Secuencias Aleatorias

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1 Caminantes aleatorios. Secuencias Aleatorias Contenidos. Secuencias aleatorias. Caminantes aleatorios. Movimiento Browniano. La hipótesis de eficiencia de los mercados implica que la cotización de un título en el mercado bursátil se comporta como un caminante aleatorio. Por ello, vamos a estudiar desde un punto de vista numérico las propiedades de este caminante random walk. Supongamos una partícula cuya dinámica se desarrolla en Tiempo discreto t =0,,,... Espacio discreto n =0, ±, ±,... Nota: En finanzas la variable espacio corresponde al precio o al rendimiento del subyacente. La dinámicadelapartícula es estocástica, y puede ser expresada con la siguiente ecuación I n (t +)= m ξ n m (t)i m (t), donde I n (t) es un indicador igual a si la partícula se encuentra en el nodo n en tiempo t, y cero en caso contrario. La variable ξ n m (t) es una variable estocástica que indica si en el tiempo t hay un salto de la partícula del nodo m al nodo n.

2 Dado que la dinámica es estocástica, tiene más sentido estudiar la evolución de un conjunto de caminantes aleatorios: Sea la configuración de nuestro sistema de caminantes aleatorios {P n (t); n =0, ±, ±,...}, donde P n (t) es la fracción de partículas en el nodo n atiempot. La ecuación de evolución en promedio de esta distribución es P n (t +) = P n (t)+ m n W n m P m (t) m n W m n P n (t), donde W m n es la probabilidad de transición del nodo n al nodo m. Utilizando la propiedad W m n =, la ecuación se puede reescribir como m Consideremos el caso que el camino aleatorio sea de la forma t Z t = Z 0 + donde X τ = τ= X τ { + con probabilidad p con probabilidad ( p) La ecuación de evolución es P n (t +)=pp n (t)+( p)p n+ (t) La solución con la condición inicial P n (0) = δ n0 es P (Z t = n Z 0 =0)= t (t + n) p (t+n)/ ( p) (t n)/, si n y t tienen la misma paridad, 0 en caso contrario. Propiedades: Para p = / la distribución de probabilidad es el triángulo de Tartaglia, con un factor de normalización. P n (t +)= m W n m P m (t). Homogeneidad en el espacio y en el tiempo P (Z t = n Z τ = m) =P (Z t τ = n m Z 0 =0) 3

3 La solución para una condición inicial distinta es P n (t) = m Probabilidad de vuelta al origen P (Z t =0 Z 0 =0)= 8 < : P m (0)P (Z t = n Z 0 = m) τ τ 0 si t =τ + p τ ( p) τ si t =τ Número de visitas medias al punto de partida N 0 = P (Z t =0 Z 0 =0)= t=0 Nota: Se ha utilizado la igualdad X m m m=0 x m = 4x p Probabilidad de regreso al punto de partida P (Z t =0para algún t>0 Z 0 =0)= p El tiempo medio de regreso al origen diverge. Barreras. Consideremos las propiedades del caminante aleatorio en presencia de barreras Cual es la probabilidad que un caminante aleatorio que comienza en a alcance N>aantes que 0? P (Z t = N antes que Z t =0 Z 0 = a) = { (( p)/p) a (( p)/p) N si p a/n si p = Considerar un sistema con la siguiente ecuación dinámica P n (t +)=pp n+ (t)+qp n (t), con p + q =, y las condiciones de contorno La solución estacionaria es P n = P 0 (t) =0; P N (t) =. { (q/p) n (q/p) N si p / n/n si p =/ 4 5

4 Considerar un problema donde cada partícula puede encontrarse en los nodos n =0,,, 3, 4 de una cuerda. La evolución es del tipo P n (t +)= 4 W n m P m (t), m=0 con la matriz de probabilidades de transición W = , correspondiente a dos barreras reflectantes en n =0, 4. La distribución estacionaria viene dada por la ecuación de autovalores WP = P. Para una distribución original la distribución de equilibrio es 0 = 5.63 = 3.58 = = = En MATLAB: La instrucción de MATLAB sobre la matriz cuadrada M devuelve en [V,D] = eig(m) V = Matriz de autovectores normalizados D = Vector con los autovalores correspondientes 0 = 0 = 0 = 0 3 = 0 4 = 0 6 7

5 Relación entre el caminante aleatorio y un proceso de difusión. El caminante aleatorio es la versión discreta de un proceso de difusión Caso simétrico Consideremos un caminante aleatorio simétrico, en un espacio y tiempo discretos P (x, t + t) = [P (x + x, t)+p (x x, t)]. La ecuación se puede reformular de la siguiente forma P (x, t + t) P (x, t) = (P (x + x, t)+p (x x, t) P (x, t)). En el ĺımite continuo ( x 0, t 0), la ecuación en diferencias finitas se convierte en la ecuación de difusión con una constante de difusión Caso asimétrico D = ( x) lim x 0, t 0 t P (x, t + t) =[pp (x + x, t)+qp(x x, t)], con p + q = La ecuación se puede reformular de la siguiente forma P (x, t + t) P (x, t) = (p q)[p (x + x, t) P (x x, t)] + (P (x + x, t)+p (x x, t) P (x, t)) En el ĺımite continuo ( x 0, t 0), la ecuación en diferencias finitas se convierte en la ecuación de difusión con un término de advección P(x, t) t P(x, t) =(p q) x con una constante de difusión + ( x) P (x, t) t x, P(x, t) t = ( x) P (x, t) t x, D = ( x) t 8 9

6 En -D Movimiento Browniano. P (x, y, t + t) = [P (x x, y, t)+p (x, y y, t) 4 + P (x + x, y, t)+p (x, y + y, t)], En el ĺımite continuo ( x 0, y 0, t 0), la ecuación en diferencias finitas se convierte en la ecuación de difusión en dimensiones P(x, y, t) t = D xx P (x, y, t) x + D yy P (x, y, t) y, Consideremos la ecuación diferencial estocástica dz t = µdt + σdw t, con ruido blanco y Gaussiano. Ecuación de Langevin con coeficientes de difusión constantes D xx = ( x) t, D yy = ( y) t dz t dt con las propiedades Ż(t) =µ + σξ(t) ξ(t) = 0 ξ(t)ξ(s) = δ(t s) Formalmente, la solución de la dinámica puede escribirse como Z(t) =Z 0 + µt + σ t 0 dτ ξ(τ) 0

7 El promedio evoluciona según la ecuación Z(t) = Z 0 + µt Definiendo Ẑ(t) =Z(t) Z(t), el segundo momento central evoluciona según la ecuación Ẑ(t)Ẑ(t) = σ t Autocovarianza Ẑ(t)Ẑ(t0 ) = σ min(t, t 0 ) Ver demobrownianoaritmetico.m Ecuación de Fokker-Planck Definimos la densidad de probabilidad que satisface la ecuación P (x, t) P (Z t = x, t), t P (x, t) = µ x P (x, t)+ σ xp (x, t). Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Fokker-Planck. Para la condición inicial P (x, 0) = δ(x Z 0 ) tiene la solución K(x, t) = con z = x Z 0. { } πσ t exp (z µt), σ t 3

8 Para una condición inicial arbitraria P (x, 0) = P 0 (x) la ecuación de Fokker-Planck tiene la solución Propiedades del movimiento Browniano En este apartado estudiaremos de manera numérica alguna de las propiedades del movimiento Browniano con µ =0, σ =. P (x, t) = dx K(x x,t)p 0 (x ) Tiempo de primer paso la evolución del promedio sigue la ecuación x t xp (x, t) d dt x t = µ = x t = x t + µt El momento central de orden sigue la ecuación ˆx t x P (x, t) x t T (x) =inf {t >0: W t = x} La distribución de probabilidad es P (T (x) =t) = Máximoenunintervalo x { } exp x, t 0 πt 3 t M(t) =max {W s : 0 s t} La distribución de probabilidad es P (M(t) =u) = πt exp } { u, t 0 t d ˆx dt = t σ = ˆx t = ˆx 0 + σ t 4 5

9 Nota: Las distribuciones de probabilidad acumulada de T (x) ydem(t) están relacionadas P (T (x) t) =P (M(t) x) = du exp πt Probabilidad de regreso a 0 x { u t }, t,x 0 Dado un proceo Browniano que comienza en 0 para t =0la probabilidad de encontrar un cero en el intervalo (t 0,t ) es P ( cero en (t 0,t )) = π arccos t0 t Puente Browniano Objetivo: Simular un proceso de Wiener que tome los valores W 0,W,...,W N en los instantes t 0 <t <...<t N. Consideremos el instante t, t n t t n+ P [W (t) =B W (t n )=W n,w(t n+ )=W n+ ] = P [W (t) =B, W(t n+ )=W n+ W (t n )=W n ] P [W (t n+ )=W n+ W (t n )=W n ] Usando las expresiones P [W (t) =B, W(t n+ )=W n+ W (tn) =Wn] = s fifififi (t tn) (t tn) π (t tn) (t n+ tn) fi fi fi ( exp (t t (B Wn)(W n+ Wn) n) (t tn) (t tn) (t n+ tn) Z Wn W n+ Wn fi ) P [W (t n+ )=W n+ W (tn) =Wn] = q π(t n+ tn) exp ( (W n+ W n) ) (t n+ tn) 6 7

10 con el resultado P [W (t) =B W (t n )=W n,w(t n+ )=W n+ ] = ( πσ B n (t) exp (B ) µb n (t)) [σn B(t)] µ B n (t) =W n + t t n t n+ t n W n+ [σ B n (t)] = (t t n)(t n+ t) t n+ t n Esta fórmula sugiere dos maneras de realizar una simulación de un puente Browniano para valores t n t t n+ Método B(t) = donde X N(0, ). Método B(t) =W (t)» W n + t t n (W n+ W n ) + t n+ t n s (t t n )(t n+ t) X, t n+ t n t t n t n+ t n (W (t n+ ) W n+ ) donde W (t) es un Browniano tal que W (t n )=W n. Movimiento Browniano como ĺımite contínuo del caminante aleatorio Consideremos el problema de lanzar una moneda N veces. El objetivo es encontrar la distribución del número de caras n obtenidas a lo largo de N lanzamientos P n (t +)=( p)p n (t)+pp n (t) La evolución para el promedo de caras obtenidas es cuya solución en <n(n +)>=< n(n) > +p, <n(n) >= pn La distribución de probabilidad buscada es w N (m) = N! m!(n m)! ( p)n m p m. Antes de buscar el ĺımite asintótico de esta distribución, es necesario derivar el ĺımite asintótico del factorial es necesario 8 9

11 Fórmula de Stirling Vamos a derivar la fórmula de Stirling mediante la evaluación asintótica de una cuadratura n! = 0 dt t n e t Realizamos el cambio de variable t = sn I = n n+ ds exp { n(s log s)} 0 Buscamoselvalorparaelcualelexponentey(s) = s log s es mínimo y (s) /s =0= s =. Utilizando la fórmula de Stirling para m, N = w N (m) = N πn(n m)m N! (N m)!m! ( p)n m p m N N (N m) N m m m ( p)n m p m ( ) m N / ( ) m / (N m) m πnp( p) N( p) Np Definiendo la nueva variable podemos escribir x m Np Hacemos un desarrollo cuadrático del exponente en torno al mínimo w N (m) πnp( p) y(s) =+ (s ) +... Evaluamos la integral gaussiana resultante (extendiendo el ĺımite inferior a ) I n(n/e) n Z ds e n(s ) = πn(n/e) n, n ( ) (x N( p) /) ( x + x ) (x+np+/). N( p) Np Anticipando que la variable x O( N), N 0

12 y utilizando el desarrollo ( + x) =exp(ln( + x)) = exp(x x +...) obtenemos w N (m) ( exp πnp( p) x Np( p) ), que corresponde a un movimiento Browniano para x con N = t t µ = 0 σ = p( p) t