Teoría Macroeconómica II

Transcripción

1 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II Modelo de Solow (III) Carlos Rojas Quiroz Agosto del 2017

2 Índice 1 La contabilidad del crecimiento 2 Convergencia 3 Extensiones: Trampa de pobreza 4 Extensiones: Capital Humano 4.1 Modelo Modelo Contabilidad del crecimiento con capital humano 2/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

3 La contabilidad del crecimiento Sea Y (t) = F(K (t), A(t)L(t)), entonces: Y (t) Ẏ (t) = K (t) K Y (t) (t) + A(t) L(t) L(t) Y (t) + L(t) Ȧ(t) (1) A(t) Ẏ (t) Y (t) = K (t) Y (t) K (t) Y (t) K (t) K (t) + A(t)L(t) Y (t) }{{} α K (t) Y (t) L(t) } {{ } α L (t) L(t) L(t) + A(t)L(t) Y (t) Ȧ(t) Y (t) A(t) A(t) }{{} R(t) Ẏ (t) Y (t) = α K (t) K (t) K (t) + α L(t) L(t) + R(t) (3) L(t) (2) 3/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

4 La contabilidad del crecimiento Teniendo en cuenta que α K (t) + α L (t) = 1, la ecuación 3 se transforma a lo siguiente: Ẏ (t) Y (t) L(t) [ K (t) L(t) = α K (t) K (t) L(t) ] + R(t) (4) L(t) Que puede ser modificado de tal forma que: R(t) = Ẏ (t) Y (t) L(t) [ K (t) L(t) α K (t) K (t) L(t) ] L(t) (5) 4/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

5 La contabilidad del crecimiento El residuo de Solow, R(t), es interpretado como una medida de la contribución del progreso técnico al crecimiento de la producción. Pero refleja realmente la contribución de todos los demás factores que no sean capital y trabajo. OJO! contabilidad del crecimiento sólo estudia factores determinantes directos del crecimiento económico y en qué medida la acumulación, las mejoras en la calidad y otros factores contribuyen al crecimiento económico. No estudia qué causas se hallan tras la evolución de los mismos. 5/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

6 La contabilidad del crecimiento Problemas: α K (t) puede variar en el tiempo. Usamos el de inicio de período o el de fin de período? Probables sesgos. En tiempo discreto: R(t) = Y t+1,t Y t L t+1,t L t ᾱ K [ Kt+1,t K t L ] t+1,t L t Donde X t+1,t X t es el cambio porcentual de una variable X entre los períodos t y t + 1 y ᾱ K es el promedio de dicha variable en ambos períodos: ᾱ K = α K,t + α K,t+1 2 (6) 6/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

7 La contabilidad del crecimiento Problemas: R(t) es la medida de nuestra ignorancia. Mismeasurement de los factores de producción: realmente no es empleo, sino empleo efectivo. Necesidad de incorporar medidas de capital humano. No hay medidas confiables del stock de capital físico. El PBI no mide correctamente cambios en la calidad de los productos ni en los precios relativos de los factores de producción. 7/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

8 La contabilidad del crecimiento 8/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

9 Índice 1 La contabilidad del crecimiento 2 Convergencia 3 Extensiones: Trampa de pobreza 4 Extensiones: Capital Humano 4.1 Modelo Modelo Contabilidad del crecimiento con capital humano 9/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

10 Velocidad de convergencia Definición 1 Una función φ(x), diferenciable infinitamente en el punto x 0, tiene una representación de suma infinita de términos alrededor de dicho punto, del siguiente tipo: ( ) φ (n) (x 0 ) φ(x) = (x x 0 ) n n! n=0 Donde φ (n) (x 0 ) es la n-ésima derivada de la función φ evaluada en x 0 ; n! es el factorial de n y se define φ (0) = φ, 0! = 1 y (x x 0 ) 0 = 1. 10/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

11 Velocidad de convergencia Corolario 1 Una función φ(x) no lineal, diferenciable en x 0, se puede aproximar linealmente, alrededor de dicho punto, mediante la siguiente fórmula: φ(x) φ(0) (x 0 ) 0! + φ(1) (x 0 ) (x x 0 ) 1! 11/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

12 Velocidad de convergencia Linealizamos la ecuación fundamental de Solow alrededor del nivel de Estado Estacionario ˆk. [ ˆk ˆk sf (ˆk ) ˆk ˆk sf (ˆk) = ˆk ] (δ + g + n) ˆk }{{} 0 en EE (δ + g + n) (7) + [ ] sf (ˆk ) sf (ˆk ) ˆk ˆk ˆk (ˆk ˆk ) [ ] (8) ˆk ˆk s f (ˆk ) f (ˆk ) (ˆk ˆk ) (9) ˆk ˆk 12/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

13 Velocidad de convergencia En Estado Estacionario, la tasa de ahorro es la siguiente: s = (δ + g + n) ˆk f (ˆk ) Reemplazando la ecuación 10 en 9, llegando a: ˆk (δ + g + n) ˆk 1 ˆk f (ˆk ( ) ) ˆk f (ˆk ) log ˆk }{{} α(ˆk ) (10) (11) Velocidad de convergencia (igual para ŷ ŷ ): β = (1 αˆk ) (δ + g + n) (12) 13/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

14 Convergencia ˆk ˆk ˆk 1 ˆk2 ˆk ˆk ( ) ˆk ˆk sf (ˆk(t)) ˆk(t) (δ + n + g) = s[f (ˆk) f (ˆk)/ˆk] < 0 (13) ˆk ˆk 14/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

15 Convergencia Países más pobres tienden a crecer más rápidamente que los ricos? El modelo de Solow predice que los países convergen hacia un estado estacionario, k. Tasa de rendimiento del capital es menor en países con mayor capital por trabajador, por lo que habría un incentivo para trasladarse de un país rico a uno pobre. Si la difusión de conocimientos tecnológicos es desigual, las diferencias internacionales de la renta se deben a que no se está explotando las mejoras técnicas disponibles. 15/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

16 Convergencia Recordando la ecuación a la Barro de la primera clase: g i,t,t 1 = α + β log y i,t 1 + X i,t β + ε i,t (14) 16/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

17 Convergencia [ (Y ) ln L i,1979 ] [ (Y ) ln L i,1870 ] [ (Y ) = α + β ln L i,1870 ] + ɛ i [ (15) (Y ) ] [ (Y ) ] [ (Y ) ] ln ln = α + β ln + ɛ i L i,2010 L i,1870 L i,1870 (16) Si existe convergencia incondicional entonces β sería negativo. Si β 1 entonces convergencia sería perfecta. Si β 0, entonces crecimiento económico no está correlacionado con el valor de la renta inicial y no existiría convergencia incondicional. 17/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

18 Convergencia Figura 1: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, Baumol Sample 18/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

19 Convergencia Dos grandes problemas: Selección de muestra. Error de medición. 19/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

20 Convergencia Figura 2: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, DeLong Sample 20/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

21 Convergencia Figura 3: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, All Madison Sample 21/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

22 Convergencia ˆk ˆk ˆk ˆk 1 ˆk 2 s = (δ + g + n) ˆk f (ˆk ) (17) ˆ [ ] k f (ˆk)/ˆk = (δ + g + n) ˆk f (ˆk )/ˆk 1 (18) 22/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

23 Convergencia Figura 4: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, Baumol Sample + Latam 23/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

24 Índice 1 La contabilidad del crecimiento 2 Convergencia 3 Extensiones: Trampa de pobreza 4 Extensiones: Capital Humano 4.1 Modelo Modelo Contabilidad del crecimiento con capital humano 24/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

25 Trampa de pobreza Definición: Estado Estacionario estable con niveles bajos de capital y producto per cápita. Por qué es una trampa? Si aumento el capital, la misma dinámica del modelo me lleva hacia el valor de Estado Estacionario bajo. 25/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

26 Trampa de pobreza Un país tiene acceso a una función de producción tradicional y a otra moderna. Y A = AK α L 1 α (19) Y B = BK α L 1 α (20) Donde B > A. Para explotar la mejor tecnología, el país paga un costo de instalación, en cada momento del tiempo, que es proporcional a la población y está dado por bl, donde b > 0. No hay progreso tecnológico. 26/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

27 Trampa de pobreza En términos per cápita y A = Ak α (21) y B = Bk α b (22) Donde B > A. Si el gobierno decide gastar en obtener la mejor tecnología, entonces todos los productores usan la función de producción moderna. Si no, todos usan la función de producción tradicional. 27/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

28 Trampa de pobreza f (ˆk) B A k ˆk F = bl 28/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

29 Trampa de pobreza Valor crítico ( k): [ k = b (B A) ] 1 α (23) El gobierno paga el costo de instalación si k k y no lo hace si k < k. 29/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

30 Trampa de pobreza Utilizando la ecuación fundamental de Solow (en términos per cápita): k k = s f (k) (δ + n) (24) k Donde f (k) = Ak α si k < k y f (k) = Bk α b si k k 30/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

31 Trampa de pobreza n + δ s f (k) k k low k middle k high (stable) (unstable) (stable) k 31/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

32 Índice 1 La contabilidad del crecimiento 2 Convergencia 3 Extensiones: Trampa de pobreza 4 Extensiones: Capital Humano 4.1 Modelo Modelo Contabilidad del crecimiento con capital humano 32/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

33 Capital Humano Se plantea una función de producción del siguiente tipo: Donde H es el stock de capital humano. Y = F(K, H, AL) (25) 33/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

34 Capital Humano Supuesto 1 La función de producción F : R 3 + R + es dos veces diferenciable en K, en H y en L, y satisface: F K (K,H,AL)>0 F H (K,H,AL)>0 F L (K,H,AL)>0 F KK (K,H,AL)<0 F HH (K,H,AL)<0 F LL (K,H,AL)<0 Además, F exhibe retornos constantes a escala en sus tres argumentos. 34/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

35 Capital Humano Supuesto 2 F satisface las condiciones de Inada: lim K 0 F K = y lim K F K = 0 H > 0 y AL > 0 lim H 0 F H = y lim H F H = 0 K > 0 y AL > 0 lim L 0 F L = y lim L F L = 0 K, H, A > 0 35/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

36 Capital Humano: Modelo 1 Utilizaremos una función de producción Cobb-Douglas para hacer más directo el cálculo. Sea la función: Y = K α H η (AL) 1 α η (26) Donde H es el capital humano y K el capital físico. Además, en esta economía existe progreso tecnológico, a una tasa g, y crecimiento poblacional, a una tasa n. 36/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

37 Capital Humano: Modelo 1 En términos per cápita eficientes: ŷ = ˆk α ĥ η (27) Capital humano y físico son sustitutos perfectos. Luego, la ecuación fundamental de Solow es: ˆk + ĥ = sˆk α ĥ η (δ + g + n)(ˆk + ĥ) (28) Cómo asignar eficiente los recursos entre capital humano y físico? 37/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

38 Capital Humano: Modelo 1 Igualdad de productividades marginales: fˆk = fĥ Entonces: αˆk α 1 ĥ η = ηˆk α ĥ η 1 ĥ = η α ˆk (29) En términos de derivada respecto al tiempo: ĥ = η ˆk (30) α 38/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

39 Capital Humano: Modelo 1 Usando lo obtenido en 29 y 30, y reemplazando en la ecuación 28: ˆk = sāˆk α+η (δ + g + n)ˆk (31) Donde Ā = ηη α 1 η α+η, es una constante. 39/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

40 Capital Humano: Modelo 1 Estado Estacionario: ( ˆk = ĥ = η α Velocidad de convergencia: sā δ + g + n ( sā δ + g + n ) 1 1 α η ) 1 1 α η (32) (33) β = (1 α η) (δ + g + n) (34) (Ver Ejercicios). 40/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

41 Capital Humano: Modelo 2 Ahora suponemos que la tasa de ahorro en capital físico y humano es distinto (s k, s h ) y las tasas de depreciación también (δ k, δ h ). En ese sentido, la forma de acumulación de ambos capitales se representa por ecuaciones distintas. Manteniendo la misma función de producción que en la ecuación 26 se tiene: ˆk = s k ˆk α ĥ η (δ k + g + n)ˆk (35) ĥ = s hˆk α ĥ η (δ h + g + n)ĥ (36) 41/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

42 Capital Humano: Modelo 2 En Estado Estacionario se tiene que ˆk = 0 y ĥ = 0. En la ecuación 35, cuando ˆk = 0 se tiene: s k ˆk α ĥ η = (δ k + g + n)ˆk (37) En la ecuación 36, cuando ĥ = 0 se tiene: s hˆk α ĥ η = (δ h + g + n)ĥ (38) 42/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

43 Capital Humano: Modelo 2 Convertimos las ecuaciones 37 y 38 en una función ĥ = f (ˆk), respectivamente: Cuando ˆk = 0: ( ) 1 δk + g + n η ĥ = ˆk 1 α η (39) s k Cuando ĥ = 0: ( ĥ = s h δ h + g + n ) 1 1 η ˆk α 1 η (40) 43/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

44 Capital Humano: Modelo 2 En Estado Estacionario, las ecuaciones 39 y 40 son iguales, tal que ĥ = ĥ, ˆk = ˆk, además de ŷ = ŷ = k ˆ α ĥ η : ( ˆk = ( ĥ = ( ŷ = s k δ k + g + n s k δ k + g + n s k δ k + g + n ) ( ) 1 η ( ) ( ) η 1 α η s 1 α η h δ h + g + n ) ( ) α ( 1 α η s h δ h + g + n ) ( 1 α ) 1 α η ) ( ) α ( ) ( η 1 α η s 1 α η h δ h + g + n ) (41) (42) (43) 44/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

45 Capital Humano: Modelo 2 Note que en las ecuaciones 39 y 40 se tiene: Velocidad de convergencia: ĥ ˆk > ĥ ˆk=0 ˆk ĥ=0 (44) δ k = δ h = δ. (Ver Ejercicios) β = (1 α η) (δ + g + n) (45) 45/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

46 Capital Humano: Modelo 2 ĥ ˆk = 0 ĥ ĥ = 0 ˆk ˆk 46/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

47 Contabilidad del crecimiento con capital humano Sea Y (t) = F(K (t), H(t), A(t)L(t)), entonces: Y (t) Y (t) Y (t) Y (t) Ẏ (t) = K (t) + Ḣ(t) + A(t) L(t) + L(t) Ȧ(t) (46) K (t) H(t) L(t) A(t) Ẏ (t) Y (t) = K (t) Y (t) K (t) Y (t) K (t) K (t) + H(t) Y (t) Ḣ(t) Y (t) H(t) H(t) + A(t)L(t) Y (t) }{{}}{{} α K (t) α H (t) Y (t) L(t) } {{ } α L (t) L(t) L(t) + A(t)L(t) Y (t) Y (t) A(t) Ȧ(t) A(t) } {{ } R(t) (47) Ẏ (t) Y (t) = α K (t) K (t) K (t) + αh(t)ḣ(t) H(t) + α L(t) L(t) + R(t) (48) L(t) 47/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

48 Contabilidad del crecimiento con capital humano Teniendo en cuenta que α K (t) + α H (t) + α L (t) = 1, la ecuación 48 se transforma a lo siguiente: Ẏ (t) Y (t) L(t) [ K (t) L(t) = α K (t) K (t) L(t) ] [Ḣ(t) +α H (t) L(t) H(t) L(t) ] +R(t) L(t) (49) Que puede ser modificado de tal forma que: R(t) = Ẏ (t) Y (t) L(t) [ K (t) L(t) α K (t) K (t) L(t) ] L(t) α H (t) [Ḣ(t) H(t) L(t) ] L(t) (50) 48/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

49 Contabilidad del crecimiento con capital humano Fuente: De Gregorio. 49/49 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II