Ejercicios del modelo de Solow-Swan

Transcripción

1 Ejercicios del modelo de Solow-Swan Carlos Rojas Quiroz Teoría Macroeconómica II 28 de agosto de Se plantea una economía a la Solow, con tasa de ahorro exógena s 0, 1), crecimiento poblacional a la tasa n y una tasa de progreso tecnológico g. Las firmas o empresas siguen la siguiente función de producción Cobb-Douglas: Se le pide : FK, AL) = K α AL) 1 α 1.1) a) Hallar el valor de estado estacionario de, ŷ, ĉ y de ˆ inv b) Hallar la tasa de crecimiento del capital per cápita, el producto per cápita, el capital en niveles y el producto en niveles bajo la senda de crecimiento balanceada. a) Estado Estacionario: Note que la ecuación 1.1 se transforma en términos per cápita eficientes a: ŷ = f) = α La ecuación fundamental de Solow en términos per cápita eficientes es: En Estado Estacionario = 0, entonces: = s α 1 δ + n + g) s ) α 1 = δ + n + g) = Luego, se puede obtener fácilmente : = ) α = s δ + n + g 1 ) 1 1 α s δ + n + g ) α 1 α

2 Asimismo la inversión en Estado Estacionario sería: inv ˆ = s ) α = s α δ + n + g ) α 1 α Y también podemos hallar el consumo de Estado Estacionario: ĉ = 1 s) ) α = 1 s) b) Senda de crecimiento balanceada ): Realizamos los siguientes cálculos: s δ + n + g ) α 1 α K = AL. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo: lnk = lna + lnl + lnk K = n + g K Y = K α AL) 1 α. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo: lny Ẏ Y = α lnk + 1 α) lna + 1 α) lnl = αn + g) + 1 α)n + g) = n + g Ẏ Y = α K + 1 α)n + g) K K = A. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo: L ln K L ) = lna + ln K/L) K/L) = g Y. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo: L ln Y L ) = lny lnl Ẏ Y L L = n + g n = g 2. En una economía a la Solow, con progreso técnico g y crecimiento poblacional de n, la función de producción general, en términos per cápita eficientes, es f). Recuerde que esta función cumple con los supuestos 1 y 2 mostrados en clase. Responda: a) Qué sucede con el consumo per cápita efectivo en Estado Estacionario, ĉ, ante cambios en la tasa de ahorro? b) Cuál es el efecto de un cambio en la tasa de ahorro sobre ĉ en un país muy pobre versus un país muy rico? HINT: Obtenga la forma general del consumo per cápita efectivo de Estado Estacionario basándose en la ecuación fundamental de Solow correspondiente. Tenga en cuenta cuáles son los argumentos de esa función y derive respecto a s, es decir: ĉ s 2

3 a) Cambios en ĉ ante cambios en s: La ecuación fundamental de Solow en términos per cápita eficientes es: = sf) δ + n + g) En estado estacionario ĉ = ĉ, sabemos que ĉ = 1 s)f ). Además la inversión ahorro) en Estado Estacionario es sf ) = δ + n + g), luego el consumo en estado estacionario es: ĉ = f ) n + g + δ) De la definición 4 sabemos que = A0), s, δ, n), entonces: ĉ = f A0), s, δ, n)) n + g + δ) A0), s, δ, n) Encontramos la derivada de ĉ respecto de la tasa de ahorro s: ĉ s = [f A0), s, δ, n)) n + g + δ)] A0), s, δ, n) s El efecto final de un movimiento en la tasa de ahorro sobre el consumo per cápita eficiente de estado estacionario dependerá de dos factores: f A0), s, δ, n)): producto marginal del capital. Por el supuesto 1 sabemos que f ) > 0. n + g + δ): inversión de reposición. b) País rico versus país pobre: Por el supuesto 2 sabemos que: Luego: lím f ) = 0 lím f ) = 0 En un país muy rico ) es más probable que f ) < n + g + δ), por lo que ĉ < 0. Un incremento del ahorro, s, eleva el capital de estado estacionario s per cápita eficiente. En la transición hacia ese nuevo estado estacionario, y dado el nivel de capital que posee la economía ), el retorno marginal del capital será cada vez menor respecto al costo de reposición de la inversión. En un país muy pobre 0) es más probable que f ) > n + g + δ), por lo que ĉ > 0. Aquí también, un incremento del ahorro, s, eleva el capital de s estado estacionario per cápita eficiente. En la transición hacia ese nuevo estado estacionario, y dado el nivel de capital que posee la economía 0), el retorno marginal del capital será cada vez mayor respecto al costo de reposición de la inversión. 3

4 f) ft)) consumo2) δ + n + g)t) consumo1) s 2 ft)) s 1 ft)) inversión2) inversión1) 1 2 Figura 1: Efectos sobre el consumo per cápita eficiente de EE ante un cambio en la tasa de ahorro, ĉ s < 0 f) ft)) δ + n + g)t) consumo2) s 2 ft)) consumo1) s 1 ft)) inversión2) inversión1) 1 2 Figura 2: Efectos sobre el consumo per cápita eficiente de EE ante un cambio en la tasa de ahorro, ĉ s > 0 4

5 3. En una economía a la Solow, con progreso tecnológico y crecimiento poblacional, el capital per cápita eficiente de Estado Estacionario ) se da cuando = 0. La función de producción es una Cobb-Douglas adecuada a las características de una senda de crecimiento balanceada. Obtenga el valor de de Estado Estacionario que maximice el bienestar de los consumidores donde el consumo es una proxy de bienestar) y compare dicho nivel con. Además, grafique ambos niveles utilizando el diagrama de Solow e interprete el fenómeno de la ineficiencia dinámica. Un nivel de ingreso mayor no significa necesariamente un mayor nivel de bienestar. Dado que el bienestar está representado por los niveles de consumo per cápita, entonces se buscará el nivel de capital que maximice dicha variable. Este nivel es conocido como regla dorada. máx ĉ = f ) δ + g + n) 0 La solución de este problema es: f RD ) = δ + g + n RD Donde es el capital de la regla dorada. Además, Y = K α AL) 1 α, por tanto f) = α. Entonces: [ ] 1 RD α 1 α = δ + g + n RD es el nivel de capital que maximiza el consumo. Comparando con : [ RD = α δ + g + n ] 1 1 α [ versus = s δ + g + n ] 1 1 α Por lo que si α = s, entonces el capital per cápita efectivo de estado estacionario es aquél que maximiza el consumo per cápita efectivo. Para interpretar la ineficiencia dinámica, veamos el gráfico 3. Nótese que RD >, por lo que el nivel actual de capital per cápita eficiente de estado estacionario no es aquél que maximiza el bienestar de los consumidores. En otras palabras, a largo plazo la economía podría obtener mayor bienestar reduciendo su stock de capital per cápita eficiente. En la situación graficada, nos encontramos en un estado de sobreinversión en estado estacionario, donde los consumidores ahorran más de lo necesario para obtener un nivel máximo de bienestar. En ese sentido, dicho nivel es ineficiente, porque podría incrementarse el bienestar a largo plazo reduciendo el ahorro s s RD ). 5

6 Si nos encontraramos en el caso contrario RD < ), no hablamos de ineficiencia dinámica, dado que aquí, para incrementar el nivel de bienestar en el largo plazo, deberíamos incrementar la tasa de ahorro de la economía. En otras palabras, estamos en subinversión en estado estacionario. Sin embargo, es importante recalcar que el consejo de política, en este caso, no es del todo claro y dependerá de una apreciación intergeneracional. Nótese que si RD <, hoy se tendrá que aumentar el ahorro, y por tanto la inversión per cápita efectiva, para obtener un mayor nivel de consumo per cápita eficiente en el largo plazo. Sin embargo, ese aumento de la inversión hoy, significa una caída del consumo hoy. Por tanto, para alcanzar RD, la sociedad tendría que valorar más el bienestar futuro de largo plazo) que el del período actual, que se vería afectado. f) δ + n + g)t) ft)) sft)) consumo s RD ft)) inversión RD Figura 3: Diagrama de Solow y regla dorada 4. En una economía a la Solow, con progreso tecnológico y crecimiento poblacional, se le pide encontrar el efecto de un cambio en la tasa de ahorro, s, sobre el PBI per cápita eficiente en el Estado Estacionario,. Encuentre la solución como una elasticidad use una función Cobb-Douglas), luego utilice el gráfico de Kaldor, visto en la clase pasada, para calibrar la solución e interprete. Efectos de un cambio en s sobre la producción pér cápita eficiente en el largo plazo 6

7 Figura 4: Participación del capital y el trabajo en el producto total de la economía Kaldor) Fuente: Acemoglu 2009). Sea = f ), entonces: s = f ) A0), s, δ, n) s 4.1) Sabiendo que aparece cuando = 0, entonces, satisface: Derivando ambos lados respecto a s: sf A0), s, δ, n)) = δ + g + n) A0), s, δ, n) 4.2) Reordenando: sf ) s + f ) = δ + g + n) s s = f ) δ + g + n) sf ) Reemplazando la ecuación 4.4 en la ecuación 4.1 se tiene: s = f )f ) δ + g + n) sf ) 4.3) 4.4) 4.5) Reinterpretando la ecuación 4.5 en términos de elasticidad: s s = s f )f ) f ) δ + g + n) sf ) 4.6) 7

8 Luego, tomando en cuenta el hecho que sf ) = δ + g + n), entonces la ecuación 4.6 se convierte en: s s = 1 f ) f ) [ f ) f ) ] 4.7) Si tenemos en cuenta que f ) = ) α k, es decir es una Cobb-Douglas, entonces f ) = α f ) k ) es la elasticidad de la producción respecto al capital en =, entonces la ecuación 4.7 se convierte en: s s = α k ) 1 α k ) 4.8) Si α k ) 0,3 entonces s 0,5. Por tanto, un incremento del 1 % en la tasa de s ahorro, incrementa en 0,5 % el PBI per cápita eficiente de estado estacionario. 5. Describa las propiedades de la función de producción Cobb-Douglas y CES en relación a la elasticidad de sustitución entre factores. Use formas funcionales lo más generales posibles de tal forma que la posición de la tecnología no sea un problema) e interprete. 1) Función de producción Cobb-Douglas Y t) = A Y t)[a K t)kt)] α [A L t)lt)] 1 α 5.1) Con α > 0. Una función de este tipo, tiene una elasticidad de sustitución igual a 1. La elasticidad de sustitución se define así: [ ] 1 logfk /F L ) σ logk/l) Donde: Calculando: F K = αa Y A α KK α 1 [A L L] 1 α 5.2) F L = 1 α)a Y [A K K] α A 1 α L L α 5.3) ) ) F K α L = F L 1 α K ) ) ) FK α L log = log + log 1 α K F L logf K /F L ) logk/l) = 1 σ = 1 5.4) 8

9 Que σ = 1 significa que, bajo mercados competitivos, las proporciones de los factores de producción en equilibrio serán constantes. Así: Sabemos que: Obviando los indicadores temporales: Por tanto: Igual con α L t) = 1 α K t) = 1 α. α K t) = Rt)Kt) Y t) Rt) = F K t) R = αa Y A α KK α 1 [A L L] 1 α α K t) = αa Y A α K Kα [A L L] 1 α A Y [A K K] α [A L L] 1 α 5.5) α K t) = α 2) Función de producción CES Constant Elasticity Substitution) La forma general es: Y t) = A Y t)[γa K t)kt)) σ 1 σ + 1 γ)a L t)lt)) σ 1 σ σ ] σ 1 5.6) Donde γ 0, 1) es un parámetro de distribución. Además, A Y, A K, A L > 0 y σ 0, ). log FK F L ) ) γ = log + 1 γ F K De aquí se puede calcular lo siguiente: logf K /F L ) logk/l) σ 1 σ K K 1 σ = γa F L 1 γ)a σ 1 σ L L 1 σ ) σ 1 σ 1 log A K σ σ ) log A L ) 1 log σ 5.7) ) K L 5.8) = 1/σ Elasticidad de Sustitución: σ 5.9) Si σ 1 entonces la función CES se convierte en una Cobb-Douglas: Y t) = A Y t)[a K t)kt)] γ [A L t)lt)] 1 γ 5.10) Si σ entonces la función CES se convierte en una lineal: Y t) = γa Y t)a K t)kt) + 1 γ)a Y t)a L t)lt) 5.11) Si σ 0 entonces la función CES se convierte en una Leontief: Y t) = A Y t) mín[γa K t)kt); 1 γ)a L t)lt)] 5.12) 9

10 6. En el modelo de Solow, con cambio tecnológico y crecimiento poblacional, encuentre la velocidad de convergencia del capital per cápita eficiente hacia su nivel de Estado Estacionario. Para ello suponga una función de producción Cobb-Douglas que permita la existencia de una senda de crecimiento balanceada y utilice una aproximación de Taylor de primer orden alrededor del EE. Además, demuestre que la velocidad de convergencia del capital per cápita eficiente es igual a la del producto per cápita eficiente. Finalmente, se le pide obtener la velocidad de convergencia del capital y producto per cápita. Interprete este último resultado. La función de producción es: ŷ = α. Sea la ecuación fundamental de Solow en términos per cápita eficientes o efectivos: = s α 1 δ + g + n) 6.1) Aplicamos una aproximación de Taylor de primer orden alrededor de : ) [ s ] α 1 δ + g + n) + sα 1) α 1 6.2) Nótese que la primera expresión s α 1 δ + g + n)) es cero en estado estacionario; además k ˆ, que es la tasa de variación del capital per cápita eficiente respecto a su nivel de estado estacionario, puede aproximarse como la diferencia logarítmica entre ambas variables: log ). Luego: ) sα 1) α 1 log 6.3) En estado estacionario s = δ+g+n, por lo que incluyendo esta igualdad se tiene: kˆ α 1 ) δ + g + n)1 α) log 6.4) Por lo que β = 1 α)δ + g + n), que es la velocidad de convergencia del capital per cápita eficiente hacia su nivel de estado estacionario. La velocidad de convergencia del producto per cápita eficiente es igual a lo obtenido para el caso del capital per cápita eficiente. Nótese que ŷ = α 10

11 ) ) ŷ log = α log Utilizando ambas igualdades se tiene: ) αδ + g + n)1 α) log ŷ }{{} 1 log ŷ ) α 6.5) Entonces: Por lo que β = β ŷ ŷ ) ŷ δ + g + n)1 α) log 6.6) En tanto, para obtener la velocidad de convergencia del capital per cápita, se debe tener en cuenta que k = A. Entonces: k k = A A + 6.7) k k = g + s α 1 δ + g + n) 6.8) Aplicando una aproximación de Taylor alrededor del estado estacionario: ) k k g + s α 1 δ + g + n) +α 1)s }{{} α 1 6.9) 0 en EE Y conociendo que s = δ+g+n, entonces: kˆ α 1 k k k k g 1 α)δ + g + n) g 1 α)δ + g + n) log ) ) 6.10) 6.11) Para el caso del producto per cápita, es análogo a lo que obtuvimos antes, es decir, se debe tener en cuenta que: ẏ y = α k k ) y log = α log y ) k k 11

12 Por tanto: ẏ y ) ŷ g 1 α)δ + g + n) log 6.12) Nótese que en el modelo de Solow hay dos fuerzas generadoras de crecimiento del producto per cápita: la tasa de progreso tecnológico y la convergencia. Esta última se explica por la diferencia existente entre el nivel actual de PBI per cápita y su valor de estado estacionario, de tal forma que aquellos países que empiezan en un nivel menor del EE y << y ) tienden a crecer más rápido que aquellos que estan relativamente cerca. Mientras que países que inician muy por encima del EE y >> y ), crecen menos. En cuanto a la velocidad de convergencia, nótese que depende tanto del costo de reposición del capital δ + g + n) como de la participación del capital en la función de producción α). Así, si el costo de reposición es alto, implica que los niveles de inversión en la economía son altos, por lo que la tasa de crecimiento hacia el estado estacionario es más baja. Por otro lado, si α 1, entonces la convergencia será mucho más lenta. 7. En el Modelo 2 de Capital Humano, compruebe que se cumple: ĥ > ĥ =0 ĥ=0 Para comprobar dicha desigualdad, debemos tener en cuenta las siguientes funciones: Cuando = 0: ) 1 δk + g + n ĥ = 1 α 7.1) s k Cuando ĥ = 0: ĥ = s h δ h + g + n ) 1 1 α 1 7.2) Derivamos respecto a las ecuaciones 7.1 y 7.2, respectivamente: ) 1 ĥ δk + g + n 1 α = =0 s k ) 1 α ) 7.3) ) 1 ĥ s ) 1 h α 1 α = 1 ) 7.4) ĥ=0 δ k + g + n 1 Para comprobar la hipótesis debemos asegurarnos que la ecuación 7.3 sea mayor que la 7.4: ) 1 δk + g + n ) ) 1 1 α 1 α s ) 1 h α > 1 α 1 7.5) δ k + g + n 1 s k }{{} ecuación 7,3 12 }{{} ecuación 7,4

13 δk + g + n s k s k δ k + g + n ) 1 δ h + g + n s h ) 1 1 α ) ) 1 s h δ h + g + n La definición de en Estado Estacionario es: ) s 1 k 1 α ) = δ k + g + n Reemplazándolo en la ecuación 7.7: s k ) 1 1 α ) δ k + g + n Que se cumple α, > 0 α + < 1 ) ) α 1 α > 1 ) ) α 7.6) ) 1 α ) ) ) 1 1 α > α 7.7) s h δ h + g + n ) 1 α ) ) s h 1 α ) ) ) 1 1 α > δ h + g + n α ) 1 1 α ) ) 1 α ) 7.8) 7.9) s k δ k + g + n s h δ h + g + n ) ) 1 1 α > 1 α 7.10) 1 1 α ) > 0 α 8. En el Modelo 1 con Capital Humano, encuentre la velocidad con la que el capital per cápita eficiente converge a su valor de estado estacionario. Demuestre, además, que es la misma velocidad de convergencia del producto per cápita eficiente. Para obtener la velocidad de convergencia del capital per cápita eficiente y por tanto del producto per cápita eficiente) en el Modelo 1 con capital humano, trabajamos con la ecuación: = sā α+ δ + g + n) 8.1) Donde Ā α 1, es una constante. En términos de crecimiento instantáneo: α+ = sā α+ 1 δ + g + n) 8.2) Aplicando Expansión de Taylor de primer orden a la ecuación 8.2: [ sā ] α+ 1 δ + g + n) +α + 1) sā α+ 1) ) 8.3) }{{} 0 en EE 13

14 La tasa de ahorro s en Estado Estacionario es: Reemplazando la ecuación 8.4 en la 8.3: Donde βh = 1 α ) δ + g + n) s = δ + g + n Ā α ) 1 α )δ + g + n) ) 8.5) 1 α )δ + g + n) log ) 8.6) Para hallar la velocidad de convergencia del producto per cápita eficiente en este modelo, debemos tener en cuenta lo siguiente: Luego, por el modelo sabemos que: ŷ = α + ĥ ĥ 8.7), entonces: Además, se sabe que: log ŷ log = = α ĥ ĥ ŷ = 2α De nuevo, sabiendo que = α/)ĥ, entonces: 8.8) α log + log ĥ α log + log ĥ 8.9) ) ŷ log = 2α log ) 8.10) Aplicando las ecuaciones 8.8 y 8.10 en la ecuación 8.6, se llega a: ŷ ) ŷ 1 α )δ + g + n) log 8.11) Donde βh = 1 α ) δ + g + n), es el mismo que en el caso del capital per cápita eficiente. 14

15 9. En el Modelo 2 con Capital Humano, encuentre la velocidad con la que el producto per cápita eficiente converge a su valor de estado estacionario. Asuma δ h = δ k = δ. La velocidad de convergencia se calcula sobre el PBI per cápita eficiente, cuya tasa de crecimiento instantánea es un promedio ponderado entre las tasas de crecimiento instantáneas del capital físico y humano: ŷ = α s kα ĥ ĥ ŷ = α + ĥ ) s δ + g + n) + hα ĥ ĥ δ + g + n) Se aplica la Expansión de Taylor de primer orden sobre la ecuación 9.2. ) ) s ŷ α k α ĥ s h α ĥ δ + g + n) + δ + g + n) + ĥ }{{} 0 en EE [ ] ) ŷ α 1)s k + s h α + ĥ [ ] ) ŷ αs k + 1)s ŷ ĥ ĥ h ĥ ĥ Reordenando: ŷ [ α 1)s k + s h ĥ ] α ) [ ŷ + αs k + 1)s h ĥ ] ) ) ĥ ĥ ĥ 9.1) 9.2) 9.3) 9.4) Debemos tener en cuenta los valores de estado estacionario del capital físico, humano y pbi per cápita eficiente: = s k δ k + g + n ĥ s k = δ k + g + n s k = δ k + g + n ) 1 1 α ) ) α 1 α ) ) α 1 α ) s h δ h + g + n s h δ h + g + n s h δ h + g + n ) 1 α ) ) 1 α ) ) 1 α ) 9.5) 9.6) 9.7) Utilizando las definiciones de las ecuaciones 9.5, 9.6 y 9.7 se llega a la siguiente igualdad: ŷ s k = s h ĥ = δ + g + n 9.8) 15

16 Por tanto, la ecuación 9.4 se convierte en: [ ) )] ĥ 1 α )δ + g + n) α log + log ŷ ŷ Donde βh = 1 α )δ + g + n) ) ŷ 1 α )δ + g + n) log ĥ 9.9) 9.10) 10. Con los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores, encuentre el valor de β y β ĥ, dada la siguiente calibración: α = 1/3 δ = 0,05 g = 0,02 n = 0,01 = 0,4 Luego responda: a) Cuánto de la brecha entre el producto per cápita eficiente y su valor de estado estacionario se cierra en un año? b) Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará la mitad de la brecha? c) Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará 3/4 de la brecha? d) Por qué es importante la inclusión de capital humano para la velocidad de convergencia? Valores de β y β ĥ β ĥ β = 1 1/3) 0,05 + 0,02 + 0,01) 5,3 % = 1 1/3 0,4) 0,05 + 0,02 + 0,01) 2,1 % a) Cuánto de la brecha entre el producto per cápita eficiente y su valor de estado estacionario se cierra en un año? De acuerdo al modelo base de Solow, en un año se cierra aproximadamente el 5,3 % de la brecha existente del producto per cápita eficiente respecto a su valor de EE. En el caso de los modelos que incluyen capital humano, los resultados muestran que en un año se cierra aproximadamente 2,1 % de la brecha entre ŷ y. 16

17 b) Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará la mitad de la brecha? Para responder a esta pregunta, debemos tener en cuenta que las ecuaciones 6.12, 8.11 y 9.10 son ecuaciones diferenciales en log[ŷ], por lo que su solución es: log[ŷ] = 1 exp βt ) log[ ] + exp βt log[ŷ0)] El tiempo t para el que log[ŷ] recorra la mitad del camino respecto a log[ ] satisface la condición: exp βt = 1/2 Por tanto, resolviendo para t, se tiene: Con los valores obtenidos en la pregunta a) se tiene: t 13 tĥ 32,5 t = log2) β 10.1) De acuerdo al modelo base de Solow-Swan, dos países con las mismas características estructurales tasa de depreciación, crecimiento tecnológico y poblacional, además de similar participación del capital en la función de producción) pero que empiezan con diferentes niveles de, se demorarán alrededor de 13 años en cerrar la mitad de su brecha de ingresos. Si se incorpora el capital humano, la calibración muestra que dicho período es de 32 años y medio. c) Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará 3/4 de la brecha? El tiempo t para el que log[ŷ] recorra 3/4 del camino respecto a log[ ] satisface la condición: exp βt = 1/4 Por tanto, resolviendo para t, se tiene: Con los valores obtenidos en la pregunta a) se tiene: t 26 tĥ 65 t = log4) β 10.2) De acuerdo al modelo base de Solow-Swan, dos países con las mismas características estructurales tasa de depreciación, crecimiento tecnológico y poblacional, además de similar participación del capital en la función de producción) pero que empiezan con diferentes niveles de, se demorarán alrededor de 26 años en cerrar 3/4 de su brecha de ingresos. Si se incorpora el capital humano, la calibración muestra que dicho período 17

18 es de 65 años. d) Por qué es importante la inclusión de capital humano para la velocidad de convergencia? Empíricamente, se ha observado que β 1,5 %, 3,0 %). En términos cuantitativos, la inclusión de capital humano en el modelo de Solow permite obtener velocidades de convergencia cercanas a lo que uno observa en la realidad. Sin capital humano, nótese que la velocidad con la que un país pobre logra cerrar la mitad de su brecha de ingresos respecto a otro que es rico aunque ambos tienen similares características estructurales) es cercano a 13 años, un tiempo relativamente corto. Con la inclusión de capital humano en el modelo, el tiempo que se demoraría un país en cerrar la mitad de su gap sería de 32.5 años, más acorde con los datos observados en la realidad. Además, nótese que sin capital humano, una manera de lograr velocidades de convergencia cercanas a las obtenidas empíricamente sería calibrar α 0,75 con este valor un país se demoraría 35 años aproximadamente en cerrar la mitad de su brecha de ingresos), que es un valor muy alto para la participación del capital físico observada en los datos. 18