Teoría Macroeconómica II

Transcripción

1 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II Introducción a modelos RBC Carlos Rojas Quiroz Octubre del 2017

2 Índice 1 El ciclo económico: Qué es y cómo se mide? 1.1 Medición del ciclo económico 1.2 Hechos estilizados de ciclos económicos 1.3 Cómo estudiar los ciclos económicos? 2 Modelo RBC Simple 2.1 Introducción a modelos RBC 2.2 Modelo RBC Básico 2.3 Solución analítica 2.4 Sustitución intertemporal del trabajo 2/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

3 El ciclo económico Fluctuaciones agregadas de corto plazo. Burns y Mitchell (1946): Consta de expansiones que se producen más o menos al mismo tiempo en muchas actividades económicas, seguida de recesiones, contracciones y recuperaciones, también generales, que culminan en la fase de expansión del ciclo siguiente. Esta secuencia de cambios es recurrente, pero no periódica. Duran desde más de un año hasta diez o doce años, no pueden dividirse en ciclos más breves de carácter similar y de magnitud parecida. Lucas (1977): desviación del Producto Bruto Interno respecto a su tendencia o producto potencial. 3/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

4 El ciclo económico Figura 1: Ciclo Económico Artificial 4/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

5 El ciclo económico Slutzky (1937) Ciclos económicos pueden ser generados por una suma de choques aleatorios. e t = y t = 0,95y t 1 + e t { 0,5 con 50 % de probabilidad 0,5 con 50 % de probabilidad t 5/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

6 El ciclo económico Lucas (1977) Ciclos económicos no son secuencias inevitables sobre la actividad económica (como lo ve Mitchell), tampoco es necesario distinguir sus distintas fases. Lo importante son los co-movimientos en el tiempo de los componentes cíclicos de los agregados económicos (consumo, inversión, empleo, etc.) 6/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

7 Medición del ciclo económico Suponemos que una serie macroeconómica de frecuencia trimestral está compuesta de: Aplicando logaritmos: Y t = Y G t Yt C Yt E Yt I y t = y g t + y c t + y e t + y i t Cómo aislar componentes determinísticos (y g t hay una sóla forma correcta de hacerlo. yt e )? No 7/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

8 Filtro de Hodrick y Prescott El componente tendencial se obtiene resolviendo lo siguiente (donde ỹ t = y t y e t ): m«ın y g t T T (ỹ t y g 1 t )2 + λ [(y g t+1 y g t ) (y g t y g t 1 )]2 t=1 t=1 Tenemos dos objetivos: Que la tendencia se acerque lo más posible a los datos, pero... Que la tasa de crecimiento tendencial sea lo más suave posible. λ: parámetro arbitrario, elegido por el investigador. Luego, y c t = ỹ t y g t. 8/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

9 Filtro de Hodrick y Prescott Figura 2: Ciclo económico - Perú Datos trimestrales con λ = Si λ 0 entonces y t = y g t. Si λ entonces tasa de crecimiento tendencial constante. Tiene problemas: (i) colas, (ii) valor correcto de λ y (iii) no recoge cambios estructurales. 9/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

10 Medición del ciclo económico Figura 3: Ciclo económico peruano, diversos filtros estadísticos 10/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

11 Hechos estilizados de ciclos económicos Qué co-movimientos observar? Volatilidad: Desviación estándar absoluta o relativa al producto (para analizar si la variable fluctúa más o menos con el PBI). Correlación contemporánea: Principalmente con el PBI. Indica si la variable es procíclica, contracíclica o acíclica. Correlación con adelantos y retardos PBI en t con variables en t + i o t i. Mide si variable se anticipa o retrasa al ciclo económico. Autocorrelación Mide la persistencia de la variable de interés. 11/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

12 Hechos estilizados de ciclos económicos Aguiar y Gopinath (2007) Castillo et al. (2006) Emergentes Desarrollados Perú σ y σ y ρ y ρ y σ c /σ y σ i /σ y σ bc/y ρ bc,y ρ c,y ρ i,y /41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

13 Hechos estilizados de ciclos económicos Figura 4: Correlaciones dinámicas, Perú y Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006) 13/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

14 Hechos estilizados de ciclos económicos Figura 5: Correlaciones dinámicas, Perú y Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006) 14/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

15 Hechos estilizados de ciclos económicos Figura 6: Crecimiento del PBI e Índice de Precios de Exportación Fuente: BCRP. Elaboración propia. 15/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

16 Cómo estudiar los ciclos económicos? Modelos macroeconómicos modernos, de RBC a Neokeynesianos de mediana escala. Dinámicos, choques estocásticos, agentes optimizadores, equilibrio general. Se obtienen conclusiones más cuantitativas. El número importa. Funciones impulso-respuesta y descomposición de varianza. Evaluación de políticas (contrafactuales). Descomposición histórica de choques. Predicción (tienen una representación VAR). Fricciones: nominales: precios y salarios reales: hábitos en el consumo, costo de ajuste del capital y la inversión. financieras: acelerador financiero y riesgo moral. 16/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

17 Índice 1 El ciclo económico: Qué es y cómo se mide? 1.1 Medición del ciclo económico 1.2 Hechos estilizados de ciclos económicos 1.3 Cómo estudiar los ciclos económicos? 2 Modelo RBC Simple 2.1 Introducción a modelos RBC 2.2 Modelo RBC Básico 2.3 Solución analítica 2.4 Sustitución intertemporal del trabajo 17/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

18 Introducción a modelos RBC Idea principal: las fluctuaciones económicas son causadas por choques de productividad. Primeros modelos añadían proceso estocástico a modelo de crecimiento neoclásico (Ramsey en tiempo discreto) y analizaban la dinámica de la economía. Parámetros del modelo son calibrados realistamente y se trata de replicar las características más importantes del ciclo económico con la economía artificial creada. 18/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

19 Introducción a modelos RBC Sólo choques de productividad? No. También de gasto público, de preferencias del consumidor, de costos (precio del petróleo), etc. Estudia choques reales. Un ingrediente principal para que el modelo replique los hechos observados en los ciclos económicos es el mecanismo de propagación: canal a través del cual el choque se difunde y amplifica. Es difícil obtener soluciones analíticas cerradas en modelos de equilibrio general. De ahí la importancia de los métodos computacionales que permiten una solución numérica. 19/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

20 Modelo RBC Básico Familias Economía poblada por un conjunto de familias idénticas que tienen vida infinita. Deciden su consumo de bienes (C t ) y ocio O t (u oferta de trabajo L t = 1 O t ) para maximizar el valor esperado de su utilidad intertemporal: U C > 0, U CC < 0. m«ax V t = E t {C t,l t,a t+1 } t=0 t=0 β t U(C t, 1 L t ) Familias reciben un salario W t por su trabajo y una tasa de retorno R t por sus ahorros A t a principios del período t. Además, pagan impuestos de suma alzada T t. La restricción presupuestaria es: (1 + r t )A t + W t L t = C t + A t+1 + T t (1) 20/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

21 Modelo RBC Básico Familias El lagrangiano en valor presente es: l t = E t t=0 β t [U(C t, 1 L t )+λ t (C t +A t+1 +T t (1+r t )A t W t L t )] En tanto, las CPO s son: U C (C t, 1 L t ) = λ t (2) Dividiendo 2 entre 3: U L (C t, 1 L t ) = λ t W t (3) β t λ t = β t+1 λ t+1 (1 + r t+1 ) (4) U C (C t, 1 L t ) = U L(C t, 1 L t ) W t (5) Que es la condición intratemporal. 21/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

22 Modelo RBC Básico Familias Incorporando la ecuación 2 en la 4 se llega a: U C (C t, 1 L t ) = βe t {U C (C t+1, 1 L t+1 )(1 + r t+1 )} (6) Que es la condición intertemporal. INTUICIÓN: Cuáles son los efectos de postergar consumo de un período a otro? Margen de decisión del consumidor. Si sacrifico una unidad de consumo hoy, reduzco mi utilidad en U C (C t, 1 L t ). Esa unidad de consumo sacrificada genera 1 + r t+1 unidades en el siguiente período. Esas unidades del siguiente período producen una utilidad marginal de U C (C t+1, 1 L t+1 ), descontada por el factor de descuento β. 22/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

23 Modelo RBC Básico Familias Si desarrollamos el operador de expectativas de la ecuación 6: U C (C t, 1 L t ) = β[e t (U C (C t+1, 1 L t+1 ))E t (1 + r t+1 ) Cov(U C (C t+1, 1 L t+1 ), (1 + r t+1 ))] (7) Si covarianza es negativa, la rentabilidad de ahorrar hoy (para consumir mañana) es menos atractiva, por tanto consumo actual tiende a aumentar. 23/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

24 Modelo RBC Básico Empresas Producen bienes alquilando capital y trabajo en un contexto de competencia perfecta. Su función de producción es: Y t = Z t F(K t, L t ) Z t es la PTF, K t es el stock de capital y L t el trabajo. El problema de la empresa es el siguiente: m«ax Π t = Z t F(K t, L t ) (r t + δ)k t W t L t {K t,l t } t=0 Donde δ es la tasa de depreciación. Las CPO s son: W t = Z t F L (K t, L t ) (8) r t = Z t F K (K t, L t ) δ (9) 24/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

25 Modelo RBC Básico Equilibrio general Equilibrio general: Hogares maximizan su utilidad. Empresas maximizan beneficios. Todos los mercados están en equilibrio. En nuestro modelo, el equilibrio general se da cuando se cumplen las ecuaciones 5, 6, 8 y 9, además de asegurarnos que todos los mercados estén en equilibrio. 25/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

26 Modelo RBC Básico Equilibrio general El único activo del modelo es el capital, luego K t = A t. Reemplazando las ecuaciones 8 y 9 en la restricción presupuestaria (ecuación 1) se tiene: (1 + Z t F K (K t, L t ) δ)k t + Z t F L (K t, L t )L t = C t + K t+1 + T t Z t F K (K t, L t )K t + Z t F L (K t, L t )L t = C t + K t+1 (1 δ)k t + T t Teorema de Euler Si F = f (x 1, x 2 ) es linealmente homogénea, entonces: x 1 f x 1 + x 2 f x 2 F Función homogénea de grado r: f (jx 1, jx 2 ) = j r f (x 1, x 2 ). Si r = 1 la función es linealmente homogénea. 26/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

27 Modelo RBC Básico Equilibrio general Tomando en cuenta Teorema de Euler, se tiene: Y t = C t + K t+1 (1 δ)k t + T t Además, la inversión es: I t = K t+1 (1 δ)k t. Por tanto: Y t = C t + I t + T t Política fiscal está en equilibrio G t = T t : Igualdad entre oferta de bienes y el gasto: Y t = C t + I t + G t (10) Z t F (K t, L t ) = C t + K t+1 (1 δ)k t + G t (11) Equilibrio de mercados de bienes y capital. Mercado de trabajo está en equilibrio por la ley de Walras. El modelo no tiene solución analítica! 27/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

28 Intentando una solución analítica El modelo combina ingredientes lineales (depreciación o reparto de la producción en consumo, inversión y gasto público) y no lineales (función de producción y preferencias). Si queremos obtener una solución analítica del modelo, debemos considerar algunos supuestos simplificadores: Depreciación completa, o δ = 1. No hay gasto fiscal, o G t = 0. Función de Utilidad instantánea logarítmica: U t = θlog(c t ) + (1 θ)log(1 L t ) Función de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala: Y t = Z t L α t K 1 α t 28/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

29 Intentando una solución analítica Tomando en cuenta la forma funcional de la Utilidad del consumidor, obtenemos ecuaciones 5 y 6: θ = 1 θ 1 C t 1 L t W t (12) { } rt+1 = βe t C t (13) C t+1 Considerando la forma funcional de la función de producción se obtienen las ecuaciones 8 y 9: W t = α Y t L t = αz t ( Kt L t ) 1 α (14) 1 + r t = (1 α) Y ( ) α t Lt = (1 α)z t (15) K t K t 29/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

30 Intentando una solución analítica Condición de equilibrio de mercado, ecuación 11, es: Z t L α t K 1 α t = C t + K t+1 (16) Podemos simplificar más el modelo. Incorporando la ecuación 14 en 12: ( ) 1 θ α 1 α Kt = Z t (17) 1 L t C t L t Luego, incorporando la ecuación 15 en 13: { 1 (1 α)zt+1 = βe t C t C t+1 ( Lt+1 K t+1 ) α } (18) 30/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

31 Intentando una solución analítica Dado supuesto de utilidad logarítmica, efecto sustitución e ingreso del trabajo ante un cambio en el salario real W t son de igual magnitud pero diferente signo, por lo que se cancelan 1. Luego, se puede asumir que L t = L. ES ( L t ): ante un choque de productividad, se incrementan los salarios actuales respecto a los del futuro. Aumenta la oferta laboral. Este efecto depende de la elasticidad salario de la oferta de trabajo. EI ( L t ): ante un choque de productividad, aumenta el ahorro de los hogares, y por tanto su riqueza. Luego, hay menos incentivos a trabajar (o mayores incentivos al ocio). Este efecto depende de la persistencia del choque. 1 Véase sección 4.5 del libro de Macroeconomía Avanzada de Romer para 31/41un mayor FIEECS, detalle. UNI Teoría Macroeconómica II

32 Intentando una solución analítica Utilizamos la ecuación 16 y suponemos que la distribución del ingreso entre consumo e inversión es constante: C t = γ 0 Z t L α K 1 α t K t+1 = γ 1 Z t L α K 1 α t Donde γ 0 + γ 1 = 1. Reemplazando en la ecuación 18: { ( ) } 1 Z t+1 L α γ 0 Z t L α K 1 α = β(1 α)e t t γ 0 Z t+1 L α K 1 α K t+1 t+1 1 γ 0 Z t L α K 1 α t = β(1 α) 1 γ 0 γ 1 Z t L α K (1 α) t 32/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

33 Intentando una solución analítica Operando se llega a: γ 1 = β(1 α) (19) γ 0 = 1 β(1 α) (20) Reemplazando lo obtenido hasta el momento en la ecuación 17, se llega a: L = αθ αθ + (1 θ)(1 β(1 α)) (21) L es constante! Asumirlo fue un buen supuesto. Observe: L < 1. Además: C t = (1 β(1 α))z t L α K 1 α t (22) K t+1 = β(1 α)z t L α K 1 α t (23) 33/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

34 Intentando una solución analítica Encontramos la solución del modelo para L, C t y K t+1. Cómo evolucionan en el tiempo ante un choque de productividad? Suponemos proceso autoregresivo para Z t en logaritmos: lnz t = ρ Z lnz t 1 + ɛ t (24) Donde ɛ t N(0, σ 2 ). Además ρ Z < 1. Aplicando logaritmos a la ecuación 23 lnk t+1 = ln(φ 0 ) + (1 α)lnk t + lnz t (25) Donde φ 0 = γ 1 L α. Reemplazando la ecuación 24: lnk t+1 = ln(φ 0 ) + (1 α)lnk t + ρ Z lnz t 1 + ɛ t (26) 34/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

35 Intentando una solución analítica De la ecuación 25 se sabe que: lnz t = lnk t+1 ln(φ 0 ) (1 α)lnk t lnz t 1 = lnk t ln(φ 0 ) (1 α)lnk t 1 Que se introduce en la ecuación 26: lnk t+1 = (1 ρ Z )ln(φ 0 ) + (1 α + ρ Z )lnk t ρ Z (1 α)lnk t 1 + ɛ t (27) Z t sigue un proceso AR(1), mientras K t+1 e Y t siguen un proceso AR(2). 35/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

36 Intentando una solución analítica Puede realizarse lo mismo para obtener el proceso del Consumo. Aplicando logaritmos a la ecuación 22: lnc t = ln(φ 1 ) + (1 α)lnk t + lnz t (28) Donde φ 1 = γ 0 L α. Haciendo uso del operador de rezagos, L, en la ecuación 26: Reemplazando en 28: [1 (1 α)l]lnk t = lnφ 0 + lnz t 1 (29) lnc t = ln(φ 1 ) + (1 α) lnφ 0 + lnz t 1 [1 (1 α)l] + lnz t (30) 36/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

37 Intentando una solución analítica ɛ Teniendo en cuenta que lnz t = t (1 ρ Z L) y multiplicando ambos lados de la ecuación 30 por (1 ρ Z L)(1 (1 α)l), se llega a: lnc t = (1 ρ Z )αlnφ 1 + (1 ρ Z )(1 α)lnφ (1 α + ρ Z )lnc t 1 ρ Z (1 α)lnc t 2 + ɛ t (31) Consumo también tiene proceso AR(2), con los mismos coeficientes para los rezagos, pero con distinta constante. 37/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

38 Intentando una solución analítica Figura 7: Funciones Impulso Respuesta, choque de productividad 38/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

39 Sustitución intertemporal del trabajo El modelo simplificado no es realista: no hay fluctuaciones del empleo. A qué se deben estas fluctuaciones? A la sustitución intertemporal del trabajo (SIT). Incentivos a trabajar cambian a través del tiempo. Puede ser óptimo traspasar ocio entre períodos. 39/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

40 Sustitución intertemporal del trabajo Si hogar optimiza sólo el primer período: Sujeto a: m«ax U t = θlog(c t ) + (1 θ)log(1 L t ) La condición intratemporal es: C t = W t L t 1 θ 1 L t = θ W t C t Reemplazando la restricción presupuestaria: L t = θ Efectos sustitución e ingreso se cancelan. 40/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

41 Sustitución intertemporal del trabajo Si hogar optimiza en dos períodos, t y t + 1: Sujeto a: m«ax U t = θlog(c t ) + (1 θ)log(1 L t ) β[θlog(c t+1 ) + (1 θ)log(1 L t+1 )] W t L t + W t+1l t r t+1 = C t + C t r t+1 Luego, considerando las CPO s para L t y L t+1, se tiene: 1 L t 1 L t+1 = W t+1 W t 1 β(1 + r t+1 ) (32) 41/41 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II