sea A B + (H) con rango cerrado,s un subespacio cerrado de H y P = P S la proyección ortogonal de S. Los siguientes enunciados son equivalentes: El par (A, S) es compatible. Ran(P AP ) es cerrado. S + Ker(A) es cerrado. Ran(P A) es cerrado. S + Ran(A) es cerrado. Ran(AP ) = A(S) es cerrado. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

53 Problemas Sean M y N subespacios cerrados de H. M + N es cerrado si y sólo si M + N es cerrado. M N = H si y solo si M N = H. Si T B(H), Ran(T ) es cerrado si y sólo si Ran(T ) es cerrado. Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54

54 Referencias Referencias 1 Antezona, J. y Stojanoff D.:Anális Matricial II Operadores en Espacios de Hilbert. España, Bathia, R. Matrix Analysis Berlin -New York, Corach, G; Maestripieri, A and Stojanoff, D.:Generalized Orthogonal Projections and Shorted Operators. Servicios de Publicaciones, Universidad de la Rioja, Corach, G; Maestripieri, A. and Stojanoff, D.: Oblique Projections and Abstract Spliner. Journal of Approximation Theory, 117, 2(2002) González, M.C. Soluciones Reducidas de Ecuaciones Tipo Douglas y Procesos Oblicuos Tesis Doctoral. Universidad Nacional de la Plata Jorge E. Hernández U. 24 de octubre de / 54