Notas de Análisis Real (en construcción- versión 0.5.2) c Pablo L. De Nápoli

Transcripción

1 Notas de Análisis Real (en construcción- versión 0.5.2) c Pablo L. De Nápoli 30 de noviembre de 2017

2 Índice general 1. Teoría de la medida en R d Intervalos en la recta: Intervalos en R d Conjuntos lementales Medida de intervalos en R d Medida de Conjuntos lementales Conjuntos σ-elementales Medida de conjuntos σ-elementales Medida exterior de Lebesgue Conjuntos Medibles (Lebesgue) Propiedades de la medida de Conjuntos Medibles Propiedades de continuidad de la medida Caracterizaciones de los conjuntos medibles Otras propiedades de la medida de Lebesgue l conjunto de las diferencias de un medible xistencia de conjuntos no medibles Funciones Medibles e Integral en espacios abstractos Álgebras y σ-álgebras de conjuntos Medidas sobre un álgebra de conjuntos Funciones Medibles Funciones Semicontinuas Funciones Simples La convergencia en casi todo punto y el teorema de Severini-gorov Teorema de Lusin Convergencia en medida La Integral de Lebesgue en spacios de Medida Integral de Funciones Simples Integral de funciones no negativas Funciones Integrables Comparación con la intergral de Riemann La Interpretación Probabilística

3 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 2 3. Construcción de medidas Medidas xteriores Medidas exteriores métricas Las medidas de Lebesgue-Stieltjes l teorema de xtensión de Medidas spacios L p Funciones equivalentes Norma p ( 1 < p < ) Norma Infinito spacios L p (o L p (, µ)) (1 p ) xponente Conjugado de p. Desigualdad de Hölder Desigualdad de Minkowski Desigualdad integral de Minkowki Completitud de L p (Teorema de Riesz-Fischer) Inclusiones entre los espacios L p Clases de funciones densas en L p Diferenciación (en R d ) l Lema Simple de Vitali La Función Maximal de Hardy - Littlewood l Teorema de diferenciación de Lebesgue Cubrimientos de Vitali: Lema de Vitali Derivada de funciones monótonas: Funcionnes de variación acotada (de variación finita) Funciones absolutamente continuas La Descomposición de Lebesgue para Funciones de Variación Acotada l Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym Medidas complejas Absoluta continuidad. Medidas Singulares Teorema de Lebesgue - Radon - Nikodym xistencia: Un caso especial l caso general La descomposición polar de una medida compleja Convolución y Aproximaciones de la Identidad Definicion y propiedades elementales Desigualdad de Young l soporte y la convolucion Convolucion con funciones suaves Aproximaciones de la identidad jemplos (en d = 1) Convergencia en casi todo punto

4 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 3 A. Notaciones 152 B. Otra prueba del teorema de Radon-Nikodym 153 B.1. l espacio L 2 - spacios de Hilbert B.2. Teorema de la Perpendicular B.3. Funcionales Lineales Continuas en un espacio de Hilbert B.4. Otra prueba del Teorema de Lebesgue - Radon - Nikodym C. l Dual del spacio L p 165 Bibliografía 171

5 Capítulo 1 Teoría de la medida en R d n este capítulo, desarrollaremos la teoría de la medida de Lebesgue en el espacio euclídeo d-dimensional 1 R d = {x = (x 1, x 2,..., x d ) : x i R para i = 1, 2,..., d} Nuestro objetivo es asignarle a cada conjunto R N (de una cierta clase que vamos a definir, que llamaremos la clase de los conjuntos medibles), un número m(a) (su medida de Lebesgue) que generalizará las nociones intuitivas de longitud (en d = 1), área (en d = 2) y volumen (d = 3). Realizaremos esta construcción en varias etapas, extendiendo la noción de medida a clases cada vez más generales de conjuntos, comenzando por los intervalos. xisten dos notaciones usuales para la medida de un conjunto m() o, que usaremos indistintamente. La primera de ellas tiene la ventaja de hacer claro que la medida es una función que se aplica a conjuntos (en una clase determinada). Nota sobre la bibliografía: La presentación que he elegido sigue esencialmente mis notas del curso del profesor N. Fava, con quien yo cursé la materia, por lo que una referencia recomendada es el libro de N. Fava y F. Zó [FZ96]. l principal mérito de esta construcción, en contraste con el de otras presentaciones más abstractas de la teoría, es el de tener un claro significado geométrico, por lo que creo que es más fácil de comprender para los estudiantes. l clásico libro de Wheeden y Zygmund [WZ77] presenta una construcción similar, quizás algo más directa (aunque omite algunos detalles) Intervalos en la recta: Definición Los intervalos de la recta real R = R 1 son los conjuntos de los cuatro tipos siguientes: 1 Reservaremos en lo sucesivo la letra d para la dimensión del espacio. 4

6 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 5 [a, b] = {x R : a x b} (a, b] = {x R : a < x b} [a, b) = {x R : a x < b} (a, b) = {x R : a < x < b} siendo a, b números reales con a b. n cualquier caso la medida de un intervalo I se define por: m(i) = b a Propiedades de los intervalos de la recta 1. l conjunto vacío es un intervalo: = (a, a) 2. La intersección de dos intervalos es un intervalo La diferencia de dos intervalos I 1 y I 2 se puede escribir como unión de dos intervalos J 1 y J 2 disjuntos: I 1 I 2 = J 1 J 2 con J 1 J 2 = 4. La única manera de escribir un intervalo como unión de k intervalos disjuntos consiste en elegir k puntos interiores de subdivisión (esto es: una partición del intervalo). 5. Consecuencia: (Aditividad de la medida) Si un intervalo se escribe como unión finita de intervalos disjuntos I = I 1 I 2... I k entonces m(i) = m(i 1 ) + m(i 2 ) m(i k ) 1.2. Intervalos en R d Definición Un intervalo en R d es el producto cartesiano de d intervalos lineales: I = I 1 I 2... I d = {x R d : x j I j (1 j d)} donde los I j son intervalos de R. Si todos los I j son cerrados, I es un intervalo cerrado. Si todos los I j son abiertos, I es un intervalo abierto. 2 Para que esto sea cierto sin excepciones es necesario considerar al conjunto vacío como un intervalo.

7 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 6 Observación: La representación de un intervalo en R d como producto cartesiano de intervalos lineales es única (salvo para el intervalo vacío). Propiedad La intersección de dos intervalos de R d es un intervalo de R d. Demostración: Sean I, J intervalos de R d entonces se escriben como producto cartesiano de d intervalos lineales: entonces: I = I 1 I 2... I d J = J 1 J 2... J d I J = (I 1 J 1 ) (I 2 J 2 )... (I d J d ) Como I 1 J 1, I 2 J 2,..., I d J d son intervalos de la recta, I J es un intervalo en R d Conjuntos lementales Definición Un conjunto elemental es un conjunto que puede representarse como unión de un número finito de intervalos disjuntos: A = n donde los I i son intervalos disjuntos de R d. Propiedad Si A y B son conjuntos elementales, también lo es A B. Demostración: Sean A, B conjuntos elementales A = n donde los I k son intervalos disjuntos de R d B = m j=1 donde los J i son intervalos disjuntos de R d. ntonces: A B = n j=1 I i I i J j m (I i J j ) y los conjuntos I i J j son intervalos disjuntos A B es un conjunto elemental.

8 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 7 Corolario La intersección de cualquier familia finita de conjuntos elementales es un conjunto elemental. Propiedad Si A y B son conjuntos elementales disjuntos entonces A B es elemental. (s una consecuencia obvia de la definición.) Propiedad Si A es un conjunto elemental de R d1 y B es un conjunto elemental de R d2 entonces A B es un conjunto elemental de R d1+d2. Demostración: Sean: n A = I i donde los I k son intervalos disjuntos de R d1 B = m j=1 donde los J i son intervalos disjuntos de R d2. ntonces: A B = n j=1 J j m (I i J j ) Además la unión es disjunta, y I i J j es un intervalo de R d1+d2 A B es un conjunto elemental de R d1+d2. Propiedad Si I y J son intervalos de R d, entonces I J es un conjunto elemental de R d. Demostración: Hacemos inducción en la dimensión d. Para d = 1 (en la recta) vale. Si d > 1 y suponemos que vale en R d 1, sean: I = I 1 I 2... I d J = J 1 J 2... J d donde I i, J i son intervalos de R. Podemos escribir esto como I = I 1 I, J = J 1 J donde I = I 2 I 3... I d 1 son intervalos en R d 1. Tenemos que: J = J 2 J 3... J d 1 I J = [(I 1 J 1 ) I ] [(I 1 J 1 ) (I J )]

9 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 8 donde [(I 1 J 1 ) I ] [(I 1 J 1 ) (I J )] = Por la hipótesis inductiva, I J es un conjunto elemental de R d 1, y I 1 J 1 es un intervalo de R, entonces (I 1 J 1 ) (I J ) es elemental (por la propiedad 1.3.5). Por otra parte I 1 J 1 es unión de dos intervalos de la recta. Por la propiead 1.3.5, (I 1 J 1 ) I es elemental I J es elemental (por la propiedad 1.3.4). Propiedad Si A y B son conjuntos elementales, entonces A B es elemental. Demostración: Sean A = n donde los I i son intervalos disjuntos de R d, y B = m j=1 donde los J j son intervalos disjuntos de R d. ntonces: A B = I i J j n (I i B) siendo la unión disjunta, y por la ley de De Morgan, tenemos que: I i B = m (I i J j ) j=1 Cada I i J j es elemental (por la propiedad 1.3.7), por lo tanto I i B es elemental para cada i (por la propiead 1.3.2), y en consecuencia, A B es así mismo elemental (por la propiedad 1.3.4). Propiedad Si A y B son conjuntos elementales, entonces A B es elemental. Demostración: A B = A (B A) siendo la unión disjunta. Por la propiedad A B es elemental. n consecuencia, A B es elemental (por la propiedad 1.3.4). Resumen: Si A y B son conjuntos elementales entonces también lo son A B, A B y A B Observación La diferencia simétrica de conjuntos elementales es elemental: A B = (A B) (B A)

10 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 9 Si consideramos la clase de los conjuntos elementales con como suma y como producto (,, ) es un anillo (en el sentido del álgebra). Se dice que los conjuntos elementales forman un anillo de conjuntos. l conjunto vacío es el cero de este anillo. l inverso aditivo de A es A ya que A A =. Observación Un conjunto elemental es acotado (es unión finita de conjuntos acotados). Por lo tanto el complemento de un conjunto elemental no puede ser elemental (sino el espacio R d, que es unión del conjunto y su complemento, sería acotado) Medida de intervalos en R d Definición Si I = I 1 I 2... I d es un intervalo en R d (siendo los I i intervalos en R) definimos la medida (o volumen) de I por: Observamos que m( ) = 0. m(i) = m(i 1 ) m(i 2 ) m(i d ) Teorema (Aditividad de la medida de intervalos) Si un intervalo I se escribe como unión finita de intervalos disjuntos I i, la medida de I es la suma de las medidas de los I i : I = n I i (I i disjuntos) m(i) = n m(i i ) Demostración: Hacemos inducción en n (el número de partes en que se parte el intervalo). Supongamos primero n = 2 Cuando un intervalo de R d se descompone como unión de dos intervalos disjuntos es porque se parte uno de los lados. Supongamos que I = J 1 J 2... J d y que: I 1 = H L (siendo H,L intervalos disjuntos) de modo que I = I 1 I 2 donde: I 1 = H J 2... J n y Tenemos que: I 2 = L J 2... J n m(i) = m(j 1 ) m(j 2 ) m(j n ) = (m(h) + m(l)) m(j 2 ) m(j 3 ) m(j d ) = = m(h) m(j 2 ) m(j 3 ) m(j d )+m(l) m(j 2 ) m(j 3 ) m(j d ) = m(i 1 )+m(i 2 ) sto prueba el teorema en este caso. Observemos que si I y J son intervalos disjuntos de R d, al proyectar sobre alguno de los ejes tenemos que obtener intervalos disjuntos: Si I = I 1 I 2... I d

11 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 10 J = J 1 J 2... J d entonces: I J = (I 1 J 1 ) (I 2 J 2 )... (I d J d ). Si para todo i fuera I i J i, entonces I J. Supongamos por ejemplo que I k J k =, entonces existe un hiperplano de ecuación x k = c que deja a I y J en semiespacios complementarios: x k c, x k > c x k < c, x k c o sea existen semiespacios complementarios S y S tales que I k S y J k S. Si H R d es un intervalo, notaremos H = H S, H = H S entonces H y H son intervalos disjuntos, y se tine que H S y H S.[B Utilizando estas ideas, vamos a demostrar el teorema: Supongamos n > 2, y que el teorema vale para descomposiciones en n 1 intervalos. Consideramos ahora, una descomposición en n intervalos disjuntos: I = n I i (I i disjuntos) Podemos claramente suponer que I i para todo i, sin perdida de generalidad. Como I 1 I 2 = existe un hiperplano de ecuación x j = c que deja a I 1 e I 2 en semiespacios complementarios S y S : Tenemos que: n n I = I S = (I i S ) = donde la union es disjunta, y como I 1 S, deducimos que I 1 = I 1 e I 2 = pues I 2 S. Análogamente, I = I S = n (I i S ) = donde la unión es disjunta, e I = I 2, I =. Tenemos pues: I = I 1 I 3 I 4... I n n I i I i I = I 2 I 3 I 4 I n que son dos descomposiciones en n 1 intervalos disjuntos, y por lo tanto por la hipotesis inductiva: m(i ) = m(i 1 ) + m(i 3) + m(i 4) m(i n) m(i ) = m(i 2 ) + m(i 3 ) + m(i 4 ) m(i n)

12 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 11 Tenemos que I = I I con I I =, luego m(i) = m(i ) + m(i ), en consecuencia: m(i) = m(i 1 )+m(i 3)+m(I 4)+...+m(I d)+m(i 2 )+m(i 3 )+m(i 4 )+...+m(i n) = m(i 1 ) + m(i 2 ) + (m(i 3) + m(i 3 )) + (m(i 4) + m(i 4 )) (m(i d) + m(i n)) como queríamos demostrar. = m(i 1 ) + m(i 2 ) m(i n ) La aditividad es la propiedad clave de la medida que intentaremos mantener al extender la medida a clases más generales de conjuntos Medida de Conjuntos lementales Definición Si A = n I i es un conjunto elemental (donde los I i son intervalos disjuntos de R d ) definimos su medida elemental m(a) (también notada a veces A ) por: n m(a) = m(i i ) Hay que comprobar que la definición es correcta: Supongamos que A = m j=1 es otra descomposción de A como unión de intervalos disjuntos. ntonces, en virtud de la propiedad distributiva, m m I i = I i = (I i J j ) j=1 J j sta es una unión disjunta de intervalos. Por lo tanto, por la aditividad de la medida de intervalos, Analogamente, n m(i i ) = n J j j=1 m m(i i J j ). n m m n J j = (I i J j ) m(j i ) = m(i i J j )

13 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 12 Por lo tanto: n m m(i i ) = m(j j ) n consecuencia, las dos descomposiciones dan el mismo valor para m(a). Corolario (aditividad) Si A 1, A 2,..., A n son conjuntos elementales disjuntos y A = n A k entonces: m(a) = n m(a k). Demostración: Cada A k será unión de n k intervalos disjuntos I ki : A k = n k j=1 n k I ki m(a k ) = m(i ki ) Tenemos: luego A = m(a) = n n k I ki (unión disjunta) n n k m(i ki ) = n m(a k ) Corolario Si A y B son conjuntos elementales, y A B entonces: m(b A) = m(b) m(a) y m(a) m(b) (La medida elemental es creciente) Demostración: Tenemos que: B = A (B A) (union disjunta) Luego, m(b) = m(a) + m(b A) m(b A) = m(b) m(a) Como m(b A) 0 m(a) m(b) Corolario Si A y B son conjuntos elementales m(a B) + m(a B) = m(a) + m(b)

14 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 13 Demostración: Tenemos que: Luego, Análogamente, Sumando estas relaciones: Pero luego A = (A B) (A B)(unión disjunta) m(a) = m(a B) + m(a B) m(b) = m(b A) + m(a B) m(a) + m(b) = m(a B) + m(b A) + 2m(A B) (1.1) A B = (A B) (B A) (A B) (union disjunta) m(a B) = m(a B) + m(b A) + m(a B) (1.2) De (1.1) y (1.2) deducimos que: Corolario (subaditividad) m(a) + m(b) = m(a B) + m(a B) m(a B) m(a) + m(b) (ya que m(a B) 0 ). Por inducción en k deducimos que: m(a 1 A 2... A k ) m(a 1 ) + m(a 2 ) m(a k ) Observación Sea I R d un intervalo. ntonces, dado ε > 0 existen un intervalo cerrado F I tal que m(f ) > m(i) ε, y un intervalo abierto G I tal que m(g) < m(j) + ε. Lema Si A es un conjunto elemental y ε > 0, entonces existen un conjunto elemental cerrado F A y un conjunto elemental abierto G A tales que: m(g) < m(a) + ε y m(f ) > m(a) ε Demostración: Sea A = n I i (donde los I i son intervalos disjuntos de R d. Dado ε > 0, para cada i con 1 i n, existen un intervalo cerrado F i I i y un intervalo abierto G i I i tales que: m(f i ) m(i i ) ε n

15 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 14 m(g i ) m(i i ) + ε n Definimos entonces, los conjuntos F y G por: F = n F i, G = Desde luego, F A G. F es cerrado por ser unión finita de cerrados y G es abierto por ser unión de abiertos. Por otra parte, los F i son disjuntos por serlo los I i (los G i no tienen porqué serlo), en consecuencia F es elemental, y m(f ) = n m(f i ) n ( m(i i ) ε ) = n n G i n m(i i ) ε = m(a) ε Notemos también que G es elemental por ser unión finita de elementales, y que: m(g) n m(g i ) sto prueba el lema. n ( m(i i ) + ε ) = n n m(i i ) + ε = m(a) + ε Teorema (σ-subaditividad de la medida elemental) Sea A 1, A 2,..., A k,... una sucesión infinita de conjuntos elementales y sea A un conjunto elemental tal que A ntonces: m(a) A k m(a k ) Demostración: Si la serie es divergente no hay nada que probar. Suponemos pues: m(a k ) < Dado ε > 0, existe F A elemental cerrado tal que: m(f ) > m(a) ε y para cada k N, existe un G k A k elemental abierto tal que: ntonces, m(g k ) m(a k ) + ε 2 k F A A k G k

16 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 15 F es un conjunto cerrado y acotado (está incluido en A, que es elemental) y por lo tanto compacto, y los G k forman un cubrimiento por abiertos, luego existe un subcubrimiento finito, es decir: existe un n > 0 tal que: n consecuencia, ( n ) m(f ) m G k Resulta entonces que: o sea que: F n G k n m(g k ) m(a) ε m(f ) m(a) ε ( m(a k ) + ε 2 k ) = m(a k ) + ε m(a k ) + ε Como ε > 0 es arbitrario, obtenemos el teorema. m(a k ) + ε Corolario (σ-aditividad de la medida elemental) Si un conjunto elemental A se descompone como la unión numerable de conjuntos elementales disjuntos A k : A = entonces: m(a) = A k m(a k ) Demostración: Por el teorema anterior, como A A k m(a) m(a k ) (1.3) Por otra parte tenemos que ( n n ) A k A m A k m(a) y como la unión es disjunta: ( n ) m A k = n m(a k ) n m(a k ) m(a)

17 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 16 Cuando n tiende a infinito resulta: m(a k ) m(a) (1.4) (Notemos que la serie converge pues sus sumas parciales forman una sucesion creciente y acotada). De (1.3) y (1.4) se obtiene el teorema Conjuntos σ-elementales Definición Un conjunto σ-elemental es el que puede representarse como una unión numerable de conjuntos elementales disjuntos: U = Observación Si U = A i donde los A i son elementales (no necesariamente disjuntos) U es σ-elemental. n efecto definamos una nueva sucesión B i poniendo: n 1 B 1 = A 1, B 2 = A 2 A 1, B 3 = A 3 A 1 A 2, y en general B n = A n entonces: A i U = A i = donde los B k son elementales pero ahora la unión es disjunta. n consecuencia, U es σ-elemental. Proposición Si U = U k donde cada U k es σ-elemental entonces U es σ-elemental. B k (La unión numerable de numerables, es numerable) Proposición Si U y V son σ-elementales, entonces U V es σ-elemental. Demostración: Sean U = A i, V = donde los A i, B j son elementales. ntonces, U V = j=1 j=1 B j (A i B j ) sta es una unión numerable de conjuntos elementales (por la propiedad 1.3.2), en consecuencia, U V es σ-elemental. A k

18 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 17 Observación n cambio la intersección numerable de conjuntos elementales puede no ser σ-elemental. Contraejemplo: el conjunto ternario de Cantor (definido en la práctica 0). ste conjunto no puede ser σ-elemental pues, como tiene interior vacío, si lo fuera tendría que ser numerable. Pero tiene la potencia del continuo. l mismo ejemplo prueba que el complemento de un conjunto σ-elemental puede no ser σ elemental. n efecto, si C c denota el complemento del ternario de Cantor, entonces C c es σ-elemental, mientras que (C c ) c = C no lo es. Se deduce que en general la diferencia de dos conjuntos σ-elementales, puede no ser σ-elemental (pue C c = R C.) 1.7. Medida de conjuntos σ-elementales Definición Si U = A i (A i elementales disjuntos) definimos su medida m(u) (a veces notada también U ) por: m(u) = m(a i ) sta serie no siempre converge (La medida de un σ-elemental puede valer + ). Hay que probar que esta definición es correcta: Si U = j=1 es otra descomposición de U como unión numerable de elementales disjuntos tenemos como antes: A i = (A i B j ) m(a i ) = m(a i B j ) j=1 j=1 B j j=1 B j = (A i B j ) m(b j ) = m(a i B j ) j=1 Dado que una serie doble de términos no negativos puede sumarse en cualquier orden sin que cambie el valor de sus suma, siendo m(a i B j ) 0; resulta que: m(a i ) = m(b j ) Por lo que ambas descomposiciones dan el mismo valor para m(u). Teorema Cualquier conjunto abierto en R d es σ-elemental. j=1

19 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 18 Demostración: Sea G un abierto. Para cada punto x de G existe un cubo abierto Q x contenido en G que lo contiene ( hay una bola centrada en x contenida en G, y dicha bola contiene un cubo). Los cubos Q x forman un cubrimiento abierto de G, y como R d es un espacio separable podemos extraerle un subcubrimento numerable. Teorema (σ-subaditividad para σ-elementales) Si U U k siendo U,U k conjuntos σ-elementales, entonces m(u) m(u k ) n particular, si U V entonces, m(u) m(v ). Demostración: Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que Sean entonces U k = U = A k m(u k ) < + (A k elementales disjuntos) B kj (Para cada k : B kj elementales disjuntos) j=1 n A k A k j=1 Notemos que n A k es un conjunto elemental que está incluido en la unión de la sucesión infinita de elementales B kj. Por el teorema 1.5.8, deducimos que: ( n ) m A k m(b kj ) = m(u k ) O sea Haciendo que n resulta que: j=1 n m(a k ) m(u k ) m(a k ) m(u k ) B kj

20 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 19 (La serie del primer miembro converge por formar sus sumas parciales una sucesión creciente y acotada). Pero, por definición, esto es: m(u) m(u k ) 1.8. Medida exterior de Lebesgue Definición Dado un conjunto R d, definimos su medida exterior (de Lebesgue) notada m e () como el ínfimo de las medidas de los σ-elementales que incluyen a : m e () = ínf{m(u) : U, Uσ elemental } Observación: Cualquier conjunto R d tiene una medida exterior. Otra Observación: Si m e () es finita y ε > 0, existe un Uσ-elemental tal que: m(u) < m e () + ε (Por la definición de ínfimo) Proposición (Propiedades de la medida xterior) La medida exterior de Lebesgue tiene las siguientes propiedades: i) 0 m e () +. ii) m e ( ) = 0. iii) Si 1 2, entonces m e ( 1 ) m e ( 2 ). iv) La medida exterior es σ-subaditiva: ( ) m e k m e ( k ) v) Si U es σ-elemental m(u) = m e (U) (Para un conjunto σ-elemental la medida y la medida exterior coinciden) Demostración: i) s evidente por definición, ii) también ya que el conjunto vacío es σ- elemental. Para demostrar iii) observemos que, si U es un σ-elemental y U 2, entonces U 1 m e ( 1 ) m(u). Pero esto vale para cualquier σ-elemental U que incluya a 2, luego: m e ( 1 ) ínf{m(u) : U 2, U σ elemental } = m e ( 2 )

21 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 20 sto prueba iii). Demostremos ahora la afirmación iv): Sea = Si algún k tuviera medida exterior + no hay nada que probar. Supondremos pues que m e ( k ) < + k. ntonces dado ε > 0 existirá para cada k un σ-elemental U k k tal que: Definimos: k m(u k ) < m e ( k ) + ε 2 k U = ntonces U es σ-elemental y U. Por otra parte, m e () m(u) (por definición), entonces: U k ( m e () m(u k ) m e ( k ) + ε ) 2 k = m e ( k ) + ε y como ε es arbitrario: m e () m e ( k ) Finalmente, demostremos la afirmación v): Como U es un conjunto σ-elemental que incluye a U, m e (U) m(u) (1.5) Por otra parte, si V es un σ-elemental con V U, entonces m(u) m(v ). Pero esto vale para cualquier σ-elemental que incluya a U luego: m(u) ínf{m(v ) : V U, V σ elemental } = m e (U) (1.6) Como probamos las dos desigualdades (1.5) y (1.6), vale la igualdad. Observación La medida exterior no es aditiva en general: puede demostrarse que existen S y T con S T = tales que: m e (S T ) < m e (S) + m e (T ) Un resultado positivo es el siguiente: jercicio Si S y T son tales que d(s, T ) > 0, entonces: m e (S T ) = m e (S) + m e (T ) (ejercicio 1 de la práctica 1)

22 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli Conjuntos Medibles (Lebesgue) Definición Diremos que un conjunto R d es medible (en el sentido de Lebesgue) si para cada ε > 0 existe un conjunto σ-elemental U tal que U y m e (U ) < ε. Notacion: M = { R d : es medible Lebesgue } Propiedad Todo conjunto σ-elemental es medible. n particular todo conjunto abierto es medible. Demostración: Si es σ-elemental, tomamos U =. ntonces m e (U ) = m e ( ) = 0 < ε Definición Diremos que un conjunto R d tiene medida cero o medida nula si m e () = 0 Observación: Todo conjunto numerable tiene medida nula. l ternario de Cantor es un ejemplo de conjunto de medida nula que tiene la potencia del continuo. Observación Si R d tiene medida nula, entonces es medible. Demostración: Como m e () = 0, dado ε > 0 existe un Uσ-elemental tal que U, y m(u) < ε. Como U U m e (U ) m e (U) < ε Como ε es arbitrario, concluimos que es medible. Propiedad Si k M(k = 1, 2,... es una sucesión finita o infinita de conjuntos medibles entonces k M (La unión numerable de conjuntos medibles es medible). Demostración: Sea = Dado ε > 0, para cada k podemos encontrar un σ-elemental U k k tal que m e (U k k ) < ε 2 k. Consideremos entonces, el conjunto: U = k U k

23 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 22 s un conjunto σ-elemental y U. Además: U (U k k ) (Si x U y x está en alguno de los U k y en ninguno de los k ). n consecuencia: ( ) ε m e (U ) m e (U k k ) m e (U k k ) 2 k = ε (Utilizamos que la medida exterior es creciente y σ-subaditiva) Como ε es arbitrario, esto prueba que es medible. Propiedad Si 1 y 2 son conjuntos medibles entonces 1 2 es medible. Demostración: Sean = 1 2 y ε > 0. Como 1 es medible, existe un conjunto σ-elemental U 1 tal que U 1 1 y m e (U 1 1 ) < ε 2. Del mismo modo, como 2 es medible existe otro conjunto conjunto σ- elemental U 2 tal que U 2 2 y m e (U 2 2 ) < ε 2. Consideremos el conjunto: U = U 1 U 2. ntonces, U y U (U 1 1 ) (U 2 2 ) (Pues si x U entonces está en U 1 y en U 2 pero o no está en 1 o no está en U 2 ). n consecuencia, m e (U ) m e (U 1 1 ) + m e (U 2 2 ) = ε 2 + ε 2 = ε Como ε es arbitrario, esto prueba que es medible. Definición Si M (es medible) definimos su medida de Lebesgue m() por: m() = m e () (s decir que Para un conjunto medible, su medida es por definición, su medida exterior.) Definición Diremos que R d es finitamente medible si es medible y m() < +. l siguiente lema da una caracterización útil de los conjuntos finitamente medibles: Lema es finitamente medible si y sólo si, para todo ε > 0 existe un conjunto elemental A tal que m e (A ) < ε

24 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 23 Demostración: ) : Supongamos finitamente medible. ntonces, dado ε > 0, existe U σ-elemental tal que U y m e (U ) < ε. Como U es σ-elemental se puede escribir como una unión disjunta de intervalos Tenemos que: I k : U = U (U ) m(u) = m e (U) m e () + m e (U ) Tanto m e () como m e (U ) son finitas, entonces m(u) < +, y m(u) = I i m(i i ) Como m(u) < + esta serie converge, por lo tanto es posible elegir un i 0 tal que: m(i i ) < ε 2 Hecho esto llamemos: y i=i 0+1 A = V = i 0 I i i=i 0+1 entonces A U, pues A U, entonces I i m e (A ) m e (U ) < ε 2 y A U A = V, V es σ-elemental, y por otra parte, m(v ) = i=i 0+1 m(i i ) < ε 2 luego: m e ( A) m(v ) < ε 2 Por último: n consecuencia, A = (A ) ( A) m e (A ) m e (A ) + m e ( A) ε 2 + ε 2 = ε

25 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 24 ) Supongamos que para todo ε > 0 existe un conjunto elemental A tal que: m e (A ) < ε Dado ε > 0 sea A tal que m e (A ) < ε. ntonces, por la definición de la medida exterior, existe V A, σ-elemental tal que m(v ) < m e (A ) + ε < 2ε Sea U = A V, entonces A es elemental y V es σ-elemental, en consecuencia, U es σ-elemental U (U A) (A ) U A V y A A V, luego U V. n consecuencia, m e (U ) m e (V ) < 2ε Como ε es arbitrario, esto prueba que es medible. Además como U, m e () m(u) m(a) + m(a) m(a) + 2ε < + ya que la medida de un conjunto elemental es siempre finita. sto prueba el lema. l lema anterior admite una interpretación interesante. Consideramos la clase F = { R d : m e () < + } Si M es la clase de los medibles y M f la de los finitamente medibles: M f = M F y si es la clase de los elementales F. Vamos a convertir a F en un espacio seudo-métrico. Para ello, si S, T F, definimos la distancia de S a T por: d(s, T ) = m e (S T ) Notamos que se verifican las propiedades de la distancia: d(s, T ) = d(t, S) Demostración: n consecuencia, d(s, T ) d(s, Z) + d(z, T ) S T (S Z) (Z T ) m e (S T ) m e (S Z) + m e (Z T ) d(s, S) = 0 pero dos conjuntos pueden estar a distancia cero sin ser iguales Con este concepto de distancia el lema se puede enunciar de otra manera:

26 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 25 Lema es finitamente medible si y sólo si, para todo ε > 0 existe A elemental tal que d(a, ) < ε. n otras palabras: M f = (Los finitamente medibles son la clausura de los elementales) Teorema Si y F son medibles cualesquiera, entonces F es medible. Demostración: 1) Supongamos primero que y F son finitamente medibles entonces por el lema existe una sucesión A k de conjuntos elementales tal que A k cuando k (A k tiende a en la pseudo-distancia d) y existe una sucesión B k de conjuntos elementales tal que B k F cuando k, (A k B k ) ( F ) (A k ) (B k F ) m e ((A k B k ) ( F )) m e (A k ) + m e (B k F ) o sea: d(a k B k, F ) d(a k, ) + d(b k, F ) Por lo tanto A k B k F. Como A k B k es elemental, por el lema F es finitamente medible. Observación: Incidentalmente hemos probado que la diferencia de conjuntos considerada como una función de F F en F es una función continua. n el caso general en que y F son medibles que pueden tener medida + procedemos así: sea Q k = {x R d : x i k(i = 1, 2,..., n)} el cubo cerrado centrado en el origen de lado 2k entonces: n consecuencia, R d = F = [( F ) Q k ] = [( Q k ) (F Q k )] es medible, Q k es finitamente medible, por lo tanto Q k es medible y como: Q k m( Q k ) m(q k ) es finitamente medible. Analogamente F Q k es finitamente medible. Por lo antes demostrado ( Q k ) (F Q k ) es finitamente medible, por lo tanto F es unión numerable de medibles, y en consecuencia, es medible. sto prueba el teorema. Corolario l complemento de un conjunto medible es medible. Dem: c = R d (R d es medible) Corolario La intersección numerable de conjuntos medibles es medible.

27 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 26 Demostración: Sean k (k = 1, 2,...) conjuntos medibles y sea = k entonces: c = por la ley de De Morgan. Cada k c es medible, en consecuencia medible, y por lo tanto es medible. c k c k es Resumen: La clase M de los conjuntos medibles (Lebesgue) forma una σ-álgebra, es decir es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables y complemento Propiedades de la medida de Conjuntos Medibles Recordamos que para un conjunto medible su medida no es otra cosa que su medida exterior. Recordamos también que en el espacio F de los conjuntos de medida exterior finita introdujimos la distancia d(a, B) = m e (A B) Proposición Supongamos que A k, A F y que A k A en la seudodistancia d, entonces: m e (A k ) m e (A) (en otras palabras la medida exterior como función de F en R es una función continua) Proposición Si 1 y 2 son conjuntos medibles entonces: m( 1 2 ) + m( 1 2 ) = m( 1 ) + m( 2 ) Demostración: Si fuera m( 1 ) = + o m( 2 ) = + entonces m( 1 2 ) = +. Podemos pues suponer que 1 y 2 son finitamente medibles. n tal caso existen sucesiones A k, B k de conjuntos elementales tales que A k 1 y B k 2. de modo que m(a k ) m(a) y m(b k ) m(b). ntonces, tenemos que: (A k B k ) ( 1 2 ) (A k 1 ) (B k 2 ) n consecuencia, y por lo tanto m e (A k B k ) ( 1 2 )) m e (A k 1 ) + m e (B k 2 ) d(a k B k, 1 2 ) d(a k, 1 ) + d(b k, 2 ) Luego A k B k 1 2, en consecuencia m(a k B k ) m( 1 2 ) (A k B k es elemental, 1 2 es medible) Analogamente tenemos que: (A k B k ) ( 1 2 ) (A k 1 ) (B k 2 )

28 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 27 entonces d(a k B k, 1 2 ) d(a k 1 ) + d(b k 2 ) luego A k B k 1 2, en consecuencia: m(a k B k ) m( 1 2 ) Como ya se probó anteriormente, tenemos que m(a k B k ) + m(a k B k ) = m(a k ) + m(b k ) y al hacer que k, se obtiene el teorema. Observación: Incidentalmente se ha probado que la unión y la intersección de conjuntos (como funciones de F F en F son funciones continuas. Caso particular: Si 1 2 =, entonces m( 1 2 ) = m( 1 ) + m( 2 ) Corolario (Por inducción) Si 1, 2,..., n disjuntos entonces si son conjuntos medibles = n k m() = n m( k ) Proposición (σ-aditividad de la medida de Lebesgue) Sea ( k ) una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos y = k m() = m( k ) ste es el resultado fundamental de la teoría de Lebesgue. Demostración: Tenemos que m() m( k ) por la σ-subaditividad de la medida exterior. Como, por otra parte: ( n n ) k m k m() Por lo tanto, n m( k ) m()

29 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 28 Al hacer que n, se obtiene que: que es la otra desigualdad. m( k ) m() jercicio: Probar que la proposición continúa siendo ciera si los conjuntos ( k ) k N son casi disjuntos en el sentido de que m( i j ) = 0 si i j. Otro ejercicio: Probar que si 1 R d 1 y 2 R d 2 son medibles, entonces 1 2 es medible en R d1+d2, y se tiene que: m( 1 2 ) = m( 1 ) m( 2 ) (donde hacemos el convenio de que 0 (+ ) = (+ ) 0 = 0. Porqué es necesario este convenio? ) Propiedades de continuidad de la medida Teorema Sean ( n ) n N es una sucesión creciente de conjuntos medibles n n+1... y = n N n ntonces m() = lím m( n) n + Demostración: Notamos que si algún n0 tuviera medida infinita, entonces también sería m( n ) = + para n n 0 y m() = + pues n0 n para n n 0, y la medida es creciente. n consecuencia, el teorema se verifica trivialmente en este caso. Podemos suponer pues que todos los n tienen medida finita. Pongamos 0 =. Notamos que entonces: = n N( n n 1 ) donde la unión es ahora disjunta. n consecuencia por la σ-aditividad de la medida de Lebesgue, m() = m( n n 1 ) n=1

30 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 29 Pero como n 1 n, m( n n 1 ) = m( n ) m( n 1 ) n consecuncia tenemos (serie telescópica): m( n n 1 ) = n=1 lím k + k m( n n 1 ) n=1 = lím k + pues m( 0 ) = m( ) = 0. k [m( n ) m( n 1 )] = lím m( k) k + n=1 Teorema Si ( n ) n N es una sucesión decreciente de conjuntos medibles n n+1... y = n n N ntonces si m( n0 ) < + para algún n 0, m() = lím m( n) n + Demostración: Tomando complemento con respecto a n0 tenemos que: n0 = n N( n0 n ) (ley de De Morgan) Utilizando el teorema tenemos entonces que: m( n0 ) = lím m( n 0 n ) n + Como n n0, y n0, todos tienen medida finita y se tiene que m( n0 ) = m( n0 ) m(), m( n0 n ) = m( n0 ) m( n ) Por lo tanto: m( n0 ) m() = ( ) lím m( n 0 ) m( n ) = m( n0 ) lím m( n) n + n + Concluimos que: m() = lím m( n) n + Observación: sta última propiedad no es válida si los n tienen todos medida infinita. Contraejemplo: n = [n, + ) en R, =.

31 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli Caracterizaciones de los conjuntos medibles Definición Diremos que A R d es un conjunto de clase G δ si es intersección numerable de abiertos: A = G k donde los G k son abiertos. Definición Diremos que B R d es un conjunto de clase F σ si es unión numerable de cerrados: B = F k donde los F k son cerrados. Observación l complemento de un F σ es un G δ y recíprocamente. jercicio: (de Cálculo Avanzado) 1. Probar que todo cerrado es de clase G δ. 2. Probar que Q no es un G δ. Observación Como todo abierto es medible todo cerrado es medible (ya que la clase de los medibles es cerrada por complemento), en consecuencia todo conjunto de clase F σ o de clase G δ es medible (ya que la clase de los medibles es cerrada por uniones e intersecciones numerables) Teorema Para R d son equivalentes las siguientes afirmaciones: a) es medible b) Para todo ε > 0 existe un abierto G tal que G y m e (G ) < ε c) xisten G, N R d tales que G es G δ, N tiene medida cero y = G N d) xisten F, N 1 R N tales que F es F δ, N 1 tiene medida cero y = F N 1 Demostración: a) b) : Dado ε > 0, existe U σ-elemental tal que U y m e (U ) < ε. Como U es σ-elemental será U = donde los I k son intervalos disjuntos. Para cada intervalo I i podemos tomar un intervalo abierto J i tal que: I i J i y m(j i ) m(i i ) + ε 2 i. Definimos entonces el conjunto: G = Como los J i son abiertos, G es abierto; y se tiene que G U. Además, I i J i G = (G U) (U )

32 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 31 Por lo tanto, ( ) ( ) G U = J i I i (J i I i ) ε m(g U) m(j i I i ) = (m(j i ) m(i i )) 2 k = ε n consecuencia, m(g ) m(g U) + m(u ) ε + ε = 2ε Como ε es arbitario, esto prueba a) b). b) c): n b) eligimos ε = 1/k resulta que existe (para cada k N) un abierto G k tal que G k y m e (G k ) < 1/k. Definimos entonces: G = Resulta entonces que G es de clase G δ y G. Sea N = G. Como G G k G G k, luego: G k m e (N) = m e (G ) m e (G k ) 1/k Como k N es arbitrario debe ser m e (N) = 0. Claramente = G N c) a): Si G es G δ y N de medida nula son medibles y si = G N es medible por ser diferencia de medibles. a) d): Si es medible c = R d es medible. Como ya probamos que a) c) deducimos que existen G de clase G δ y N de medida nula tales que c = G N. Sea F = G c = R d G entonces F es de clase F σ (complemento de un G δ ). Como G c F. Tenemos = F N 1 N 1 = F = (R N G) = G = N m(n 1 ) = 0 d) a): Si = F N donde F es F σ y N de medida nula, es medible por ser unión de medibles. jercicio (otra caracterización de los conjuntos medibles) C. Caratheodory probó que un conjunto R d es medible si y sólo si para cualquier conjunto A R d (medible o no) se cumple que: m e (A) = m e (A ) + m e (A c ) (ejercicio de la práctica 1). Toda la teoría puede basarse en esta definición alternativa de conjunto medible (ver por ejemplo el libro de P. Halmos [Hal50]). n el teorema anterior probamos que en la definición de conjunto medible es posible cambiar los σ-elementales por los abiertos. Vamos a probar que lo mismo puede hacerse al definir la medida exterior:

33 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 32 Teorema m e () = ínf{m(g) : G abierto, G } Demostración: Notaremos Todo abierto es σ-elemental, entonces α() = ínf{m(g) : G abierto, G } {m(g) : G abierto, G } {m(u) : U, Uσ elemental } n consecuencia, o sea, ínf{m(g) : G abierto, G } ínf{m(u) : U, Uσ elemental } α() m e () Ahota queremos probar que: α() m e (). Si m e () = + no hay nada que probar. Supondremos pues que m e () < +. Dado ε > 0 por la definición de la medida exterior existe un σ-elemental U tal que m(u) < m e () + ε. l conjunto U se escribirá en la forma: U = donde los I i son intervalos disjuntos. Para cada i N consideramos un intervalo abierto J i tal que: m(j i ) m(i i ) + ε 2 i y definimos G = ntonces G U y G es abierto por ser unión de abiertos. Además: m(g) m(j i ) m(i i ) + ε 2 i = m(i i ) + ε = m(u) + ε < m e () + 2ε Ahora por definición α() m(g), luego: α() < m e () + 2ε y como ε es arbitrario resulta: α() m e () Por lo tanto, α() = m e () como queríamos probar. I i J i

34 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli Otras propiedades de la medida de Lebesgue Teorema (Invariancia por traslaciones) Si R d es medible, entonces + x es medible y m( + x) = m() Teorema (efecto de una dilatación) Si R N es medible, entonces λ es medible y m(λ) = λm() Teorema (efecto de una transformación lineal) Si R d es medible y T : R N R d es una transformación lineal, entonces T () es medible y m(t ()) = det(t ) m() Teorema (regularidad de la medida) Si R d es medible, entonces m() = ínf{m(g) : G, G abierto } y m() = sup{m(k) : K, K compacto } Demostración: Como la medida de un conjunto medible no es otra cosa que su medida exterior, la primer propiedad se deduce inmediatamente del teorema La segunda parte la dejamos como ejercicio l conjunto de las diferencias de un medible Definición Sea R un conjunto medible, definimos su conjunto de diferencias por D() = {x y : x, y } Teorema (Teorema de Steinhaus) Si m() > 0, existe un δ > 0 tal que ( δ, δ) D(). Demostración: Notamos que en virtud de la regularidad de la medida, existirá un cerrado F con 0 < m(f ) < +, y como D(F ) D(), bastará probar el teorema para F. Como suponemos F cerrado, si llamamos U n = {x : d(x, ) < 1 n }, tendremos que F = n N U n y en consecuencia, m(f ) = lím m(u n) n + por lo que podremos elegir n 0 tal que m(u n0 ) < 3 2m(F ).

35 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 34 Tomamos entonces δ < 1 n 0. Afirmamos que si x < δ, entonces F (F +x) : si suponemos que no, tendremos que: pues m(u n0 [F (F + x)]) m(u n0 F ) + m(u n0 (F + x)) U n0 [F (F + x)] = (U n0 F ) (U n0 (F + x)) pero por la elección de δ, F + x U n0, en consecuencia obtenemos que: m(u n0 [F (F + x)]) m(u n0 ) m(f ) + m(u n0 ) m(f + x) = 2m(U n0 ) 2m(F ) < m(f ) por la invariancia por traslaciones de la medida de Lebesgue. sto es una contradicción, pues como F U n0, debe ser F U n0. sta contradicción provino de suponer que F y F + x eran disjuntos, en consecuencia existirá y F tal que x+y F, y por lo tanto x = (y +x) y D(F ) D(). Corolario Si R es medible y m() > 0, entonces tiene la potencia del continuo (esto es tiene cardinal c = #(R)). Demostración: Claramente es infinito no numerable (pues sino m() = 0). Por el teorema , deducimos que c = # (( δ, δ)) D() #() #() = #(), por ser #() un cardinal infinito xistencia de conjuntos no medibles Teorema (Vitali) xisten conjuntos no medibles (Lebesgue). Más aún: cualquier conjunto medible R con medida positiva contiene un conjunto no medible. Demostración: n el conjunto definimos una relación de equivalencia: x y x y Q Consideramos esta relación restringida al conjunto. sto determina una partición del conjunto en clases de equivalencia 4 Utilizando el axioma de elección, formamos un conjunto V eligiendo un elemento en cada clase de equivalencia de. l conjunto así construido recibe el nombre de conjunto de Vitali 5. Vamos a probar que V no es medible. 3 Notemos que esta prueba utiliza el axioma de elección (que se requiere para probar que α 2 = α para todo cardinal infinito α), pero no la hipótesis del continuo (si aceptáramos dicha hipótesis, la conclusión sería trivial.) 4 n el lenguaje del álgebra: consideramos el grupo cociente R/Q. 5 Ponemos la plabra construido entre comillas pues precisamente esta demostración que emplea de modo esencial el axioma de elección es un ejemplo paradigmático de demostración no constructiva.

36 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 35 Fijamos una numeración del conjunto de los números racionales: Q = (q k ) k N (lo cual es posible dado que Q es numerable), y consideramos los conjuntos trasladados de V por números racionales : Notamos que: V k = V + q k k N V k Pues si x, entonces x v para algún v V, dado que V contiene un elemento en cada clase de equivalencia. Luego x v Q, es decir x v = q k para algún k y por consiguiente x V k. Si V fuera medible, cada V k sería medible y m(v k ) = m(v ) (por la invariancia por traslaciones de la medida de Lebesgue). Por lo tanto, por la σ- subatividad: m() m(v k ) m(v ) (1.7) Si m(v ) = 0, resultaría que m() = 0 contra la hipótesis. Queda pues analizar qué sucede si m(v ) > 0. Por otra parte si fuera m(v ) > 0, D(V ) debería contener un intervalo de la forma ( δ, δ) para algún δ > 0, en virtud del teorema Pero por la definición de V, tenemos que D(V ) Q = {0} sto es una contradicción, dado que por la densidad de los racionales en el intervalo ( δ, δ) hay infinitos números racionales. ste absurdo provino de suponer que V era medible. n consecuencia V no puede ser medible. Observación l mismo argumento muestra que cualquier subconjunto medible del conjunto de Vitali mide cero 6. Nota sobre esta demostración: La construcción de conjuntos no medibles depende de manera esencial del axioma de eleccción. l matemático Robert Solovay consiguió construir en [Sol70] un modelo de la teoría de conjuntos (de Zermelo-Fraenkel) en el que no vale el axioma de elección para familias arbitrarias de conjuntos, pero en el que todo conjunto es medible. (Se trata de una prueba de consistencia relativa: si la teoría de Zermelo- Fraenkel tiene un modelo, es posible construir otro modelo en que todo conjunto sea medible Lebesgue). l teorema fue demostrado por H. Steinhaus en [Ste20]. Nota sobre la bibliografía: xisten diversas presentaciones de la teoría de la medida en la Bibliografía. Además de la construcción geométrica que hemos seguido 6 sto dice que la medida interior, definida como m i (V ) = sup{m(f ) : F V, F cerrado }, del conjunto de vitali es nula.

37 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli 36 (ver los libros de Fava y Zó [FZ96], y Wheeden y Zygmund [WZ77]), existen otros procedimientos más abstractos que permiten construir la medida (y la integral) de Lebesgue. Por ejemplo, podemos mencionar la del clásico libro de Halmos [Hal50] (que se apoya en la definición de Carathéodory de los conjuntos medibles, que permite formular un teorema de extensión de medida en el contexto de las álgebras y σ-álgebras de conjuntos), o la de Rudin [Rud87] (que introduce primero la medida en un espacio abstracto, y desarrolla a partir de allí toda la teoría de la integración, para después recién obtener la medida de Lebesgue; a partir de un teorema de F. Riesz que representa las funcionales lineales continuas sobre el espacio de funciones continuas con soporte compacto, como integrales con respecto a una medida). stas últimas presentaciones son ciertamente interesantes para profundizar en el estudio del tema, pero creo que son demasiado abstractas para una primera aproximación. Finalmente, cabe mencionar la presentación de F. Riesz-Sz. Nagy [RSN90], en la que se recorre el camino inverso del que seguimos nosotros: construye primero la integral de Lebegue utilizando una aproximación por funciones continuas de soporte compacto, que son integrables en el sentido de Riemann, para después introducir la medida de Lebesgue a partir de ella. l libro de Billingsley [Bil95] contiene una interesante presentación de la teoría, motivada desde la teoría de probabilidades.

38 Capítulo 2 Funciones Medibles e Integral en espacios abstractos Nota: n mis cursos anteriores de análisis real (en 2007 y 2009) vimos primero los conceptos de función medible e integral en R d, y después su generalización al contexto de espacios de medida abstractos. n R d, la integral puede definirse geométricamente (para funciones no negativas) como medida del conjunto bajo el gráfico de la función, como pueden vern en los libros de Fava y Zó [FZ96], o de Wheeden y Zygmund [WZ77]. n estas notas, desarrollamos estos conceptos directamente en el marco de un espacio abstracto. Adopté este enfoque en el curso de 2017, ya que ahora se asume que los alumnos cursaron la materia Probabilidades y stadística, y por eso ya están familiarizados con los espacios de probabilidad abstractos Álgebras y σ-álgebras de conjuntos Sea un conjunto al que llamaremos el espacio. Sus elementos serán llamados puntos del espacio. n lo sucesivo consideraremos solamente conjuntos que sean subconjuntos de. Definición Una colección de conjuntos A P()[P(): partes de ) se llama un álgebra de conjuntos si: 1. A 2. Si A A, entonces A c = A A 3. Si A, B A, entonces A B A. Corolarios: 1. A ( = c ) 37

39 Notas de Análisis Real - c Pablo L. De Nápoli Si A, B A, entonces A B A (pues por la ley de De Morgan, A B = (A c B c ) c ) 3. Si A, B A, entonces A B A [A B = A B c ]. jemplo: Los conjuntos elementales de R d forman un álgebra. Definición Un álgebra de conjuntos A que es cerrada bajo uniones numerables se llama una σ-algebra. s decir un álgebra A es una σ -álgebra si para cualquier sucesión infinita (A n ) de conjuntos de A, n=1 A n A Corolario Una σ-álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables. O sea si (A n ) es una sucesión infinita de conjuntos de A, entonces n=1 A n A jemplo 1: Los conjuntos medibles Lebesgue en R d forman una σ-álgebra. jemplo 2: {, } es una σ-álgebra. P() es una σ-álgebra. jemplo 3: Sea A la colección de los A tales que A es numerable o A c es numerable. A es una σ-álgebra. Observacion: La intersección de una familia arbitraria de álgebras (σ-álgebras) de subconjuntos de es un álgebra (σ -álgebra). n particular dada una colección C P() podemos considerar la intersección de todas las álgebras (σ-algebras) que contienen a C (Hay por lo menos una: P()). l álgebra (σálgebra) así obtenida se llama el álgebra (σ- álgebra) generada por C. Definición La σ-álgebra de Borel en R d es la σ-álgebra generada por los abiertos. Sus elementos se denominan conjuntos borelianos. 1 jemplo: Los conjuntos cerrados son conjuntos borelianos. También lo son los conjuntos de clase F σ y de clase G δ. l álgebra (σ-álgebra) generada por C está caracterizada por ser la más pequeña álgebra (σ-álgebra) que contiene a C Medidas sobre un álgebra de conjuntos Definición Sea A un álgebra de conjuntos. Una función µ : A [0, ] se llama una medida (positiva) si: 1. µ( ) = 0 2. µ es σ-aditiva, es decir: para cualquier sucesión A 1, A 2,..., A n,... de conjuntos disjuntos de A cuya unión n=0 A n pertenezca a A se cumple que: ( ) µ A n = µ(a n ) n=1 1 Más generalmente, podríamos definir los conjuntos bolerianos si es además de un espacio medible, un espacio métrico o topológico en el que los abiertos son medibles, lo que sucede en muchas aplicaciones de la teoría de la medida. n=1