Clase 3: Vectores gaussianos *

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1 Clase 3: Vectores gaussianos * Índice 1. Vectores gaussianos 1. Simulación de vectores gaussianos.1. Simulación de variables gaussianas: el método de Box-Muller.. Simulation of bi-dimensional Gaussian vectors Simulación de vectores gaussianos: el método de Cholesky Vectores gaussianos Comenzamos recordando la definición de un vector normal (o gaussiano) multidimensional. Definición 1 (a) Una variable aleatoria X tiene distribución normal con media µ y varianza σ cuando tiene densidad dada por ( p(x) = 1 σ π exp 1 ( ) ) x µ. σ (b) Dados un vector µ R n y una matriz n n semidefinida positiva Σ, decimos que el vector aleatorio X = (X 1,..., X n ) tiene distribución normal multidimensional con parámetros (µ, Σ), cuando para todo α R n se tiene 1 ( Ee iαtx = exp iα t m 1 ) αt Σα (1) * Notas de clase del curso Simulación en procesos estocásticos (017) preparadas por E. Mordecki 1 Identificamos los vectores x de R n con las matrices columna, correspondientemente x t denota la matriz traspuesta de x. 1

2 (c) Decimos que el vector aleatorio X = (X 1,..., X n ) tiene distribución normal multidimensional estándar cuando µ = 0 y Σ = I n (matriz identidad n n). Proposición 1 Son equivalentes: (a) el vector aleatorio X = (X 1,..., X n ) tiene distribución normal multidimensional con parámetros µ = EX y Σ = covx = (cov(x i, X j )) 1 i,j n, (b) para todo α R n el vector α t X tiene distribución normal en R. Demostración. Vemos que (a) (b) se obtiene de la fórmula (1) y el teorema de unicidad de las funciones características. Para ver (b) (a), elegimos α R n fijo y arbitrario. Tenemos Eα t X = α t EX, y var(α t X) = n i,j=1 α iα j cov(x i, X j ). Si definimos µ = EX y Σ = (cov(x i X j )) tenemos que se verifica (1). Vista la identificación de las distribuciones con sus funciones características, de la definición surge que los parámetros µ y Σ caracterizan la distribución gaussiana. Mas aún, de la proposición anterior obtenemos que µ = EX, Σ = covx = E(X µ)(x µ) t, es decir, µ es el vector de las esperanzas de las coordenadas, y Σ la matriz que reune a las covarianzas de las coordenadas.. Simulación de vectores gaussianos.1. Simulación de variables gaussianas: el método de Box- Muller Comenzamos simulando un par de variables gaussianas estándar, basándonos en el siguiente resultado. Proposition 1 Sean U, V dos variables uniformes independientes. Entonces (X, Y ) = ( log U sin(πv ), log U cos(πv )), tiene la distribución de un vector bi-variado normal estándar, es decir ( [ ]) 1 0 (X, Y ) N (0, 0),. 0 1

3 Demostración. Para un conjunto A R, tenemos P((X, Y ) A) = ( log u sin(πv), log u cos(πv)) A Hacemos un cambio de variable, de acuerdo a dudv. x = log u sin(πv), y = log u cos(πv). Calculamos ahora u, v en función de x, y. Obtenemos u = e 1 (x +y ), v = 1 π arctan(y/x). El Jacobiano del cambio de variable es [ e 1 (x +y ) ( x) e 1 (x +y ) ] ( y) J(x, y) = 1 π(1+(y/x) ) ( y/x 1 ) π(1+(y/x) ) (1/x) Entonces P((X, Y ) A) = = ( log u sin(πv), log u cos(πv)) A (x,y) A 1 π e 1 (x +y ) dxdy, = 1 π e 1 (x +y ). dudv que prueba que el vector (X, Y ) es normal estándar, dado que el integrando es la correspondiente densidad... Simulation of bi-dimensional Gaussian vectors We want to simulate a bi-dimensional gaussian vector with mean (µ 1, µ ) and covariance matrix [ ] σ 1 ρσ 1 σ ρσ 1 σ σ () It is simple to check that if (Z 1, Z ) are independent standard normal, then X 1 = µ 1 + σ 1 Z 1, X = µ + σ (ρz ρ Z ) (3) has the desired properties. 3

4 .3. Simulación de vectores gaussianos: el método de Cholesky Un vector aleatorio normal X está caracterizado por su esperanza µ y su matriz de covarianza Σ, que es una matriz semi-definida positiva. Decimos que el vector normal es estándar cuando Σ es la matriz identidad. Cuando X es no degenerado, tenemos det(σ) 0, resultando una matriz definida positiva. El siguiente resultado fundamenta el método de simulación de Cholesky. Proposición Dado el vector gaussiano X en R n con parametros (µ, Σ), si det Σ 0 existe una matriz A de tamaño n n tal que X = µ + AZ, (4) donde la igualdad es en distribución, y Z es un vector normal estándar en R n. Demostración. Como Σ es definida positiva es diagonalizable en una base ortonormal. Es decir, existe una matriz de pasaje ortogonal P y una matriz diagonal D con diagonal estrictamente positiva tal que Σ = P t DP. Tomando D la matriz diagonal con entradas diagonales correspondientes a las raíces cuadradas de las entradas de D. Podemos escribir entonces, con A = DR, que Σ = A t A. Si Z es un vector con coordenadas independientes normales es un vector normal estándar, y se verifica (4). Observamos ahora que, si Z es un vector is a standard normal vector in R d, (i.e. Z N (0, I n ) donde I n es la matriz identidad de tamaño n), tenemos que X = µ + A t Z N (µ, Σ). De hecho, EX = µ + A t EZ = µ, y covx = E(A t Z)(A t Z) t = A t EZZ t A = A t I n A = Σ. Entonces, como sabemos simular Z (por el método de Box-Muller, por ejemplo) podemos también simular X. Ejercicio 1. Multivariate normal vectors. Use the Cholesky method to sample a vector (X, Y, Z) normally distributed as 0 (X, Y, Z) N 0, / 1/3 1/ 1 1/ 1/3 1/ 1

5 Check your results computing the empirical variances and covariances. Ejercicio. Check that, if (Z 1, Z ) are independent standard normal, the random vector defined in (3) has expectation (µ 1, µ ) and covariance matrix given in (). Ejercicio 3. Bivariate normal vectors (a) Produce a sample of bi-dimensional vectors (X, Y ) normally distributed, according to (( ) ( )) 1 1 0,8 (X, Y ) N,. 0 0,8 1 Compute the empirical correlation to check your results. (b) Plot your sample also to check your results. 5