Capitulo 4 Modelo RBC con trabajo constante

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1 Capitulo 4 Modelo RBC con trabajo constante Hamilton Galindo galindo h@up.edu.pe Este borrador: Julio 205, enero 207 Índice. Introducción 3 2. Construcción del modelo Familias Empresas Equilibrio de mercado y definición del choque Ecuaciones principales Calibración 9 4. Estado estacionario 9 5. Log-linealización Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés Solución del sistema lineal: método de coeficientes indeterminados Análisis de elasticidades Representación de series de tiempo Serie de tiempo del capital Serie de tiempo del producto Serie de tiempo del consumo Serie de tiempo de la tasa de interés real bruta Serie de tiempo de la inversión Funciones impulso-respuesta Simulación de las variables endógenas 40 0.Componente cíclico de las variables simuladas 42.Cálculo de los momentos teóricos 42 2.Comparación modelo teórico con los datos empiricos 46

2 3.Códigos Códigos en Matlab Códigos en Dynare Índice de figuras. Esquema del modelo de oferta de trabajo constante Elasticidades (coeficientes de la solución) Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicas log-lineales Efecto sobre la función de producción Efecto sobre la demanda de capital Efecto sobre la oferta y demanda de capital Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicas en niveles Función impulso-respuesta (comparación de las variables log-lineal vs en niveles) Simulación de las variables macroeconómicas log-lineales Aplicación del filtro HP a las variables simuladas Distribuciones de la desviación estándar del modelo teórico Índice de cuadros. Sistema de ecuaciones no lineal del modelo Calibración (valores base) Estado estacionario Ecuaciones log-lineal Ecuaciones log-lineal (sistema reducido) Coeficientes (elasticidades) de la solución del modelo lineal Casos especiales Construcción de la función impulso-respuesta del capital Valores de la función impulso-respuesta (variales log-lineales) Simluación del capital log-lineal Simulación de la productividad y del capital (log-lineal) Simulación de las variables macroeconómicas log-lineales Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los datos empiricos Códigos en Matlab y Dynare

3 . Introducción El objetivo de este capítulo es comprender detalladamente el proceso de construcción y solución de un modelo de ciclos económicos reales. Además, entender cómo se construye la simulación de las variables y cómo se obtiene la función impulo-respuesta. Para ello, en este capítulo, se analiza en detalle uno de los modelos propuestos por Campbell (994). El modelo base propuesto por Campbell (994) es un modelo estacionario (sin tendencia), pero con crecimiento diferente de cero en el estado estacionario. Este modelo es un extensión del modelo de crecimiento estocástico, el cual permite rastrear los efectos dinámicos de cualquier evento aleatorio (choque). No obstante, la solución del modelo estocástico es difícil principalmente por las nolinealidades que emergen del mismo modelo, las cuales se derivan de la interacción entre elementos multiplicativos (función de producción Cobb-Douglas) y elementos aditivos (ley de movimiento del capital). Un caso especial es el modelo propuesto por Long y Plosser (983), descrito en el capítulo 3. En ese modelo las no-linealidades desaparecen debido al supuesto no realista que la depreciación es total; es decir, la tasa de depreciación es igual a uno (δ = ), y que además, la función de utilidad es logarítmica (u(c t, h t ) = lnc t +θln( h t )). En este caso el modelo llega a ser lineal y puede ser resuelto analíticamente; en los demás casos una solución aproximada es requerida. En línea con lo anterior, Campbell (994) menciona que un paper típico en la literatura RBC plasma el modelo y luego se mueve directamente a la discusión de las propiedades de solución, sin especificar como se llegó a dicha solución. Lo anterior no permite que el lector entienda el proceso para obtener dichas propiedades de solución, ni la solución en sí misma. Ante ello, el autor propone un enfoque analítico simple del modelo de crecimiento estocástico, cuya versión log-lineal puede ser resuelto analíticamente para mostrar el mecanimo de solución lo más transparente posible. Con el fin de ilustrar el método de solución, Campbell (994) lo aplica a cuatro modelos: [] modelo con oferta ed trabajo fija, [2] modelo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad aditivamente separable, [3] modelo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad no aditivamente separable, y [4] el segundo modelo extendido con un choque de gasto público. En este capítulo me centro en el primer modelo (oferta de trabajo constante), dejando para el siguiente capítulo el modelo con oferta de trabajo variable. 2. Construcción del modelo Este modelo está compuesto por familias y empresas en un entorno de economía cerrada, en la cual existe un único bien. Por un lado las familias tienen trabajo fijo; es decir, todas las familias están empleadas. Por otro lado las familias son dueñas del capital y por tanto demandan bienes para invertir lo cual a su vez crea una oferta de capital. Asimismo, las familias demandan bienes de consumo. 3

4 Las empresas tienen un tecnología para producir el único bien en la economía en función del capital. Por ello las empresas demandan capital. En la figura [] se esquematiza el modelo. Figura : Esquema del modelo de oferta de trabajo constante Economía cerrada Familias Mercado de capital (competencia perfecta) Mercado de bienes (competencia perfecta) c demanda i demanda y oferta k oferta k demanda Empresas 2.. Familias En este modelo se asume que la economía está poblada por un conjunto de familias idénticas que tienen vida infinita. La familia representativa busca maximizar su función de utilidad descontada: Max E 0 β t u(c t ) () {c t,k t+ } t=0 Donde c t es el consumo del periodo t y β es el factor de descuento. Además, la función de utilidad instantánea está descrita por la siguiente forma funcional: t=0 u(c t ) = c γ t γ (2) 4

5 Propiedades de la función de utilidad La función de utilidad previa tiene un coeficiente de aversión al riesgo igual a γ y una elasticidad de sustitución intertemporal (del consumo) σ = /γ Cálculo de ESI c t+,t (σ): u ct = c γ t ] [ c γ ] t = E t βc γ t+ [ T MgSIt+,t c uct = E t βu ct+ ESIt+,t c ln( c t+ c = t ) ln(t MgSIt+,t c ) = T MgSIc t+,t c t+ T MgSIt+,t c c t ( ct+ c t ) La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) se entiende como la disposición de la familia de sustituir consumo hoy ( c t ) por consumo de mañana ( c t+ ). Cuando se dice que dicha elasticidad es fuerte (σ es grande), se entiende que el consumidor está dispuesto a reducir su consumo hoy en mayor cantidad. De otro lado, se asume que la familia es dueña del capital físico (k t ), cuya dinámica de acumulación está representada por la ley de movimiento del capital: = γ k t+ = ( δ)k t + i t (3) Dicho capital (k t ) es alquilado a las empresas a una tasa de interés real r t. Este flujo (r t k t ) positivo representa los ingresos de la familia, los cuales son distribuidos entre el consumo (c t ) y la inversión (i t ). Esta equivalencia de flujos, para cada periodo de tiempo, está representada en la restricción presupuestaria. Problema de optimización c t + i t = r t k t (4) El problema de optimización de la familia representativa es el siguiente: Max {c t,k t+ } t=0 sujeto a la restricción presupuestaria: E 0 t=0 β t c γ t γ c t + k t+ ( δ)k t = r t k t Donde la inversión (i t ) se ha reemplazado por su expresión derivada de la ley de movimiento del capital (ecuación (3)). Además, cabe mencionar que las variables de control, en este problema de optimización, son: c t y k t+. El problema de optimización de las familias puede ser escrito como una función de Lagrange: L = E 0 β t[ ( u(c t ) + λ t rt k t (c t + k t+ ( δ)k t ) )] t=0 5

6 Donde, de manera similar al capitulo 3 (modelo Lomg y Plosser (983)), la versión extendida de la función de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera: L = E 0 {β 0[ u(c 0 ) + λ 0 ( r0 k 0 (c 0 + k ( δ)k 0 ) )] + β [ u(c ) + λ ( r k (c + k 2 ( δ)k ) )] + β 2[ u(c 2 ) + λ 2 ( r2 k 2 (c 2 + k 3 ( δ)k 2 ) )] + β 3[ u(c 3 ) + λ 3 ( r3 k 3 (c 3 + k 4 ( δ)k 3 ) )] + β 4[ u(c 4 ) + λ 4 ( r4 k 4 (c 4 + k 5 ( δ)k 4 ) )] β t[ u(c t ) + λ t ( rt k t (c t + k t+ ( δ)k t ) )] + β t+[ u(c t+ ) + λ t+ ( rt+ k t+ (c t+ + k t+2 ( δ)k t+ ) )] +... } +... Las condiciones de primer orden, en el periodo t son: { L = 0 = E 0 β t[ u ct + λ t ( ) ]} = 0 c t u ct = λ t (5) { L = 0 = E 0 β t[ λ t ( )] + β t+[ λ t+ (r t+ + ( δ)) ]} = 0 k t+ λ t = βe t λ t+ (r t+ + ( δ)) (6) Reemplazando le ecuación (5) en la ecuación (6) se obtiene la ecuación de Euler: u ct = βe t u ct+ (r t+ + ( δ)) c γ t = βe t c γ t+ (r t+ + ( δ)) (7) En línea con Campbell (994), se define la variable R t como la tasa bruta de interés de la inversión en capital de un periodo, el cual es igual a la tasa de interés real neta (r t ) más el capital no depreciado ( δ). En el periodo t+ esta relación se expresa de la siguiente manera. R t+ = r t+ + ( δ) (8) Considerando la expresión anterior, la ecuación de Euler tendría la forma siguiente: c γ t = βe t c γ t+ R t+ (9) La ecuación de Euler expresa una comparación beneficio/costo marginal de consumir una unidad del bien. Por un lado se tiene el costo marginal de dejar de consumir una 6

7 unidad adicional del bien, el cual es expresado por la utilidad marginal u ct. Por otro lado se tiene el beneficio marginal de no consumir dicha unidad del bien en t, la cual en el periodo siguiente t + se convierte en ( + r t+ δ) unidades de bien. Esto se debe a que existe una tasa de interés y una tasa de depreciación. La utilidad marginal que brinda esta unidad adicional en t+ es u ct+ R t+. Sin embargo, para compararlo con el costo marginal en t es necesario traerlo a valor presente por medio del factor de descuento β. Por tanto, el beneficio marginal, en t, es igual a βu ct+ (R t+ ). Esto se observa en la siguiente ecuación. u }{{} ct = βe t u ct+ (r t+ + ( δ)) }{{} costo marginal beneficio marginal Por tanto, la ecuación de Euler indica que la familia está dispuesta a sacrificar consumo hoy hasta que el costo marginal de dejar de consumir una unidad del bien hoy sea igual al beneficio marginal de dicha unidad del bien traido a valor presente Empresas Se asume que las empresas se desarrollan en un contexto de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores de producción. En este escenario, la empresa representativa maximiza su función de beneficios sujeta a su tecnología (función de producción). Dicho problema de optimización está descrito de la siguiente manera: Sujeto a la función de producción: Max Π t = y t r t k t {k t} t=0 y t = a α t k α t (0) Debido a que la empresa no toma decisiones intertemporales, su problema de optimización se realiza para cada uno de los periodos. Por tanto, el problema de optimización se puede realizar en t y extender el resultado para los siguientes periodos. Introduciendo la función de producción en la función objetivo y derivando esta última con respecto a la única variable de control (k t ), se obtiene la siguiente expresión. Π = 0 = (aα t kt α r t k t ) = 0 = ( α) k t k t [ at k t ] α r t = 0 De esta condición de primer orden se obtiene la demanda de capital: [ ] α at r t = ( α) () 2.3. Equilibrio de mercado y definición del choque Para completar el modelo antes descrito es necesario especificar dos ecuaciones adicionales. La primera describe el equilibrio en el mercado de bienes; es decir, todo lo que se produce en la economía debe encontrar su contraparte en los diferentes componentes del gasto agregado. La segunda especifica el comportamiento de la productividad. Con k t 7

8 respecto a esta última, usualmente se supone que es estacionaria en media y que tiene una variaza constante. La forma estándar de representarla es asumiendo que la productividad sigue un proceso autorregresivo de orden uno. En este modelo en particular, se asume que no existe gasto de gobierno (g t = 0) y que la economía es pequeña y cerrada. Por tanto, toda la producción tendrá dos posibles destinos: el consumo (c t ) y la inversión (i t ). En ese sentido, la condición de equilibrio está descrita por la siguiente ecuación: y t = c t + i t (2) De otro lado, la productividad sigue un comportamiento estacionario AR(), en la cual el choque está representado por el ruido blanco ɛ t, que tiene una función de distribución normal con media cero y varianza constante [N(0, σ 2 e)]. En estado estacionario, se asume que dicho ruido blanco toma el valor de su media. Asimismo, cuando se dice que la economía ha sufrido un choque en t = 0 significa que en dicho periodo el ruido blanco (ɛ t ) ha dejado de ser cero y ha tomado, solo en ese periodo, algún valor proporcional a su desviación estándar (nσ e ). Usualmente, se considera que n es igual a uno. La ecuación (3) describe el comportamiento de la productividad. lna t = φlna t + ɛ t (3) Cabe subrayar que el logaritmo de la productividad se comporta como un AR() y no la productividad en sí misma. Esto es importante porque permite que, en el estado estacionario, la productividad sea igual a uno, lo cual evita cualquier división entre cero Ecuaciones principales Las ecuaciones principales del modelo se resumen en cuadro []: Cuadro : Sistema de ecuaciones no lineal del modelo Ecuaciones Descripción c γ t = βe t c γ t+ R t+ Ecuación de Euler y t = a α t kt α Función de producción r t = ( α) [ a t ] α k t Demanda del capital R t = r t + ( δ) R t es la tasa de interés real (bruta) r t es la tasa de interés real (neta) que considera la depreciación y t = c t + i t Equilibrio mercado de bienes k t+ = ( δ)k t + i t Ley de movimiento del capital lna t = φlna t + ɛ t Choque de productividad Nota: Estas 7 ecuaciones se pueden escribir directamente en un mod en Dynare para obtener la solución del modelo y los IRFs. Este conjunto de ecuaciones representan un sistema de ecuaciones en diferencias no lineales y estocásticas. Para resolver dicho sistema, como es usual en la literatura, se transforma en un sistema de ecuaciones lineales. Esto es debido a que las técnicas matemáticas de solución de sistemas lineales son ampliamente conocidas en la literatura. La solución del 8

9 sistema lineal será una aproximación de la solución del sistema no-lineal. Cabe mencionar que un paso previo a la linealización de sistema de ecuaciones es la asignación de valores a los parámetros (calibración) y el cálculo del estado estacionario. 3. Calibración Calibración es una metodología empírica, la cual consiste en asignar un valor a los parámetros del modelo de equilibrio general basado en una diversidad de fuentes. Según Heer y Maußner (2009), las fuentes mas comúnes son las siguientes:. El uso del promedio del nivel de variables económicas de series de tiempo o el promedio de los ratios de dichas variables. 2. La estimación econométrica de una ecuación. 3. Referencia a estudios econometricos basados en datos microeconómicos o macroeconómicos. 4. Ajustar los parámetros para que el modelo replique ciertos hechos empíricos como segundo momentos de los datos o impulso-respuesta de un VAR estructural. La forma de evaluar el poder del modelo para capturar la realidad es por medio de la comparación de los valores de los segundos momentos y de las funciones impulso-respuesta con los valores obtenidos empíricamente. En el cuadro [2] se indica los valores de los parámetros del modelo, los cuales están basados en Campbell (994). Cuadro 2: Calibración (valores base) Parámetro Nombre Sustento anual α = ( α) es la participación del capital en el producto δ = tasa de depreciación 0 % anual ln(r ss ) = 0.05, tasa de interés real bruta de estado 6.84 % anual: lleva a R ss = estacionario ( ) 4.05 y por tanto: β = σ = 0.2 elasticidad de sustitución intertemporal del consumo φ = 0.95 persistencia del choque σ ɛ = desviación estándar del choque 4. Estado estacionario Para el cálculo del estado estacionario se considera que la variable x t se mantiene constante. Entonces, en el estado estacionario se tiene que x t = x t+ = x ss. Esta última condición se aplica a todas las variables endógenas. Además, en el estado estacionario el choque ɛ ss toma su valor promedio, que es igual a cero. 9

10 Para la ecuación de Euler se tiene lo siguiente: c γ t = βe t c γ t+ R t+ c γ ss = βc γ ss R ss = βr ss R ss = β (4) Para la función de producción: y t = a α t kt α y ss = a α sskss α (5) Para la demanda de capital: r t = ( α) r ss = ( α) De la ecuación de la tasa de interés bruta: [ ] α at k t [ ass k ss ] α (6) R t = r t + ( δ) R ss = r ss + ( δ) por la ecuación (4): β = r ss + ( δ) Para la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes: r ss = ( δ) (7) β y t = c t + i t y ss = c ss + i ss (8) De la misma manera para la ley de movimiento del capital: k t = ( δ)k t + i t k ss = ( δ)k ss + i ss i ss = δk ss (9) Finalmente para la ecuación de comportamiento de la productividad: 0

11 lna t = φlna t + ɛ t lna ss = φlna ss + ɛ }{{} ss =0(valor de su media) lna ss = φlna ss ln(a ss ) = ln(a φ ss) a ss = a φ ss (20) Al igual que en el modelo de Long y Plosser (983), dos valores de a ss podrían resolver esta última ecuación (20): a ss = o a ss = 0. Sin embargo, solo cuando a ss =, el lna ss existe. Por tanto, la solución correcta es a ss =. La ventaja de considerar la ecuación del choque de productividad en logaritmos es que evita que la productividad en estado estacionario pueda ser cero. Esto es importante porque evita que en las ecuaciones de estado estacionario y en las ecuaciones log-lineales se encuentre algún número o variable divida por cero. Hasta aquí se ha encontrado el valor de estado estacionario de la tasa de interés bruta R ss, de la tasa de interés neta r ss y de la productividad a ss ; sin embargo para encontrar el estado estacionario para las demás variables se tiene que hacer algunas operaciones algebraicas adicionales. De la ecuación (6) se tiene: r ss = ( α) [ ] α ass Como ya se conoce el valor de r ss por la ecuación (7) y de a ss, entonces se puede conocer el valor del capital k ss. k ss r ss = ( α) k ss = a ss [ [ ] α ass r ss k ss ( α) ] α (2) Debido a que ya se conoce k ss, entonces se puede hallar el valor del producto y ss, de la inversión i ss y del consumo c ss : y ss = a α ssk α ss, de la ecuación (5) (22) i ss = δk ss, de la ecuación (9) (23) c ss = y ss i ss, de la ecuación (8) (24) En el cuadro [3] se resume la expresión del estado estacionario de cada variable del modelo.

12 Cuadro 3: Estado estacionario Estado estacionario (forma recursiva) Estado estacionario (forma paramétrica) R ss = β = β r ss = R ss ( δ) = β ( δ) a ss = = [ ] [ α ] r k ss = a ss β ss = α ( α) y ss = a α ssk α ss = i ss = δk ss c ss = y ss i ss = α [ ] ( α) β ( δ) α α [ ] β ( δ) α α [ ][ β +αδ β ( δ) = δ α α ] α Nota: El cálculo de los estados estacionarios se encuentran en Campbell Lfijo.m (sección ). 5. Log-linealización El sistema de ecuaciones que describe el modelo de Campbell (994) es no lineal. Esta característica del modelo dificulta la forma de encontrar la solución de dicho sistema. Una forma estándar de abordar esta dificultad es log-linealizar cada ecuación; es decir, convertir una ecuación no lineal en una ecuación lineal en términos de log desviación de la variable con respecto a su estado estacionario. Además, para pequeñas desviaciones del estado estacionario, la log desviación de una variable tiene una interpretación económica importante: ella es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado estacionario (Uhlig, 995). La ventaja de aplicar log-linealización es que convierte el sistema no lineal en lineal, al cual se le puede aplicar los métodos matemáticos estándar para resolver dichos sistemas (Blanchard y Kahn, 98). En primer lugar, se define la variable en log-desviaciones: x t = lnx t lnx ss (25) En segundo lugar, despejando la variable x t de la ecuación [25] se tiene: x t = x ss e xt (26) En tercer lugar, se hace una aproximación de Taylor de primer orden de e xt con respecto al estado estacionario, en el cual x t = 0; es decir, x t = x ss : e xt xt=0 e xt xt=0 = e xt=0 + e xt=0 ( x t 0) = + x t e xt = + x t (27) 2

13 Esta última ecuación se reemplaza en la ecuación (26): De la ecuación (28) se despeja x t : x t = x ss e xt = x ss ( + x t ) (28) x t = x t x ss x ss (29) Por tanto, la variable en log-desviaciones es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado estacionario. De un punto de vista práctico, se puede reemplazar cada variable por su expresión log-lineal y luego se aplica la aproximación de primer orden según la ecuación (27). Log-linealizando la ecuación de Euler se tiene: c γ t = βe t c γ t+ R t+ [ css eĉt] γ [ = βe ] γ[ t css eĉt+ Rss e R t+ ] e γĉt = E t e γĉ t+ e R t+ e γĉt = E t e γĉ t++ R t+ γĉ t = E t [ γĉt+ + R t+ ] ĉ t = E t [ĉt+ γ R t+ ] (30) Haciendo lo mismo para la función de producción: y t = a α t k α t y ss eŷt = [ a ss eât] α[ kss e k t ] α y ss eŷt = a α sse αât kss α e ( α) k t eŷt = e αât+( α) k t Con respecto a la demanda de capital: + ŷ t = + αâ t + ( α) k t ŷ t = αâ t + ( α) k t (3) r t = ( α) r ss e rt = ( α) r ss e rt = ( α) r ss e rt = ( α) e rt = e α(ât k t) ( ) α at k t ( ) α ass eât k ss e k t ( ass k ss ( ass k ss + r t = + α(â t k t ) ) α ( e â t e k t ) α ) α (e α(ât k t) ) r t = α(â t k t ) (32) 3

14 En el caso de la tasa bruta de interés, su forma log-lineal se obtiene de la siguiente manera: En el equilibrio de mercado de bienes: R t = r t + ( δ) R ss e R t = r ss e rt R ss ( + R t ) = r ss ( + r t ) R t = r ss R ss r t (33) y t = c t + i t y ss eŷt = c ss eĉt + i ss eît y ss ( + ŷ t ) = c ss ( + ĉ t ) + i ss ( + î t ) y ss + y ss ŷ t = c ss + c ss ĉ t + i ss + i ss î t y ss ŷ t = c ss ĉ t + i ss î t ŷ t = c ss y ss ĉ t + i ss y ss î t (34) La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedaría: k t+ = ( δ)k t + i t k ss e k t+ = ( δ)k ss e k t + i ss eît k ss ( + k t+ ) = ( δ)k ss ( + k t ) + i ss ( + î t ) k ss + k ss kt+ = ( δ)k ss + ( δ)k ss kt + i ss + i ss î t k ss kt+ = ( δ)k ss kt + i ss î t kt+ = ( δ) k t + i ss k ss î t (35) Finalmente, la ecuación de la productividad: lna t = φlna t + ɛ t lna ss eât = φlna ss eât + ɛ t lna ss + â t = φlna ss + φâ t + ɛ t â t = φâ t + ɛ t (36) El cuadro [4] resume las ecuaciones log-lineal del modelo: El número de ecuaciones del cuadro [4] se puede resumir en cinco, para ello se introduce la ecuación de equilibrio del mercado de bienes (ecuación 5) en la ecuación del movimiento del capital (ecuación 6). La variable que relaciona ambas ecuaciones es la inversión. En primer lugar se despeja la inversión de la ecuación 5: 4

15 Ecuaciones log-lineal [] ĉ t = E t [ĉt+ R ] γ t+ Cuadro 4: Ecuaciones log-lineal Descripción Ecuación de Euler [2] ŷ t = αâ t + ( α) k t Función de producción [3] r t = α[â t k t ] Demanda de capital [4] Rt = rss R ss r t Tasa de interés bruta [5] ŷ t = css y ss ĉ t + iss y ss î t Equilibrio en el mercado de bienes [6] kt+ = ( δ) k t + iss k ss î t Ley de movimiento del capital [7] â t = φâ t + ɛ t Choque de productividad Nota: Para obtener directamente la solución del modelo con Dynare se puede utilizar el mod Campbell Lfijo Dynare.mod î t = [ ŷ t c ] ss yss ĉ t y ss i ss En segundo lugar, se introduce esta ecuación en la ley de movimiento de capital: kt+ = ( δ) k t + i ([ ss ŷ t c ] ) ss yss ĉ t k ss y ss i ss Además, se introduce la ecuación de la función de producción (y t ): kt+ = ( δ) k t + i ([ ] ) ss (αât ) c ss yss + ( α) k t ĉ t k ss y ss i ss Ordenando los términos algrebraicos se tiene: [ kt+ = ( δ) + δ( α) y ] ss i ss }{{} λ kt + δα y ss i ss }{{} λ 2 De los coeficientes de la ecuación (37) se demuestra que: Por tanto, la ecuación final es: δ c ss i ss = λ λ 2 â t δ c ss i ss ĉ t (37) kt+ = λ kt + λ 2 â t + ( λ λ 2 )ĉ t (38) De otro lado, la ecuación [3] (demanda de capital) se introduce en la ecuación [4] (tasa de interés bruta): R t = α r ss r t R ss R t = α r ss [â t R k t ] ss R t = λ 3 [â t k t ] (39) 5

16 Donde en la ecuación previa se ha definido el coeficiente λ 3 : λ 3 = α r ss R ss El cuadro [5] resume las cinco principales ecuaciones log-lineal del modelo de trabajo fijo de Campbell (994). Cuadro 5: Ecuaciones log-lineal (sistema reducido) Ecuaciones log-lineal [] ĉ t = E t [ĉt+ γ R t+ ] [2] ŷ t = αâ t + ( α) k t [3] Rt = λ 3 [â t k t ] [4] kt+ = λ kt + λ 2 â t + ( λ λ 2 )ĉ t [5] â t = φâ t + ɛ t 5.. Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés Antes de resolver el sistema log-lineal es importante analizar el impacto de la tasa de interés real sobre el consumo. Para abordar este análisis es muy útil utilizar las ecuaciones log-lineales. La teoría del consumidor sugiere que cuando el precio (p t ) de un bien (q t ) cambia hay dos efectos sobre el consumidor: Primero, el precio de q t relativo a otros productos ha cambiado. Segundo, debido al cambio en p t, el ingreso real del consumidor cambia. El cambio del consumo óptimo como resultado de un cambio en el precio contiene ambos efectos. El efecto sustitución es el efecto debido solo al cambio de precios relativos, manteniendo constante el ingreso real. Mientras que el efecto ingreso es el efecto debido al cambio en el ingreso real. La tasa de interés representa el precio relativo de la canasta en el periodo t+ (c t+ ) con respecto a hoy (c t ). Por tanto, un cambio en la tasa de interés producirá dos efectos: sustitución e ingreso. Efecto sustitución (ES): un incremento en la tasa de interés real hace que el consumo de mañana c t+ sea relativamente menos costoso comparado con el consumo de hoy c t. Esto se debe a que el ahorro es más rentable para alcanzar el mismo monto de consumo mañana; es decir, el consumidor necesita sacrificar menos consumo hoy. Por tanto, el efecto sustitución se resume en: R t Efecto Sustitución c t y c t+ Cabe mencionar que la ecuación de Euler refleja el efecto sustitución del consumo. Además, σ es la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo. 6

17 ĉ t = E t [ĉt+ γ R t+ ] La magnitud del efecto sustitución es controlado por σ, mientras más grande sea σ mayor será el efecto sustitución; es decir: R t Efecto Sustitución c t y c t+ Efecto ingreso (EI): un incrmento de la tasa de interés produce un efecto ingreso. Si el consumidor tiene activos (bonos o ahorro), un incremento de la tasa de interés produce mayores ganancias por esos activos y por tanto mayor ingreso. Este efecto tiende a incrementar el consumo en todos los periodos. R t Efecto Ingreso c t y c t+ Cabe mencionar que la restricción presupuestaria refleja el efecto ingreso: c t + i t = r t k t Un incremento de la tasa de interés produce dos efectos: ES c t y c t+ (Ecuación de Euler) EI c t y c t+ (Restricción presupuestaria) ET Depende de ESI σ y c t+ Efecto total (ET): Para observar el efecto final de la tasa de interés sobre el consumo nos basaremos en la restriccón presupuestaria y la ecuación de Euler (de las variables en niveles). c t + i t = r k k t (40) pero se sabe : despejando i t : (4) en (40) : k t+ = ( δ)k t + i t i t = k t+ ( δ)k t (4) c t + k t+ ( δ)k t = r k k t c t + k t+ = (r k + ( δ) )k }{{} t R t c t + k t+ = R t k t (42) Como se sabe el ingreso de la familia representativa en t es R t k t, la cual se resumirá en A t. De igual forma para el ingreso en t+ : R t+ k t+ = A t+. Reescribiendo la ecuación (42) en términos de ingreso se tiene: 7

18 c t + k t+ = R t k t c t + R t+k t+ R t+ = R t k t c t + A t+ R t+ = A t (43) La ecuación (43) es una ecuanción en diferencias, la cual se puede resolver iterando hacia adelante. Por inducción matemática hacemos lo siguiente: Luego la ecuación (46) se reemplaza en (45): A t = c t + A t+ R t+ (44) A t+ = c t+ + A t+2 R t+2 (45) A t+2 = c t+2 + A t+3 R t+3 (46) La ecuación (47) se reemplaza en (44): A t+ = c t+ + A t+2 R t+2 A t+ = c t+ + R t+2 (c t+2 + A t+3 R t+3 ) A t+ = c t+ + c t+2 R t+2 + A t+3 R t+2 R t+3 (47) A t = c t + A t+ R t+ A t = c t + (c t+ + c t+2 + A t+3 ) R t+ R t+2 R t+2 R t+3 A t = c t + + c t+ + c t+2 A t+3 + (48) R t+ R t+ R t+2 R t+ R t+2 R t+3 Dividiendo toda la ecuación (48) por R t para hacer una generalización (en sumatoria) más sencilla: 8

19 A t c t+2 A t+3 = c t + c t+ + + R t R t R t R t+ R t R t+ R t+2 R t R t+ R t+2 R t+3 resumiendo : en una sumatoria... A t 2 = + (49) R t generalizando para n : A t R t = s=0 n s=0 c t+s s j=0 R t+j c t+s s j=0 R t+j aplicando Limite cuando : n A t c = t+s R s t j=0 R t+j A t R t = s=0 s=0 c t+s s j=0 R t+j A t+3 3 j=0 R t+j + A t+(n+) n+ j=0 R t+j + Lim n A t+(n+) n+ j=0 R t+j }{{} =0(por transversalidad) Para encontrar la relación de la tasa de interés con el consumo de hoy es necesario encontrar la relación del c t+s con el consumo actual c t, para ello se usa la ecuación de Euler (abstrayendo el operador expectativa) para t, t + y t + 2 : (50) Multiplicando estas ecuaciones se tiene: c γ t = βc γ t+ R t+ c γ t+ = βc γ t+2 R t+2 c γ t+2 = βc γ t+3 R t+3 c γ t c γ t+ c γ t+2 = β 3 c γ t+ R t+c γ t+2 R t+2c γ t+3 R t+3 c γ t = β 3 c γ R t t+3 R t+ R t+2 R t+3 R t 3 t = β 3 c γ t+3 R t+j c γ generalizando para s : c γ R t t = β s c γ j=0 s t+s R t+j R t j=0 ( ct+s c t ) γ = despejando c t+s : c t+s = R t β s s j=0 R t+j [ R t β s s j=0 R t+j ] γ ct (5) 9

20 Introduciendo la ecuación (5) en la ecuación (50): A t R t = s=0 [ A t = β s γ R t s=0 [ A t = c t R t ] R t β s γ s ct j=0 R t+j s=0 s j=0 R t+j [ s j=0 β s γ R t+j ] γ c t R /γ t [ s j=0 ] ] γ R t+j R /γ t (52) Caso simplificado: para analizar el efecto de la tasa de ineterés sobre el consumo de hoy c t se supone que la tasa de interés es la misma en todos los periodos; es decir, R t = R t+ = R t+2 =... = R t+j = R. Introduciendo este supuesto en la productoria de la ecuación (52) se tiene: s R t+j = R s+ Reemplazando la expresión anterior en la ecuación (52) se tiene: j=0 [ A t R = c t β s [ γ R s+ ] ] γ R /γ s=0 [ A t R = c ] t β s γ R (s+) γ R /γ A t R = c t A t R = c t s=0 [ ] β s γ R (s( γ )+ γ R /γ s=0 [ ] β s γ R (s( γ ) R s=0 [ ] A t = c t β s γ R (s( γ ) s=0 [ ) s ] A t = c t (β γ R γ s=0 Por progresión geométrica de s=0 ( β γ R γ ) s se tiene que: (53) s=0 ( ) s ) ( ) 2 ( ) 3 β γ R γ = + (β γ R γ + β γ R γ + β γ R γ... = Reemplazando la expresión (54) en la ecuación (53) se tiene: (54) β γ R γ 20

21 γ A t = c t [ β γ R γ Aplicando logaritmo a la ecuación (55) se tiene: ] c t = A t [ β γ R γ ] (55) ln(a t ) = ln(c t ) + ln [ β γ R γ ] (56) Aplicando la aproximación de Taylor de primer orden a ln [ β γ R γ ] se tiene que: Reemplazando (57) en (56): ln [ β γ R γ ] β γ R γ (57) ln(a t ) = ln(c t ) + β γ R γ (58) Tomando diferencial a la ecuación (58) y considerando que A t no cambia, y además, = σ (ESI), entonces: ln(c t ) = (σ )β σ R σ R ln(c t ) R = (σ )β σ R σ (59) La ecuación (59) refleja el efecto final sobre el consumo de hoy un movimiento de la tasa de interés real. Una conclusión importante es que el efecto final depende de la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ). La expresión siguiente muestra el efecto final sobre el consumo dependiendo del valor de la ESI: σ < ln(c t) R σ = ln(c t) R σ > ln(c t) > 0 c t = 0 R no afecta el consumo R < 0 c t Caso general: considerando la ecuación (52) y desarrollandola se tiene: [ A t = c t β s γ R t s=0 [ A t R /γ = c t β s γ t s=0 A t R /γ t [ s j=0 [ s j=0 ] ] γ R t+j R /γ t R t+j ] γ ] siendo explícito en la sumatoria: ] = c t [ + β γ (R t R t+ ) γ + β 2 γ (R t R t+ R t+2 ) γ + β 3 γ (R t R t+ R t+2 R t+3 ) γ... }{{} N t A t = c t R /γ t [ + N t ] A t = c t R /γ t + c t R /γ t N t (60) 2

22 Diferenciando la ecuación (60) con respecto a R t+ y considerando que R j (j ) no depende de R t+ : A t = R /γ c t t + c t R /γ t N t + c t R /γ t R t+ R t+ R t+ Desarrollando el diferencial: N t R t+, N t (6) R t+ N t = ( R t+ γ ) β γ (R t R t+ ) γ 2 R t + ( γ ) β 2 γ (R t R t+ R t+2 ) γ 2 R t R t+2 + ( γ ) β 3 γ (R t R t+ R t+2 R t+3 ) γ 2 R t R t+2 R t multiplicando y diviviendo por R [ t+ ( = R t+ γ ) β γ (R t R t+ ) γ 2 R t R t+ + ( γ ) β 2 γ (R t R t+ R t+2 ) γ 2 R t R t+ R t+2 + ] ( γ ) β 3 γ (R t R t+ R t+2 R t+3 ) γ 2 R t R t+ R t+2 R t [ ( = R t+ γ ) β γ (R t R t+ ) γ + β 2 γ (R t R t+ R t+2 ) γ + β 3 γ (R t R t+ R t+2 R t+3 ) γ +... ( = R t+ γ ) N t = ( γ ) N t (62) R t+ Introduciendo la ecución (62) en la ecuación (6): ] A t = R /γ c t t + c t R /γ t R t+ R t+ R t+ A t = R /γ c t t + c t R /γ t R t+ R t+ R t+ A t = R /γ t Se sabe que A t = 0, entonces: c t + c t R /γ t N t + c t R /γ t N t + c t R /γ t N t + R t+ c t R /γ t N t (63) R t+ ( γ ) N t R t+ ( γ ) N t R t+ 0 = R /γ t c t + c t R /γ t N t + R t+ c t R /γ ( t 0 = R /γ [ t ct + c t N t + ( γ ) R t+ ] c t N t R t+ 0 = c t + c t N t + ( γ ) R t+ c t N t R t+ 0 = c t [ + N t ] + ( γ ) R t+ c t N t R t+ Ordenando algebraicamente los términos, se tiene: γ ) N t R t+ 22

23 c t [ + N t ] = ( γ ) R t+ c t N t R t+ c t [ + N t ] = ( c t N t γ ) R t+ c t c t = ( R t+ N t γ ) R t+ (64) + N t R t+ De la ecuación (64) se puede concluir que el impacto de la tasa de interés del periodo siguiente sobre el consumo de hoy es gobernada por la elasticidad de sustitución del consumo ( γ = σ), tal como se observó en el caso simplificado. 6. Solución del sistema lineal: método de coeficientes indeterminados El método de coeficientes indeterminados busca encontrar las variables de control en función de las variables de estado ( k t ) y de la variable exógena (â t ). Al analizar si cada ecuación log-lineal se encuentra en función del capital ( k t ) y de la productividad (â t ) se observa, en el cuadro [5], que la ecuación [2] (función de producción) y la ecuación [3] (demanda de capital que considera la tasa de interés bruta) dependen de dichas variables. Además la ecuación [5] describe la productividad. Al introducir la demanda de capital en la ecuación de Euler, dicha ecuación estaría en función del capital y de la productividad: ĉ t = E t (ĉ t+ σλ 3 (â t+ k t+ )) (65) De otro lado, la ley de movimiento del capital contiene a la variable de estado y al choque: kt+ = λ kt + λ 2 â t + ( λ λ 2 )ĉ t (66) Por tanto, si encontramos el ĉ t y k t+ en función de ( k t, â t ), el sistema estaría solucionado. Para ello, bajo el método de coeficientes indeterminados, se propone la siguiente solución: ĉ t = η ck kt + η ca â t (67) kt+ = η kk kt + η ka â t (68) En este contexto, el problema radica en encontrar los valores de los coeficientes: η ck, η ca, η kk, η ka. Con este fin, el análisis se realizará en cinco pasos:. Ecuación de Euler: Si reemplazamos la solución propuesta en la ecuación de euler (65) se obtiene una expresión para los coeficientes: η ca = η ka(σλ 3 + η ck ) φσλ 3 φ η ca = f(η ka, η ck ) (69) η ck = η kkσλ 3 η kk η ck = f(η kk ) (70) 23

24 2. Ecuación del capital: Si reemplazamos la solución propuesta en la ecuacion de movimiento del capital (66) se obtiene una expresión para los coeficientes: η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck η kk = f(η ck ) (7) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca η ka = f(η ca ) (72) 3. Primer coeficiente: Para hallar η ck elegimos (70) y (7) : η ck = f(η kk ) : η ck = η kkσλ 3 η kk (73) η kk = f(η ck ) : η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck (74) 4. La ecuación (74) se reemplaza en (73), de la cual se obtiene: Q 2 η 2 ck + Q η ck + Q 0 = 0 (75) Donde, en primer lugar las dos raices de esta ecuación representan los dos valores que puede tomar η ck. En segundo lugar, el valor de este coeficiente permite obtener el valor de los tres restantes, y finalmente, los valores de Q i son: Q 2 = λ λ 2 Q = λ + σλ 3 ( λ λ 2 ) Q 0 = λ σλ 3 Al resolver la ecuación (75) se obtiene los dos valores de η ck : η ck = Q + Q 2 4Q 2Q 0 2Q 2 η ck2 = Q Q 2 4Q 2Q 0 2Q 2 El signo de η ck que se debe de elegir es positivo, porque esto permite que η kk sea menor a uno, lo cual indica que la ecuación del capital es estable (no explosiva). Para ello, se evalúa el signo de cada Q i : Q 2 < 0 (porque λ > y λ 2 > 0) Q 0 > 0 Q > 0 (Q = λ + Q 2 Q 0 /λ ) De lo anterior, se demuestra que η ck2 tiene signo positivo, por tanto se elige esta raíz. Esto permite obtener los dos coeficientes η ck y η kk : η ck = Q Q 2 4Q 2Q 0 2Q 2 (76) η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck (77) 24

25 5. Para hallar los dos coeficientes restantes η ca y η ka se elige la ecuación (69) y (72): η ka y η ca : η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca η ka = f(η ca ) η ca = η ka(σλ 3 + η ck ) φσλ 3 φ η ca = η ca = f(η ka, η ck ) η ck λ 2 + σλ 3 (φ λ 2 ) φ + ( λ λ 2 )(η ck + σλ 3 ) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca Con los parámetros calibrados para el modelo base se obtiene que: η ck = , η ca = , η kk = y η ka = Finalmente, la solución del modelo para cada una de las variables endógenas son: Solución para el consumo: Solución para el capital: Solución para el producto: Solución para la inversión: ĉ t = η ck kt + η ca â t (78) kt+ = η kk kt + η ka â t (79) ŷ t = ( α) k t + αâ t (80) ŷ t = c ss y ss ĉ t + i ss y ss î t î t = y ss i ss (ŷt c ss y ss ĉ t ) Reemplazando (78) y (80): î t = y ss ( α c ss η ck ) k t + y ss (α c ss η ca )â t (8) i ss y ss i ss y ss Solución (tasa de interés neta): Solución (tasa de interés bruta): 6.. Análisis de elasticidades r t = α(â t k t ) (82) R t = α r ss R ss (â t k t ) (83) Los coeficientes de la solución de cada una de las variables representan elasticidades. Esto se debe a que las variables están expresandas en logaritmos. Por ejemplo para el caso del consumo se tiene: ĉ t = η ck kt + η ca â t Dado que ĉ t = ln( ct c ss ) y de manera similar para las demás variables se tiene: ln( c t ) c ss = η ck ln( k t ) + η ca ln( a t ) k ss a ss ln(c t ) ln(c ss ) = η ck (ln(k t ) ln(k ss )) + η ca (ln(a t ) ln(a ss )) ln(c t ) = [ln(c ss ) + ln(k ss ) + ln(a ss )] + η ck ln(k t ) + η ca ln(a t ) 25

26 Tomando diferencial con respecto al capital (k t ) se tiene: ln(c t ) = η ck ln(k t ) c t k t = η ck c t k t c t c t k t = η ck k t Elasticidad ct,kt = η ck (84) Como se puede observar la ecuación (84), η ck refleja la elasticidad del consumo ante un cambio del capital. En particular, η ck mide el efecto del capital ( k t ) sobre el consumo actual ( c t ), manteniendo constante la productividad ( a t ); es decir, si el capital aumenta %, el consumo aumenta en η ck %. De esta forma se lee todos los coeficientes de la solución del sistema log-lineal. El cuadro [6] resume las elasticidades. Cuadro 6: Coeficientes (elasticidades) de la solución del modelo lineal Elasticidad Expresión Valor η ck = Q Elasticidad del consumo al capital: η ck Elasticidad del consumo a la productividad: η η ca = ca Q 2 4Q 2 Q 0 2Q η ck λ 2 +σλ 3 (φ λ 2 ) φ +( λ λ 2 )(η ck +σλ 3 ) Elasticidad del capital de mañana al η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck capital de hoy: η kk Elasticidad del capital de mañana a la productividad: η ka η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca Nota: La expresión de las elasticidades y sus valores están en Campbell Lfijo.m (sección 2). En el análisis de elasticidades dos parámetros son importantes: la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo σ y la persistencia del choque φ. Para ver cómo estos parámetros influyen sobre las elasticidades vamos a revisar cada una de las elasticidades. Revisando λ, λ 2 y λ 3 : λ = ( δ) + δ( α) y ss i ( ss = ( δ) + δ( α) δ k α ss = ( δ) + ( α) r ss α = ( δ) + ( ( δ)) β ) = β λ = F (β) (85) 26

27 λ 2 = δα y ss i ( ss = δα δ k α ss ) = α r ss α = α α ( ( δ)) β λ 2 = F (α, β, δ) (86) λ 3 = α r ss R ss β ( δ) = α β = α( β( δ) λ 3 = F (α, β, δ) (87) Revisando Q 0, Q y Q 2 : Q 2 = λ λ 2 = ( β ) α α ( ( δ)) β [ β = + αδ ] α Q 2 = F (α, β, δ) (88) Q = λ + σλ 3 ( λ λ 2 ) = λ }{{} F (β) + σ λ 3 ( λ λ 2 ) }{{} F (α,β,δ) Q = F (σ (+) α, β, δ) (89) Q 0 = λ σλ 3 = λ }{{} F (β) σ λ 3 }{{} F (α,β,δ) Q 0 = F (σ (+) α, β, δ) (90) De qué parámetros dependen las elasticidades (η ck y η kk )? 27

28 Debido a que Q 2 es negativo, el componente dentro del radical es positivo. En ese caso σ, que afecta positivamente a Q 0 y Q, tiene un impacto positivo sobre η ck. De otro lado, Q que se encuentra fuera del radical también traslada el efecto positivo de σ sobre η ck. Cabe mencionar que η ck no depende de la persistencia del choque (φ). η ck = Q Q 2 4Q 2Q 0 2Q 2 = F (σ (+) α, β, δ) (9) De lo anterior se concluye la siguiente observación: Observación : η ck se incrementa a medida que se incrementa la elasticidad de sustitución del consumo (σ). η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck = λ }{{} + ( λ λ 2 ) }{{} F (β) = δ css iss = λ }{{} F (β) = λ }{{} F (β) δ c ss i ss δ c ss i ss }{{} η ck }{{} F (σ (+) α,β,δ) η ck }{{} F (σ (+) α,β,δ) F (α,β,δ) η ck }{{} F (σ (+) α,β,δ) η kk = F (σ ( ) α, β, δ) (92) De lo anterior se concluye las siguiente observaciones: Observación 2: η ck y η kk no dependen de φ. Observación 3: η kk se reduce a medida que se incrementa la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ). De qué parámetros dependen las elasticidades (η ca y η ka )? η ca = η ck λ 2 + σλ 3 (φ λ 2 ) = F (φ, σ, α, β, δ) (93) φ + ( λ λ 2 )(η ck + σλ 3 ) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca = F (φ, σ, α, β, δ) (94) De la expresión (94) se puede ver que η ca tiene una relación no lineal con φ y σ. De manera similar para η ka. De lo anterior se concluye las siguiente observaciones: Observación 4: η ca se incrementa a medida que φ aumenta para valores bajos de σ (σ ), pero se reduce para valores altos (σ > ). Observación 5: η kk y η ka se reducen a medida que se incrementa la elasticidad de sustitución del consumo (σ). En el cuadro [7] se mencionan tres casos de especial interés. 28

29 Figura 2: Elasticidades (coeficientes de la solución) η ck η kk Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) η ca η ka 0.5 φ=0 φ=0.4 φ= Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) 0.07 φ=0 φ=0.4 φ= Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) Nota: Cabe mencionar que estos gráficos se obtienen del código Campbell Lfijo Sim Parametros.m 7. Representación de series de tiempo Debido a que se tiene la solución del modelo; es decir, cada variable endógena en función de la variable de estado (capital) y de la variable exógena (productividad), considerando además que la productividad se comporta como un proceso AR(). Entonces, se puede hallar la representación de series de tiempo ARMA (p,q) de cada variable. 7.. Serie de tiempo del capital De la solución del modelo, en particular de la ecuación que describe el comportamiento del capital en t + en función del capital en t y de la productividad se tiene: kt+ = η kk kt + η ka â t 29

30 Cuadro 7: Casos especiales Caso Valor de σ Función de utilidad Caso σ = 0 No existe efecto sustitución intertemporal Caso 2 σ = Función de utilidad logaritmica: u(c t ) = ln(c t ). El efecto sustitución y el efecto ingreso se anulan. Caso 3 σ = Función de utilidad lineal: u(c t ) = c t Elasticidad η kk = Serie de tiempo ln(c t ) es un random walk, y ln(k t ) y ln(k t ) cointegran con el ln(c t ) η kk = 0, η ka = φ k t se comporta como un AR(), mientras c t y y t se comportan como un AR- MA(,) Donde los coeficientes η kk y η ka han sido hallados previamente. De esta ecuación se puede encontrar la forma autorregresiva del capital ( k t+ ): ( η kk L) k t+ = η ka â t kt+ = Además, Considerando que â t se puede expresar como: Entonces se tiene que: kt+ = η ka (95) η kk Lât â t = φâ t + ɛ t a t = ɛ t φl η ka ɛ t ( η kk L) ( φl) La expresión anterior demuestra que el capital se comporta como un AR(2): dos raices reales (φ y η kk ) y menores a (k t+ es estable). La expresión AR(2) del capital es: (96) (97) kt+ = η ka ɛ t ( η kk L) ( φl) ( η kk L)( φl) k t+ = η ka ɛ t ( η kk L φl + η kk φl 2 ) k t+ = η ka ɛ t kt+ η kk kt φ k t + η kk φ k t = η ka ɛ t kt+ = (φ + η kk ) k t η kk φ k t + η ka ɛ t (98) 7.2. Serie de tiempo del producto De igual manera que en el caso del capital, para encontrar la expresión de series de tiempo del producto se parte de la solución del modelo: ŷ t = αâ t + ( α) k t (99) 30

31 Para encontrar el modelo de series de tiempo del producto (y t ) se reemplaza en la ecuación previa (98) la expresión de la productividad (en función del error) y la expresión del capital (en función de la productividad). Esta última corresponde a la ecuación (96). ŷ t = αâ t + ( α) k t ŷ t = α e t φl + ( α) η ka ( η kk L)ât ŷ t = α e t φl + ( α) η ka ( η kk L) ŷ t = α e t φl + ( α) η ka L ( η kk L) e t ( φl) e t ( φl) (00) La ecuación (00) sugiere que el producto se comporta como un ARMA(2,): ŷ t = [ ] α + [( α)ηka αη kk ]L ɛ t (0) ( η kk L)( φl) ( η kk L)( φl)ŷ t = [ α + [( α)η ka αη kk ]L ] ɛ t ( η kk L φl + η kk φl 2 )ŷ t = αɛ t + [( α)η ka αη kk ]ɛ t ŷ t η kk ŷ t φŷ t + η kk φŷ t 2 = αɛ t + [( α)η ka αη kk ]ɛ t 7.3. Serie de tiempo del consumo De la solución del modelo: ŷ t = (η kk + φ)ŷ t η kk φŷ }{{ t 2 + αɛ } t + [( α)η ka αη kk ]ɛ }{{ t } AR(2) MA() ĉ t = η ck kt + η ca â t El consumo se comporta como un ARMA(2,) ĉ t = [ ηca + (η ck η ka η ca η kk )L ( η kk L)( φl) 7.4. Serie de tiempo de la tasa de interés real bruta De la solución del modelo: R t+ = λ 3 (â t+ k t+ ) ] ɛ t (02) La tasa de interés se comporta como un ARMA(2,) [ ] ( ηka η kk L) R t+ = λ 3 ɛ t (03) ( η kk L)( φl) 3

32 7.5. Serie de tiempo de la inversión De la solución para la inversión (ecuación (8)): î t = ( α c ss η ck ) kt + (α c ss η ca ) y }{{ ss y }}{{ ss } η ik η ia î t = η ik kt + η ia â t η ka ɛ t î t = η ik ( η kk L) ( φl) + η ɛ t ia φl [ ] η ka L î t = η ik ( η kk L) + η ɛ t ia φl [ ] ηik η ka L + η ia ( η kk L) ɛ t î t = ( η kk L) φl [ ] ηia + (η ik η ka η ia η kk )L ɛ t î t = ( η kk L) φl Por tanto, la inversión se comporta como un ARMA(2,): [ ] ηia + (η ik η ka η ia η kk )L î t = ɛ t (04) ( η kk L)( φl) 8. Funciones impulso-respuesta La construcción de la función impulso-respuesta de las variables endógenas consta de dos etapas. La primera es transformar la forma autorregresiva del capital AR(2) a su versión de media móviles MA( ). La segunda etapa consiste en cuantificar el impacto, en cada periodo, de un choque temporal (de un solo periodo) en cada variable endógena. Primera etapa: Forma MA( ) del capital ( φ L φ 2 L 2 ) k t+ = η ka ɛ t Calculando las raices del AR(2): En factores: kt+ = (φ + η }{{ kk ) k } t + η kk φ kt + η }{{} ka ɛ t φ φ 2 kt+ = φ kt + φ 2 kt + η ka ɛ t φ L φ 2 L 2 = 0 (L y )(L y 2 ) = 0 Factorizando y del primer factor e y 2 del segundo: ( ) ( ) y L y 2 L = 0 y y 2 â t 32

33 La expresión se reduce a: ( y }{{} θ )( L y 2 }{{} θ 2 ) L = 0 Multiplicando por (-) a ambos términos: ( θ L)( θ 2 L) = 0 Por tanto: Equivalencia de raices (L y )(L y 2 ) = ( θ L)( θ 2 L) = 0 Donde: θ = y Donde: θ 2 = y 2 Utilizando la equivalencia de raices del AR(2): (L y )(L y 2 ) k t+ = η ka ɛ t ( θ L)( θ 2 L) k t+ = η ka ɛ t kt+ = η ka ɛ t ( θ L)( θ 2 L) }{{} Ψ(L) Versión MA( ) del capital: Ψ(L) = + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L ψ k L k +... k ψ k = = j=0 θ j θk j 2 kt+ = ( + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L )η ka ɛ t (05) Con esta expresión calculamos la función impulso-respuesta. La versión extendida de la ecuación (??) es: kt+ = ( + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L )η ka ɛ t kt+ = η ka ɛ t + (ψ η ka )ɛ t + (ψ 2 η ka )ɛ t 2 + (ψ 3 η ka )ɛ t (06) Segunda etapa: Cálculo del IRF del capital ante un choque de productividad En este caso para el cálculo de la función impulso respuesta del capital se considera que el impulso o choque ɛ t se realiza en un solo periodo (el periodo uno) y que toma el valor de una desviación estándar σ ɛ, el cual se asume que es igual a uno; es decir, en t =, ɛ = σ ɛ =. El error (ɛ t ) tomar el valor de cero durante los periodos antes del choque y 33

34 Figura 3: Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicas log-lineales 0.7 Producto 0.7 Capital 0.35 Consumo Inversión 0.03 Tasa de interés real bruta Productividad Nota: Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables log-lineales; es decir a ŷ t, k t, ĉ t, î t, r t y â t. Cabe mencionar que estos gráficos se obtienen del código Campbell Lfijo.m (sección 4). 34

35 Cuadro 8: Construcción de la función impulso-respuesta del capital t ɛ t Versión MA( ) de k t+ IFR de k t+ 0 ɛ 0 = 0 k = η ka ɛ }{{} 0 +(ψ η ka ) ɛ +... }{{} k = η ka ɛ 0 ɛ = k2 = η ka =0 =0 ɛ +(ψ η ka ) ɛ k2 = η ka ɛ }{{} = }{{} =0 2 ɛ 2 = 0 k3 = η ka ɛ }{{} 2 +(ψ η ka ) ɛ +(ψ }{{} 2 η ka ) ɛ }{{} k3 = ψ η ka ɛ 3 ɛ 3 = 0 =0 = =0 k4 = η ka ɛ }{{} 3 +(ψ η ka ) ɛ 2 +(ψ }{{} 2 η ka ) ɛ +(ψ }{{} 3 η ka ) ɛ }{{} k4 = ψ 2 η ka ɛ 4 ɛ 4 = 0... =0 =0 = =0 k5 = ψ 3 η ka ɛ Y Figura 4: Efecto sobre la función de producción Y Y B Y0 Y0 A Kss = K0 = K K después del choque. El cuadro [8] muestra la construcción de la función impulso-respuesta del capital. En t = 0 todas las variables se encuentran en su estado estacionario. El capital en t =, el cual se determina en t = 0, también se encuentra en estado estacionario. Tal es así que se cumple la ley de movimiento del capital: k = ( δ)k 0 +i 0, donde k = k 0 = k ss. El choque de productividad se realiza en el periodo t = produciendo los siguientes efectos: er Efecto (sobre las empresas): un incremento de la productividad produce un incremento en la función de producción para cada nivel de capital. El capital se hace más productivo en t = ; es decir, con el mismo capital se puede producir más. Por tanto, la demanda de capital aumenta. 2do Efecto (sobre las empresas): el aumento de la demanda de capital permite que la tasa de interés en t = se incremente: r t (r 0 r ), r > r 0. Esto se debe a que la oferta de capital en t = se mantiene constante ya que no se ve afectada por el choque 35