ESTADÍSTICA Hoja 2

Transcripción

1 Estadística 1 ESTADÍSTICA Hoja 2 1. Dada la variable bidimensional (X, Y ), Es cierto que: a) La suma de todas las frecuencias absolutas conjuntas es igual al número de datos.? b) La suma de todas las frecuencias absolutas marginales de cada variable coincide con el número de datos.? c) La suma de todas las frecuencias relativas marginales de cada variable coincide con el número de datos.? 2. Calcular a para que X e Y sean estadísticamente independientes. X\ Y a Si dos variables son independientes, entonces se puede afirmar que: a) Su covarianza es 0? b) Sus frecuencias relativas marginales coinciden? c) Las distribuciones de frecuencias absolutas condicionadas a cada valor de la otra variable son idénticas?. 4. Dada la distribución de la variable bidimensional (X, Y ), es cierto que: a) Las distribuciones de frecuencias marginales que se pueden obtener son siempre unidimensionales.? b) La distribución de X condicionada a Y = y j es bidimensional.? c) Cualquier distribución que se obtenga a partir de la distribución de (X, Y ) es bidimensional.? 5. Dada la variable bidimensional (X, Y ): X\ Y se puede afirmar que: a)...la covarianza es 0 y por tanto X e Y son independientes? b)...cuando X toma el valor 1 Y sólo toma el valor 2? c)...la frecuencia relativa conjunta del par (0,1) es 4?

2 Estadística 2 6. Dada la variable bidimensional (X, Y ): X\ Y se puede afirmar que: a) Se verifica que fr(y = 1/X =0)=1/3y n j=2/ = n 12 =1?. b) El par ( x, ȳ) se repite 2 veces?. c) Se verifica que f 31 = 3?. 7. Sean X e Y dos variables de las que se sabe que p q x i (y j ȳ)n ij = 200, N =25. Calcula S XY 8. Es cierto que: j=1 a) Si S XY > 0, entonces X e Y son necesariamente dependientes? b) Si X e Y son independientes S XY es necesariamente igual a 0?. c) Si S XY =0entonces X e Y son necesariamente independientes?. Dada la siguiente tabla y sabiendo que ȳ/ (X=A) =1, ȳ/ (X=B) =1,5 X\ Y 1 2 A 4 n 12 B n 21 3 a) Calcular n 12 y n 21 b) Calcular la media de la variable Y. 10. Dada una variable bidimensional (X,Y), es cierto que: a) La distribución marginal de Y es una distribución unidimensional que se obtiene considerando sólo los elementos que tienen para la variable X un valor determinado? b) La distribución marginal de la variable X se obtiene al estudiar dicha variable aisladamente, con independencia de lo que valga Y? 11. Sabiendo que N=11 y que la variable X sólo toma los valores 0 y 1, a partir de las distribuciones condicionadas siguientes, calcular la media de Xylamedia de Y. (Tener en cuenta que las frecuencia absoluta de X=0 tiene que ser múltiplo de 3 y la de X=1 de 5).

3 Estadística 3 Y/(X=0) frec relativas Y/(X=1) frec. relativas 1 1/3 1 2/5 2 1/3 2 3/5 3 1/3 En las siguientes preguntas, elegir una sóla opción válida(las otras son falsas): 12. Dos variables A y B son independientes si: a) su covarianza es 0. b) todas las frecuencias relativas conjuntas coinciden con el producto de las correspondientes frecuencias relativas marginales. c) todas las frecuencias conjuntas coinciden con el producto de las correspondientes frecuencias marginales. 13. Conocida la covarianza entre dos variables X e Y, S XY, si se realiza el cambio U = ax + b y V = cy + d, la covarianza de U y V es: a) S UV = S XY. b) S UV = acs XY. c) S UV = bds XY. 14. El valor de p f j/i f i. es: a) f.j b) f ij c) Si se sabe que la covarianza entre dos variables es nula: a)...las dos variables son independientes. b)... no existe relación lineal entre las variables. c)...existe relación lineal directa entre ambas variables. 16. La tabla siguiente muestra la distribución conjunta de las variables X=número de horas semanales de clase e Y=retribución mensual en euros de los profesores de una determinada Facultad:

4 Estadística 4 Y\ X a) Calcular la media, mediana, desviación típica y cuartiles para la variable X. N N Sabiendo que x i n i = 716 y que x 2 i n i = b) Calcular el porcentaje de profesores que: - Dan menos de 6 horas y ganan más de 1800 euros. - Dan menos de 6 horas y ganan más de 150 euros. c) Qué porcentaje de profesores es mayor, el de los que dan menos 6 horas, respecto de los que ganan más de 2250 euros o el de los que dan más de 5 horas respecto de los que ganan menos de 1550 euros? 17. Sean X e Y variables estadísticas con distribución conjunta: X\Y b 0 c 0 a g 1 d e f 2 a) Completar la tabla y obtener las distribuciones marginales de X e Y. b) Calcular x y s X. Cuál será la mediana de Y? c) Son X e Y independientes? d) Obtener la distribución de frecuencias de X condicionada a Y =2y la de Y condicionada a X 0. e) Obtener la distribución de la variable Z = X + Y. f ) Calcular fr(x < 1 4,Y <0) y fr(xy < 3 2 ) La variable X toma los valores 0 y 1 con f X (0) = 0,4; la variable Y toma los valores 1 y 2 y se conocen: f Y/(X=0) (1) = 0,5 y f Y/(X=1) (1) = 0,4. Obtener la tabla de doble entrada para (X,Y). 1. Dada la siguiente tabla de frecuencias absolutas

5 Estadística 5 X\ Y y 1 y 2 x 1 n 11 n 12 n 1. x 2 n 21 n 22 n 2. n,1 n,2 N Demostrar que si las variables X e Y son independientes entonces n 11n 22 n 21 n 12 = Considera las siguientes distribuciones de frecuencias relativas marginales: X = x i f i 0,2 0,3 0,4 0,1 Y = y j 1 1 f j 0,6 0,4 Suponiendo que las variables X e Y son estadísticamente independientes: a) Obtén la distribución conjunta de frecuencias relativas del vector estadístico bidimensional (X, Y ). b) Calcula la media de la variable Y/X Calcular a para que X e Y sean estadísticamente independientes. X\ Y a Calcula fr(x =2/Y =3). 22. Cien clientes de la caja de ahorros Caja Chollo, S. A. fueron clasificados con respecto a las variables estadísticas X = número de tarjetas de crédito e Y = Número de operaciones el mes anterior en cajeros de la red 3B. Los datos obtenidos fueron: X\Y a) Calcula la distribución de frecuencias relativas del número de operaciones en cajeros de la red 3B de los clientes que poseen 2 tarjetas de crédito. b) Son X e Y independientes? Razona la respuesta. 23. La tabla siguiente muestra la estatura de 12 padres y de sus hijos primogénitos. Dibujar la nube de puntos y sobre la misma gráfica, las rectas de regresión. Hallar el coeficiente de correlación lineal y las varianzas residuales. Interpretar los resultados obtenidos.

6 Estadística 6 Padre Hijo Sean X e Y dos variables estadísticas con distribución conjunta de frecuencias relativas: X\Y Obtener la recta de regresión de Y sobre X. 25. Un conjunto de datos bidimensionales (X, Y ) tienen coeficiente de correlación r = 0,8 y las medias de las distribuciones marginales son X =3y Ȳ =10. Razonar porqué las siguientes ecuaciones no corresponden a la recta de regresión de Y sobre X r 1 y = 2x +16 r 2 y =1,5x +1 r 3 y = 3,5x +20,5 26. Las rectas de regresión de dos variables estadísticas X e Y son: 2x+y=7 y 2x+3y=13. Calcular las medias, los coeficientes de regresión, el coeficiente de correlación lineal y las varianzas residuales, sabiendo que s 2 Y =4. Representa gráficamente las rectas. 27. Las rectas de regresión de dos variables estadísticas X e Y son: y=4x+4 e y=x+3. Si la varianza de X es igual a 1, obtener las medias marginales de X e Y, el coeficiente de correlación lineal y las varianzas residuales para ambas regresiones. Representa gráficamente las rectas. 28. Un tren de mercancías realiza el trayecto Valladolid-Sevilla con velocidad aproximadamente constante y sin detenerse en ningún punto intermedio. En su viaje, el tren atraviesa diversas ciudades entre las que está Madrid. El maquinista ha observado que transcurridas seis horas desde la salida, el tren ya ha superado Madrid y se encuentra a 7 Km de esta ciudad, a las siete horas a 50 Km y después de ocho horas a 0 Km. a) Da una estimación de la velocidad a la que circula el tren y de la distancia que recorre desde que sale en Valladolid hasta que llega a Madrid. b) Predice la distancia recorrida por el tren después de 7 horas de viaje y proporciona un índice que mida la validez de dicha predicción. 2. El Archaeopteryx es una especie extinguida que tenía plumas como un pájaro, pero que también tenía dientes y cola como un reptil. Sólo se conocen seis fósiles de estas características. Como estos especímenes difieren mucho en su tamaño, algunos científicos creen que pertenecen a especies distintas. Si los fósiles pertenencen a la misma especie y son de tamaños distintos, porque unos son más jóvenes que otros, tiene que haber una

7 Estadística 7 relación lineal positiva entre las longitudes de algunos de los huesos en todos los individuos. He aquí los datos de las longitudes en centímetros del fémur y del húmero de cinco fósiles que conservan dichos huesos: Fémur (x i ) Húmero (y i ) x i = 21 y i = 330 x 2 i = yi 2 = a) Crees que los cinco fósiles pertenecen a la misma especie? x i y i = b) Calcula los residuos. c) Qué distribución deberían seguir los residuos anteriores si el ajuste con un modelo lineal es adecuado? El ajuste realizado es adecuado? NOTA: Trabajar con tres cifras decimales. 30. El consumo de un vehículo y la velocidad a la que circula son variables íntimamente relacionadas? Para decidir sobre esta cuestión se han recogido los siguientes datos (donde la velocidad se mide en Km por hora y el consumo en litros por cada 100 Km recorridos con la velocidad correspondiente): Velocidad (Km/h) Litros/100 Km,8 8,4 7,8 8,4,8 a) Las variables consumo y velocidad están relacionadas linealmente? Justifica tu respuesta empleando un índice o medida adecuada para ello. b) Responde a la cuestión planteada al comienzo del problema, razonando tu respuesta. En caso afirmativo, propón un modelo matemático (función exponencial, logarítmica, polinómica, etc.) que permita representar correctamente la relación existente entre la velocidad y el consumo. 31. Para una distribución bidimensional de frecuencias se han obtenido las rectas de regresión 7x 4y +22=0y 20x 11y 70 = 0. Calcular los valores medios de X e Y. Qué información se puede obtener de estas ecuaciones acerca de las varianzas marginales de X e Y? Calcular el coeficiente de correlación lineal de las variables X e Y. 32. La siguiente tabla muestra los valores de la media y la desviación típica de dos variables así como su coeficiente de correlación lineal para dos muestras diferentes.

8 Estadística 8 Muestra Núm. de observ. x ȳ S X S Y r XY Se pide: a) La recta de regresión de Y sobre X en cada caso. b) Considerar la muestra que resulta de agrupar las dos muestras en una sola de tamaño 1000, calcular el coeficiente de correlación lineal. 33. Para dos variables estadísticas X e Y, las rectas de regresión son y =3 x, x = 4y. Calcular el coeficiente de correlación lineal, las medias de X e Y, y la relación existente entre las dos varianzas. 34. Un investigador sabe que el cuadrado del coeficiente de correlación de dos variables X e Y es 0,81. Sabiendo que una de las rectas de regresión pasa por los puntos (4, 5) y (6, 2) podrías determinar r? De ser así, da su valor. Razona la respuesta. 35. Estudiar el caso de rectas de regresión ortogonales. 36. Dada la tabla: X Y a) Dibujar la nube de puntos. b) Determinar medias y varianzas de las distribuciones marginales. c) Calcular Cov(X, Y ). Cómo puede interpretarse su valor?. d) Calcular ambas rectas de regresión. Dónde se cortan?. e) Calcular el coeficiente de regresión y el error residual (varianza residual). 37. Los siguientes datos corresponden a la edad de 30 matrimonios, siendo X la edad de la mujer e Y la del hombre: X Y a) Calcular media, mediana y varianza de XeY. b) Obtener la distribución condicionada de Y cuando X =24.

9 Estadística c) Calcular Cov(X, Y ). d) Obtener las rectas de regresión de Y respecto de X y de X respecto de Y. 38. Indica razonadamente cul es el coeficiente de de correlacin: 0., 0, -0.57, que corresponde a cada uno de los siguientes conjuntos de datos, sin realizar operaciones: Datos 1: (-1.2, -2.7), (-1.2,2.7), (-2.3,-1.), (-2.3, 1.), (-3,0). Datos 2: (-1.01, -2.3), (-2.0, -2.3), (-3.1, -3.1), (-4.13, -3.6). Datos 3: (-2.2,-1), (-1.03,-4.3), (-0,-3.8), (-0.1,-2.3).