MODELO DSGE - REAL BUSINESS CYCLE (RBC)

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1 MODELO DSGE - REAL BUSINESS CYCLE (RBC PERCY HUAMÁN PALOMINO June 12, 214 La macroeconomía moderna sigue avanzando a grandes pasos, cada vez que surgen nuevas crísis, nacen teorías o mejoran los modelos bases y se van haciendo cada vez mas complejos en su solución. La Programación Dinámica vía Ecuación de Bellman, es una a herramienta o técnica para resolver problemas dinámicos estocásticos; entre ellos los Modelos de Equilibrio General Dinámicos (DSGE, Modelos Bayesianos. Nos permite simplificar modelos complejos de infinitos períodos a modelos simples de dos períodos. Además en este documento presentamos un caso práctico de como resolver modelos de equilibrio general en incertidumbre, desde la óptica de un Planificador Social. Economista y Administrador de Negocios; estudios: Economía Avanzada en Banco Central de Reserva del Perú - BCRP, Derecho Económico en Escuela Nacional de la Competencia y Propiedad Intelectual - INDECOPI, ambos cursos de extensiones universitarias y la Licenciatura en la Universidad Nacional Federico Villarreal. Cualquier comentario y/o sugerencia a perhuaman@gmail.com o visite esta página arat uv ida. 1

2 Part I CICLOS ECONÓMICOS DE CHRISTIANO (21 LAS FAMILIAS { [ J = E β t t= C 1 γ t 1 γ ]} s.a. C t + K (1 δk t = A t Kt E, Información del valor esperado en el momento cero. Donde: γ Medida de Aversión Relativa Constante. γ = C t U (C t U (C t PRODUCCIÓN Choque de productividad: Y t = A t Kt A t, tecnología, ε t N(, σ 2 ε lna = ρlna t + ε t Part II PASOS DE SOLUCIÓN Se sigue los siguientes pasos para resolver este tipo de modelos DSGE: Obtener las condiciones de primer órden (trayectorias óptimas. Hay dos caminos por Programación Dinámica (ecuación de Bellman o por método del Langrageano. Escribir todas las ecuaciones del sistema que forman la economía. Hallar el estado estacionario. Linealizar el sistema de ecuaciones respecto al estado estacionario- Loglinealización con aproximación de Taylor de primer órden (Métodos Númericos. Trabajar en Dynare - MATLAB; Analizar correlaciones, volatilidades y funciones IMPULSO - RE- SPUESTA. ECUACIÓN DE BELMAN V t (C t, K = Max C t,k {U(C t + βv (C, K t+2 } (1 Veamos las Condiciones de primer órden (CPO: Donde K = A t K t + (1 δk t C t (2 V t (C t, K = U(C t C t +β C t { } V (C, K t+2 = (3 c t = 1, acontinuación optimizo la ecuación de Bellman respecto al ahorro del periódot. 2

3 C t Sea K t y remplazamos en (3 : = A t K 1 V t (C t, K = U(c t C t + β V (C, K t+2 (4 K t C t K t K t t + (1 δ,iteramos un periódo la última expresión (buscamos V(C,K t+2 V (C, K t+2 = U(C C + β V t+2(c t+2, K t+3 = U(C { A C C K 1 + (1 δ} (5 V t (C t, K = U(C t { 1} C t U(C t C t = βe t { +β U(C C { U(C C { A K 1 + (1 δ}} = { A K 1 + (1 δ}} (6 Se obtiene la Siguiente Ecuación Euler: {( γ Ct { 1 = βe t A C K 1 + (1 δ}} (7 SISTEMA DE ECUACIONES QUE CARACTERIZA LA ECONOMÍA. {( γ C 1. 1 = βe t {A t C K 1 + (1 δ}}, Ecuación de Euler 2. K = A t K t + (1 δk t C t, Restricción presupuestaria. 3. Y t = A t Kt,Función de producción. 4. lna = ρlna t + ε t,donde ε t N(, σ 2 ε evolución de la productividad. 5. I t = Y t C t, El nivel de ahorro, es igual a la inversión en una economía cerrada. ESTADO ESTACIONARIO En el estado estacionario las variables sólo dependen de los parámetros. 1. A ss = 1 [ ] 1 2. K ss = 1 β(1 δ 1 β 3. Y ss = A ss Kss 4. C ss = Y ss δk ss 5. I ss = Y ss C ss 3

4 INTRODUCCIÓN A LA LOG-LINEALIZACIÓN Es una herramienta que se utiliza para resolver ecuaciones de órden superior, se puede aproximar modelos de Equilibrio General Dinámico Estocástico (DSGE y No lineales a. Se linealiza entorno al estado estacionario, Veamos: X t : Una variable estrictamente positiva. ˆx t = lnx t lnx, X; es el estado estacionario. Para valores pequeños de X t ;ln(1 + ˆx t = X t ( ˆx t = lnx t lnx = ln X t X 1 = Xt X X X t X ˆx t = ln ( %X t + 1 %X t METODO SIMPLE ( X t = Xt X = Xt X Xeln X = ln X t X 1 +1 = %X t, respecto al estado estacionario. = Xeˆxt Por lo tanto; X t = Xeˆxt APROXIMACIÓN DE TAYLOR (nos interesa la parte lineal f(x t f(x + f (X (X t X }{{ 1! } f(x t f(x + f (X (X t X }{{ 1! } Ejemplo: ˆx = X t = Xeˆxt Xe + Xe (ˆx X(ˆx + 1 REGLAS PRACTICAS X t X(ˆx + 1 X t Y t XY (ˆx + ŷ + 1 X t Y t = X (ˆx ŷ + 1 Y Xt = X (1 + ˆx + f (X 2! (X t X 2 + f (3 (X 3! (X t X 3 + a Profesor Hugo, una consulta, por favor; en un modelo pequeño con choque de productividad, los gráficos de las funciones Impulso - Respuesta de la variables deberían ser muy semejantes, es decir la linearizadas y no linealizadas?, el choque de productividad en el consumo linearizada es positivo y mientras en la no linearizada el impacto es negativo. El resto de variables tienen similares impactos. Otra consulta: cuando hace mejor ajuste la linearización, en modelos grandes o pequeños? Gracias por su respuesta! Deberían ser similares, sería raro que efectos de segundo o mayor orden cambien el signo de la respuesta. Aún así, se puede dar.y el tema de linealizar o no es un tema que depende de las ecuaciones del modelo y qué tan fuerte sean las no linealidades, no el tamaño del modelo. Los modelos generalmente tratan de capturar las relaciones entre variables que se observan en los datos. Estas relaciones tienden a a ser no lineales y por eso un modelo no lineal en términos generales debería tener mejor bondad de ajuste. Sin embargo, un modelo no lineal grande podría ser difícil de estimar en comparación a un modelo lineal. Por esta razón se prefieren modelos lineales, muchos modelos en su versión no lineal no pueden estimarse. LINEARIZACIÓN DE LAS ECUACIONES RESPECTO AL ESTADO ESTACIONARIO y t = (1 a t + k t (8 a = ρa t + ε t (9 k t = Y ss δk ss y t C ss ( Y ss K ss (y k γ(c c t = ( Y ss K ss + 1 δ δk ss c t (1 (11 4

5 i t = Y ss I ss y t C ss I ss c t (12 Part III TRABAJO EN DYNARE - MATLAB Para llevar a las conclusiones del paper de Christiano (21, habría que reemplazar los paramétros con las calibraciones del paper. En este caso, no necesariamente son sus calibraciones, el objetivo es familiarizarse con la resolución de estos modelos desde su versión mas simple. Veamos los datos de calibraciones del paper de MODELO GREENWOOD-HERCOWITZ - HUFF- MAN(1988 y de MODELO DE COOLEY-PRESCOTT: CUADRO: CALIBRACIONES (VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS LOG- LINEALIZADAS. VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS SÍMBOLO DEL PARÁMETRO VALOR c: consumo β: Factor de descuento.987 y: producto : Participac. del capital en producción.64 k: capital δ: Tasa de depreciación del capital.25 i: inversión ρ:: Persistencia del choque.95 a: productividad σ: Desviación estándar del choque.7 e: choque γ: Grado de aversión al riesgo 1. Fuente: Elaboración propia. STEADY-STATE RESULTS VARIABLE RESULTADO c i y k a 1 APROXIMATED THEORETICAL MOMENTS VARIABLE MEAN STD. DEV. VARIANCE c i y k a Fuente: Elaboración propia. FUNCIONES IMPULSO - RESPUESTA 5

6 Consumo.3 Ahorro Inversión Producto.6 Capital Productividad.5 Fuente: Elaboración propia. Part IV CONCLUSIONES Y REFERENCIAS El caso presentado, es sólo un esquema de como se resuelve este tipo de problema en su versión mas simple, en agenda tenemos por incorporar mas sectores a la economía, por ejemplo: el sector laboral, mercados financieros, el banco central, entre otros. Sargent(1987. Stockey y Lucas(1987. Notas de Clases BCRP, UNI, LAMBDA. Michele Boldrin Lawrence J. Christiano - Consultant Jonas D. M. Fisher-Habit Persistence, Asset Returns and the Business Cycle 2. 6