Teoría Macroeconómica II
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- César Robles Iglesias
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1 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II Modelo de Solow (II) Carlos Rojas Quiroz Agosto del 2017
2 Índice 1 Modelo de Solow con cambio tecnológico 1.1 La estructura básica del modelo 1.2 Análisis del Estado Estacionario 1.3 La dinámica de la transición 2 Anexos 2.1 Anexo Anexo 2 2/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
3 La estructura básica del modelo Fuente: Acemoglu (2009). 3/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
4 La estructura básica del modelo Crecimiento balanceado Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasa constante, mientras que el ratio capital/producto, la tasa de interés, y los porcentajes de los factores de producción se mantienen constantes. 4/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
5 La estructura básica del modelo Tipos de progreso tecnológico neutral Posibles funciones de producción, de acuerdo a posición del progreso técnico, A(t): Neutral en el sentido de Harrod Y (t) = F(K (t), A(t)L(t)) Neutral en el sentido de Solow Y (t) = F(A(t)K (t), L(t)) Neutral en el sentido de Hicks Y (t) = A(t)F(K (t), L(t)) 5/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
6 La estructura básica del modelo A: Hicks neutral, B: Solow neutral, C: Harrod neutral. Fuente: Acemoglu (2009). 6/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
7 La estructura básica del modelo Importante: Para que exista crecimiento balanceado se necesita que la función de producción sea neutral en el sentido de Harrod (Usawa s Theorem). 7/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
8 La estructura básica del modelo Evolución en el tiempo de los factores de producción: L(t) = nl(t) Ȧ(t) = ga(t) (1) Donde n y g son parámetros exógenos. Además, g > 0. Crecimiento exponencial 8/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
9 La estructura básica del modelo Ecuación fundamental en niveles: K (t) = sf(k (t), A(t)L(t)) δk (t) (2) Normalizamos las variables en términos efectivos. Definimos ˆk(t): ˆk(t) K (t) A(t)L(t) (3) 9/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
10 La estructura básica del modelo Tasa de crecimiento del capital per cápita ( ) ˆk(t) : ˆk(t) ˆk(t) t ˆk(t) = K (t) K (t) A(t)L(t) K (t) K (t) L(t) A(t)L(t) L(t) K (t) Ȧ(t) A(t)L(t) A(t) ˆk(t) ˆk(t) = K (t) K (t) L(t) L(t) Ȧ(t) A(t) ˆk(t) ˆk(t) = K (t) K (t) n g 10/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
11 La estructura básica del modelo Además: En forma intensiva: ŷ(t) Y (t) A(t)L(t) 1 F(K (t), A(t)L(t)) = F A(t)L(t) Llamando y(t) Y (t) L(t), entonces: ( ) K (t) A(t)L(t), 1 f (ˆk(t)) y(t) = A(t)ŷ(t) (4) y(t) = A(t)f (ˆk(t)) 11/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
12 La estructura básica del modelo ˆk(t) ˆk(t) = sf(k (t), A(t)L(t)) K (t) (δ + g + n) ˆk(t) ˆk(t) = sf(k (t), A(t)L(t)) 1 A(t)L(t) K (t) 1 A(t)L(t) (δ + g + n) Donde: ˆk(t) ˆk(t) = sf (ˆk(t)) ˆk(t) (δ + g + n) (5) sf (ˆk(t)): inversión por unidad de trabajo efectivo. (δ + g + n)ˆk(t): inversión de reposición. Restricción adicional es que δ + g + n > 0. 12/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
13 Análisis del Estado Estacionario Proposición 1 Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnología neutral en el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa g y crecimiento poblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces existe una única senda de crecimiento balanceado, donde el ratio capital-trabajo efectivo es igual a ˆk (0, ), dado por: f (ˆk ) ˆk = δ + g + n s (6) Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g. 13/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
14 Análisis del Estado Estacionario Definición 1 Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicial de tecnología, el nivel de estado estacionario del ratio capital-trabajo efectivo consistente con la senda balanceada ˆk (A(0), s, δ, n) y el nivel de estado estacionario del producto per cápita y (A(0), s, δ, n, t), entonces: ˆk A(0) = 0, y A(0) > 0, ˆk s > 0, y s > 0, ˆk δ < 0, y δ < 0, ˆk n < 0; y n < 0 t. 14/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
15 Análisis del Estado Estacionario f (ˆk) f (ˆk ) consumo sf (ˆk ) (δ + n + g)ˆk(t) f (ˆk(t)) sf (ˆk(t)) inversión ˆk ˆk 15/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
16 La dinámica de la transición Proposición 2 Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda de crecimiento balanceada del modelo de Solow con progreso tecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional es asintóticamente estable, por lo que si se empieza de cualquier ˆk(0) > 0, el ratio de capital trabajo efectivo converge a ˆk (ˆk(t) ˆk ). 16/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
17 Dinámica comparativa f (ˆk) (δ + n + g)ˆk(t) s nuevof (ˆk(t)) s viejo f (ˆk(t)) ˆk ˆk viejo ˆk nuevo 17/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
18 Dinámica comparativa ˆk(t) ˆk(t) s viejo f (ˆk(t)) ˆk(t) (δ + g + n) snuevof (ˆk(t)) ˆk(t) (δ + g + n) ˆk(t) ˆk viejo ˆk nuevo 18/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
19 Dinámica comparativa Fuente: Romer (2006). 19/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
20 Dinámica comparativa Fuente: Romer (2006). 20/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
21 Índice 1 Modelo de Solow con cambio tecnológico 1.1 La estructura básica del modelo 1.2 Análisis del Estado Estacionario 1.3 La dinámica de la transición 2 Anexos 2.1 Anexo Anexo 2 21/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
22 Anexo 1 Crecimiento exponencial Evolución en el tiempo de los factores de producción: L(t) = nl(t) (7) Ȧ(t) = ga(t) (8) Donde n y g son parámetros exógenos. Además, una variable con punto indica la derivada de esa variable respecto al tiempo: Ẋ(t) = X(t) (9) t 22/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
23 Anexo 1 Tasa de crecimiento de una variable: Ẋ(t) X(t) = lnx(t) t = lnx(t) X(t) X(t) t (10) Aplicando esto en las ecuaciones 7 y 8, se tiene: lnl(t) = lnl(0) + nt (11) lna(t) = lna(0) + gt (12) 23/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
24 Anexo 1 Aplicando operador exponencial a ambos lados de las ecuaciones 11 y 12: L(t) = L(0) exp nt (13) A(t) = A(0) exp gt (14) Por tanto, L y A crecen exponencialmente a una tasa exógena de n y g, respectivamente. 24/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
25 Anexo 2 Senda de crecimiento balanceada Senda de crecimiento balanceada: Cuando ˆk ˆk, Qué sucede con las otras variables de interés? K = AL ˆk, si llegamos a ˆk = ˆk, entonces K K = n + g. Y = F(K, AL) = AL f (ˆk, 1), luego Ẏ Y = n + g. k = A ˆk, entonces k k = g. y = A ŷ, por lo que ẏ y = g. 1 Todas las variables de interés del modelo crecen a una tasa constante. 2 En Estado Estacionario, la tasa de crecimiento de la producción per cápita depende sólo de la tasa de crecimiento tecnológico (progreso técnico). 25/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II
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