Forma alternativa del cálculo de momentos:

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1 Forma alternativa del cálculo de momentos: Series Temporales: sesión 4 03//009) Autor: Ángela Fernández Pascual Considerando X 0, ), sabemos que sus momentos toman los valores: Podemos definir: EX k+ ) 0 EX k ) k )!! k ) k 3) k 5) 5 3 fa) x a e dx π Aplicamos el cambio de variable: y ax a e y π dy Ya hemos visto que la integral sobre y vale dy adx porque corresponde a la nomalización de la gaussiana a a a > 0 Si a f) Por qué hacemos esta integral? Si derivamos: a fa) a dx π x a e e a x a π dx x a e ) x dx π Ex ) x e x dx π Vemos que obtenemos el momento de orden Si ahora calculamos la segunda derivada: a fa) x a ) e x dx a π ) ) Ex 4 ) x 4 e x dx π Obtenemos el momento de orden 4 Mediante el mismo procedimiento llegamos a la fórmula general: k a k fa) k Ex ) k )

2 Es decir, podemos escribir el momento de orden k como: Ex k ) ) k k a k fa) donde fa) y sus derivadas vienen dadas por fa) a f a) ) f a) k a k fa) a 3 ) 3 ) a 5 ) k 3 5 k )a k+ Y por tanto, la expresión del momento de orden k es equivalente a la definición que ya habíamos visto antes, cuando a : Ex k ) ) k ) k k )!! k )!! En general, para z µ, σ) x µ) k E σ k k )!! E x µ) k k )!!σ k Función generatriz de momentos La idea utilizada para obtener los momentos de orden par es la misma que la que aparece para calcular la función generatriz de momentos Definimos la función generatriz de momentos como Ee bx ) Derivando: b E e bx E b ebx E xe bx Evaluando en 0: b E e bx b0 E x Siguiendo el mismo procedimiento, podemos calcular el momento de orden k: Si la variable es discreta, tendremos que calcular k b k E x e bx b0 E x k E n b n )

3 Función generatriz de una gaussiana: E e bx e x bx e π dx Idea: queremos conseguir e y dy Completamos el cuadrado: x + bx x bx x bx + b b x b) b e x b) e b dx π Cambio de variable: y x b e y e b dx π e b Podemos comprobar que sus primeros momentos son correctos: Ex) b Eebx ) be b 0 b0 b0 Es decir la media es 0 Ex ) b Eebx ) + b )e b b0 b0 Y la varianza Un buen ejercicio sería comprobar que se genera la secuencia correcta de momentos de orden par, calculando unos cuántos términos más: Ex 4 ) 3 Ex 6 ) 5 Ex 8 ) 05 Proceso de Wiener: Ya habíamos visto que definimos el proceso de Wiener en tiempo 0, T dividido en subintervalos de tamaño t, como un proceso estocástico que, para una trayectoria concreta m, viene dado por: 0 0 t t t t t 3 t m) t W + X m) m) t W 3 + X m) 3 X m) Con X i 0, ) Para definir este proceso se utilizan las definiciones t t t t n n t; n 0,,,, ; t T/; n t n ); n 0,,,, ; m,, M ivel del proceso a tiempo t n en la trayectoria m + Xm) t para una simulación de M trayectorias en pasos 3

4 Habíamos visto también que se trata de un proceso recursivo en el que cada paso viene definido en función de los anteriores: X m) + X m) ) t X m) + + X m) ) t Entonces, la distribución del proceso en tiempo t para una trayectoria cualquiera vendrá dada por: X m) t 0, t) X m) + X m) ) t 0, t) Por ser la suma de dos variables gaussianas independientes n X n m) t 0, t) Por ser la suma de variables gaussianas independientes Conclusión: El proceso de Wiener para tiempo t sigue una distribución: W t) 0, t) Las trayectorias que sigue este proceso se pueden observar en la figura Figura : Trayetorias del proceso de Wiener Fijado t, si pintamos el histograma tenemos una normal de anchura t figura ) y con probabilidad: t t P W t ; t) e W πt Esto es lo que habíamos definido como un proceso de difusión, es decir, la varianza aumenta con el tiempo Resolución del ejercicio del día 0/0/09: EW n W n+k ) k > 0? 4

5 Figura : Histograma del proceso de Wiener para un t fijo Reescribimos con k > 0): W n+k W n + X n+ + X n+ + + X n+k ) t W n W n+k W n + W n X n+ + X n+ + + X n+k ) t Calculamos la esperanza y aplicamos la propiedad distributiva EW n W n+k ) EWn) + EW n X n+ ) + EW n X n+ ) + + EW n X n+k ) t V arw n ) EWn) EW n ) EW n) V arw n ) n t puesto que EW n ) 0 EW n X n+ ) 0 puesto que W n, X n+ son independientes y EW n ) 0 EX n+ ) 0 EW n W n+k ) n t EW n X n+k ) 0 por construcción CUIDADO: EW n X n ) 0 En este caso no son independientes pues W n X + X + + X n + X n, por lo que X n se ha utilizado para construir W n Si definimos: Tendremos: t n n t W t n ) W n EW t)w s)) t si t < s mint, s) Observando el diagrama de autocovarianzas figura 3), vemos que las covarianzas no varían a lo largo del tiempo, puesto que llega un momento que no hay correlación entre los procesos, no hay información nueva 5

6 Figura 3: Diagrama de autocovarianzas del proceso de Wiener Movimiento browniano aritmético o proceso de Wiener generalizado: Definimos el movimiento browniano geométrico como: Z 0 0 Z n Z n + µ t + σ tx n n,, OTA: Estos procesos son válidos para cualquier t X n 0, )independientes ruido blanco gaussiano) Para una trayectoria m y tiempo 0, T dividido en intervalos t nuestro proceso es de la forma: Z 0 0 t t t t t 3 t t t igual para todas las trayectorias) Z 0 + µ t + σx m) t + µ t + σx m) t 3 + µ t + σx m) 3 t Zm) + µ t + σxm) t Z0 + µ t) + σx m) + X m) ) t Z0 + µ3 t) + σx m) + X m) + X m) 3 ) t Z0 + µ t) + σ i X m) i t La distribución del proceso para cada tiempo t será: Z 0 + µ t, σ t) Z 0 + µ t), σ t) X, X ID X + X ) 0, ) 3 Z 0 + µ3 t), σ 3 t) Z 0 + µ t), σ t) 6

7 En resumen: Propiedades de Zt) Zt) es un proceso browniano aritmético si: EZt) Z 0 + µt V arzt)) σ t Proceso de difusión) CovZt), Zs)) σ mins, t) Podemos ver el efecto de estas propiedades en las trayectorias del proceso en la figura4 Figura 4: Trayectorias del proceso browniano aritmético TRUCO MATLAB: Si usamos bucles, es mucho mejor reservar memoria primero Z zerosm, + ) porque se acelera mucho la ejecución Movimiento browniano geométrico: Definimos el movimiento browniano geométrico como: S 0 S n S n exp µ σ ) t + σx n t n,, X n 0, )independientes ruido blanco gaussiano) Para una trayectoria m y tiempo 0, T dividido en intervalos t nuestro proceso es de la forma: S m) 0 S 0 t t t t t 3 t t t S m) S 0 exp µ σ ) t + σx m) S m) S m) exp µ σ ) t + σx m) t t S m) 3 S m) exp µ σ ) t + σx m) 3 t S m) Sm) exp µ σ ) t + σx m) t 7 S 0 exp S 0 exp S 0 exp µ σ ) t) + σx m) + X m) ) t µ σ )3 t) + σx m) + X m) + X m) 3 ) t µ σ ) t) + σ i X m) i t

8 Si nos fijamos en el término de la exponencial, nos damos cuenta que sigue una distribución normal: µ σ )n t) + σ n i X m) i t µ σ )n t, σ n t) Por tanto el proceso browniano geométrico tiene la distribución de la exponencial de una normal Esto es una lognormal Distribución lognormal: Si Z Lm, s), entoces Z expm + sx) con X 0, ) La pdf de esta distribución tiene la forma mostrada en la figura 5 Figura 5: Función de densidad de probabilidad de una va L Este tipo de distribuciones se caracteriza por: Sólo toma valores positivos f0) 0 La moda no coincide con la media como sí ocurría en la normal) MODA e m E z Z E x e m+sx e m E x e sx e m e s e m+ s E z Z E x e m+sx e m+s V arz) EZ ) EZ) e m e s es ) Propiedades del proceso Browniano geométrico: St) Lµ S 0 σ )t, σ t) St) S0) exp {µ σ ESt) E S0) exp {µ σ )} S0) exp {µ σ E { S 0 exp µ } σ )t exp 8 ) + σ tx } ; X 0, ) ) + σ } tx { exp σ } tx { σ } t S 0 exp {µt}

9 En la figura 6 podemos ver un ejemplo de las trayectorias de un browniano geométrico En la figura 7 se aprecia que, fijado t, la distribución del proceso sigue una lognormal CUIDADO: S 0 0 Por convención, se puede utilizar S 0 o S 0 00 Figura 6: Trayectorias del proceso browniano geométrico Figura 7: Histograma del proceso Browniano geométrico para un t fijo OTA: El proceso browniano es continuo pero no derivable Por esta razón no podemos pasar del browniano geométrico al aritmético tomando el logaritmo Para hacer esto tendríamos que cambiar las reglas de la derivada pero no vamos a entrar en ello Ejercicio: Determinar A, B, C: Para un browniano aritmético P Z t, t) πσ t exp z t µt) σ t A P z, t) P z, t) P z, t) z + B + CP z, t) z t 9