Escuela de Verano de Macroeconomía

Transcripción

1 Escuela de Verano de Macroeconomía José L. Torres Universidad de Málaga junio 2010 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

2 Programa del curso 1 Introducción a la Macroeconomía Dinámica y Computacional. El lenguaje MatLab 2 El modelo básico de equilibrio general dinámico. 3 Equilibrio general computable: El algoritmo de Newton-Raphson. 4 El pre-procesador Dynare para MatLab. 5 Cuanti cación de los efectos del IVA en España. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

3 3.1. Equilibrio general computable Modelos macroeconómicos actuales: Modelos de equilibrio general computables. Sólo bajo supuesos muy restrictivos tienen soluciones explícitas. Tienen que ser resueltos en un ordenador. Dos métodos para calcular los parámetros: Econometría (Máxima-verosimilitud y Bayesiana). Calibración. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

4 3.1. Equilibrio general computable Los modelos EGDE tienen parámetros constantes y perturbacioens de media cero. Cambios esperados da lugar a respuestas anticipadoras por parte de los agentes. Los cambios estructurales se representan como una variable exógena determinista. Cambios no anticipados simplemente alteran el comportamiento de las variables pero no entran en las expectativas. Cambios anticipados forman parte del conjunto de información en función del cual se toman las decisiones. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

5 3.1. Equilibrio general computable El procedimiento para resolver estos modelos contiene los siguientes pasos: Calcular las condiciones de primer orden, que junto con las condiciones de factibilidad nos van a caracterizar el equilibrio (este paso hay que resolverlo con papel y lápiz, por ahora). Calibrar los parámetros y calcular el Estado Estacionario. Log-linearizar las ecuaciones que caracterizan el equilibrio, con el objeto de hacer estas ecuaciones aproximadamente lineales en términos de su log-desviación respecto al Estado Estacionario. Resolver buscando los ceros. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

6 3.1. Equilibrio general computable Diferentes procedimientos para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones no lineales: Algoritmo de Newton-Raphson. Programación dinámica: Método de la iteración de la función de valor. Aproximación lineal-cuadrática en torno al estado estacionario. Método de la perturbación. Método de la proyección. Método de las aproximaciones sucesivas. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

7 3.1. Equilibrio general computable Neesidad de utilizar algún tipo de lenguaje de programación: Gauss Fortran Matlab Octave José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

8 3.2. Equilibrio general computable en MatLab Ejercicio 1: Cálculo del estado estacionario en MatLab: Ficheros EE1.m, EE2.m, EE.m Uso de la función "fsolve". José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

9 3.2. Equilibrio general computable en MatLab El modelo básico sin ocio con función de utilidad logarítmica viene determinado por las siguientes dos ecuaciones: C t = β αk α 1 t + 1 δ C t 1 K t+1 = (1 δ)k t + K α t C t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

10 3.2. Equilibrio general computable en MatLab Otra opción es convertirlo en una única ecuación despando el consumo de la ecuación dinámica del capital y sustituyendo en la ecuación dinámica del consumo. Tendríamos: C t = K t+1 (1 δ)k t K α t y sustituyendo: C t 1 = K t (1 δ)k t 1 K α t 1 K t+1 (1 δ)k t K α t = β αk α 1 t + 1 δ (K t (1 δ)k t 1 K α t 1) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

11 3.2 Equilibrio general computable en MatLab Ejercicio 2: Modelo básico en MatLab: Ficheros model1.m, model1cpo.m Cálculo de una única ecuación dinámica de segundo grado para el capital. Función de utilidad logarítmica sin empleo. Uso de la función "fsolve". José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

12 3.2. Equilibrio general computable en MatLab Ejercicio 3: Modelo básico en MatLab: Ficheros model2.m, model2cpo.m Cálculo de dos ecuaciones dinámicas de primer grado para el capital y el consumo. Función de utilidad logarítmica sin empleo. Uso de la función "fsolve". José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

13 3.2. Equilibrio general computable en MatLab Podemos computar el modelo completo, incluyendo las condiciones dinámicas de primer grado para el capital y el consumo y la condición estática para la oferta de trabajo. Función de utilidad con empleo. La condición estática para el empleo sería: 1 γ γ C t = (1 α)kt α Lt α N t H L t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

14 3.2. Equilibrio general computable en MatLab Ejercicio 4: Modelo básico en MatLab: Ficheros model3.m, model3cpo.m Cálculo de dos ecuaciones dinámicas de primer grado para el capital y el consumo y una ecuación estática para el empleo. Función de utilidad con empleo. Uso de la función "fsolve". José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

15 Al resolver el modelo otenemos un sistema de ecuaciones compuesto por las condiciones de primer orden y por las restricciones de factibilidad. Tendremos n ecuaciones con n incógnitas: F : R n! R n. El problema consiste en encontrar un vector ˆx = (ˆx 1,..., ˆx n ) de R n tal que su imagen por F : R n! R n sea F (ˆx) = 0. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

16 Necesitamos una solución inicial, x 0. A esto se le llama la "semilla". Se debe usar la información que tengamos sobre F. Debemos establecer un criterio de tolerancia. Valor mínimo de margen de error que consideramos aceptable. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

17 El objetivo que se persigue es encontrar una solución, x, tal que F (x) sea igual a cero. Para ello partimos de desarrollar la serie de Taylor de la función para un determinado valor inicial x n : F (x) = F (x n ) + F 0 (x n )(x x n ) + F 00 (x n ) (x x n ) ! El procedimiento es iterativo y consiste en ir calculando la anterior expresión para las distintas aproximaciones resultantes. Esta expresión la evaluaríamos para diferentes valores tal que: F (x n+1 ) = F (x n ) + F 0 (x n )(x n+1 x n ) + F 00 (x n ) (x n+1 x n ) ! José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

18 La solución vendría dada por el valor que hace que la expansión de Taylor sea igual a cero: F (x n ) + F 0 (x n )(x n+1 x n ) + F 00 (x n ) (x n+1 x n ) = 0 2! José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

19 Si truncamos la expansión de Taylor a partir del término de grado 2, obtenemos que: F (x n ) + F 0 (x n )(x n+1 x n ) ' 0 La aproximación anterior es más exacta cuanto más cerca estemos de la solución. Despejando la solución obtenida resulta: x n+1 = x n F (x n ) F 0 (x n ) que es a lo que se denomina la fórmula de Newton-Raphson. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

20 El algoritmo sería el siguiente. Comenzamos por un valor incicial de x 0. La solución que obtendríamos de aplicar el algoritmo de Newton-Rapshon sería. x 1 = x 0 F (x 0 ) F 0 (x 0 ) Si F (x 1 ) es cero el proceso naliza. Si F (x 1 ) es diferente de cero entonces procedemos a una segunda iteración calculando: x 2 = x 1 F (x 1 ) F 0 (x 1 ) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

21 De nuevo, si F (x 2 ) es diferente de cero entonces procedemos a una tercera iteración calculando: x 3 = x 2 F (x 2 ) F 0 (x 2 ) y así, hasta que encontremos una solución tal que el valor de la función sea cero. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

22 Criterio de tolerancia. Este criterio determina en cuanto se puede desviar la solución del cero absoluto. En cada iteración podemos calcular una aproximación al error relativo absoluto, que lo de nomis como: jε a j = xn+1 x n x n 100 Si jε a j es mayor que un valor jado a priori, ε (la tolerancia), entonces el algoritmo procede a realizar una nueva iteración. En el caso en el que el error relativo absoluto sea inferior al criterio de tolerancia, el algoritmo naliza, dado la última iteración la solución al mismo. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

23 Ejemplo: En el caso en que la ecuación que queramos resolver sea lineal, el algoritmo de Newton-Rapson encuentra la solución de forma directa, ya que el error que comete es cero. Supongamos que queremos encontrar el cero para la siguiente función lineal: F (x) = x 2 Oviamente la solución a la anterior función es x = 2. Imaginemos que no lo sabemos y creemos que su valor debe ser 5, (x 0 = 5). Si aplicamos el algoritmo de Newton-Rapshon entonces tendríamos que: x 1 = 5 3 = 2 Evaluando la función para dicha solución resulta: F (x 0 ) = x = 2 2 = 0 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

24 Ejemplo: Resolver la raiz cuadrada de un número y. Dado que x = p y, también podemos escribirlo como x 2 = y. Esto signi ca que podemos resolver y encontrar los ceros para la siguiente función: F (x) = x 2 y Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que: xi 2 x i+1 = x i y = 2x 2 2x i + y = 1 x i + yxi 2x i 2 i x 2 i José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

25 Por ejemplo suponamos que y = 20. Entonces resulta que x = p 20 = 4, 47. Supongamos que no lo sabemos y hacemos una apuesta inicial de que x 0 = 3. Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que: x0 x 1 = 2 y x 0 = 1 x 0 + yx0 = = 4, 83 2x En la siguiente iteración tenemos: x 2 = 1 x 1 + yx1 = , = 4, 48 4, 83 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

26 Normalmente nos vamos a encontrar con sistemas de ecuaciones. Aproximación de la función a través de la primera expansión de Taylor a la función F : F (x) F (x) + J(x)(x x) donde J(x) es la matriz jacobiana de F evaluada en x: J(x) = donde F ij (x) = F i (x ) x j F 11 (x) F 12 (x)... F 1n (x) F 21 (x) F 22 (x)... F 2n (x) F n1 (x) F n1 (x)... F nn (x) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

27 Teorema de Taylor: Conforme x se acerca al valor x, los términos de orden mayor tienden a cero. Dado que estamos buscanco un cero de la ecuación F (x), la expresión anterior podemos evaluarla en ˆx y escribirla como: ˆx x J(x) 1 F (x) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

28 El algoritmo de Newton-Raphson funciona de la siguiente forma: 1. A partir de la semilla propuesta, x 0, evaluamos la función F (x 0 ) y J 1 (x 0 ), para calcular: x 1 = x 0 J(x 0 ) 1 F (x 0 ) (1) 2. Dado el nivel de tolerancia jado, ε, calculamos la distancia entre x 0 y x 1. Si la distancia es inferior a ε, entonces nos quedamos con x 0 como la solución. En caso contrario, volvemos a repetir el paso 1 pero con el valor x 1, evaluando F (x 1 ) y J 1 (x 1 ), para calcular: x 2 = x 1 J(x 1 ) 1 F (x 1 ) (2) 3. Repetir el paso 2. Si la distancia es inferior al nivel de tolerancia repetir el paso 1, con el valor x 2, evaluando F (x 2 ) y J 1 (x 2 ), para calcular: x 3 = x 2 J(x 2 ) 1 F (x 2 ) (3) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

29 El algoritmo de Newton-Raphson tiene algunos problemas: 1 Si la semilla no es buena puede que no exista convergencia o que obtengamos otra solución, en el caso en que existan soluciones múltiples. 2 Necesidad de disponer de expresiones analíticas de todas las derivadas parciales de F. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

30 Ejemplo: Encontrar los ceros de la siguiente función: F (x) = (x 2)(x + 2) Fácil: directamente x = 2 y x = 2. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

31 % Ejemplo 1 % Este programa resuelve la ecuación F(x)=(x-2)(x+2) clear all % Semilla x(1)=-10; % Tolerancia crit=1e-20; % Número máximo de iteraciones maxit=1000; for i=1:maxit J(i) = 2*x(i); x(i+1) = x(i)-j(i)^(-1)*(x(i)-2)*(x(i)+2); if abs(x(i+1)-x(i))<crit; break; end end if i>=maxit sprintf( Atención: Número máximo de %g iteraciones alcanzado, maxit) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

32 Como podemos comprobar si comenzamos con una semilla negativa la solución es x = 2, pero si ponemos una semilla positiva la solución es x = 2. Por otra parte, construir el Jacobiano era muy fácil. Pero si tenemos una función con un número de variables muy grande, construir el Jacobiano es una tarea complicada. Para resolver este problema podemos computar derivadas numéricas. A esto es lo que se denomina el método de la secante. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

33 Vamos a ver como podemos obtener una aproximación numérica a la matriz Jacobiana J(x). De nimos J(x) = [ J 1 (x) J 2 (x) J n (x) ] siendo J i (x) el vector columna de las n derivadas parciales de la función F con respecto a x i. Sea h un valor muy pequeño. Entonces podemos usar la expansión de Taylor: F (x 1 + h 1, x 2,..., x n ) F (x) + J 1 (x)h 1 F (x 1, x 2 + h 2,..., x n ) F (x) + J 2 (x)h 2... F (x 1, x 2,..., x n + h n ) F (x) + J n (x)h n José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

34 Según la de ción de derivada: J 1 (x) = F (x) F (x 1 + h 1, x 2,..., x n ) lim h 1!o h 1 J 2 (x) = F (x) F (x 1, x 2 + h 2,..., x n ) lim h 1!o h 2... J n (x) = lim h n!o F (x) F (x 1, x 2,..., x n + h n ) h n donde J i (x) es el vector columna con las n derivadas parciales con respecto a x i. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

35 Podemos aproximar en un ordenador derivadas parciales, jando un incremento h lo su cientemente pequeño (por el lado izquierdo) como para escribir: J 1 (x) F (x) F (x 1 h 1, x 2,..., x n ) h 1 J 2 (x) F (x) F (x 1, x 2 h 2,..., x n ) h 2... J n (x) F (x) F (x 1, x 2,..., x n h n ) h n José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

36 También podemos aproximar numéricamente la matriz Jabobiana usando la derivada por el lado derecho: J 1 (x) F (x 1 + h 1, x 2,..., x n ) F (x) h 1 J 2 (x) F (x 1, x 2 + h 2,..., x n ) F (x) h 2... J n (x) F (x 1, x 2,..., x n + h n ) F (x) h n José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

37 De forma más precisa, podemos calcular la derivada tomando x como el punto medio: J 1 (x) F (x 1 + h 1, x 2,..., x n ) F (x 1 h 1, x 2,..., x n ) 2h 1 J 2 (x) F (x 1, x 2 + h 2,..., x n ) F (x 1, x 2 h 2,..., x n ) 2h 2... J n (x) F (x 1, x 2,..., x n + h n ) F (x 1, x 2,..., x n h n ) 2h n José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

38 % Ejemplo 2 % Este programa resuelve la ecuación F(x)=(x-2)(x+2)pero con aproximaciones numéricas clear all % Semilla x(1)=-10; % Tolerancia crit=1e-20; % Incremento h=1e-8; % Número máximo de iteraciones maxit=1000; for i=1:maxit J(i) = 1/2*h*((x(i)+h-2)*(x(i)+h+2)-(x(i)-h-2)*(x(i)-h+2)); x(i+1) = x(i)-j(i)^(-1)*(x(i)-2)*(x(i)+2); if abs(x(i+1)-x(i))<crit; break; end end José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

39 Volvamos a nuestro modelo teórico. En su versión más simple tenemos que resolver: Podemos usar dos métodos: Método del Shooting Método de Gauss-Seidel. Ψ(K t, K t+1, K t+2 ) = 0 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

40 Método del Shooting: Suponemos que la economía alcanza el estado estadionario en un número nito de T periodos, jado arbitrariamente. Suponemos un valor inicial para K 1, que denotamos K1 0 e iniciamos la iteración inicial s = 0. Datos K 0 y K1 s, calculamos K 2 s resolviendo: Ψ(K 0, K s 1, K s 2 ) = 0 Continuamos calculando K s 3, K s 4,..., K s T Ψ(K s 1, K s 2, K s 3 ) = 0 Ψ(K s 2, K s 3, K s 4 ) = 0... Ψ(K s T 2, K s T 1, K s T ) = 0 resolviendo recursivamente: Evaluamos K s T K. Si esta distancia es mayor que el criterio de tolerancia jado repetimos el proceso con s = s + 1, jando un nuevo valor para K 1 (K1 s+1 ). En caso contrario naliza el proceso. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

41 Método de Gauss-Seidel: Suponemos que la economía alcanza el estado estadionario en un número nito de T periodos, jado arbitrariamente. Suponemos una senda inicial para la secuencia K2 0,...K T 0 e iniciamos la iteración inicial s = 0. Datos K 0 y K2 s s+1, calculamos K1 resolviendo: Ψ(K 0, K1 s+1, K2 s ) = 0 Continuamos calculando K2 s+1, K3 s+1,..., KT s+1 resolviendo recursivamente: Ψ(K1 s+1, K2 s+1, K3 s ) = 0 Ψ(K2 s+1, K3 s+1, K4 s ) = 0... Ψ(KT s+1 2, K T s+1 1, K T s ) = 0 Evaluamos KT s K. Si esta distancia es mayor que el criterio de tolerancia jado repetimos el proceso con s = s + 1, jando un nuevo valor para K 1 (K1 s+1 ). En caso contrario naliza el proceso. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

42 El algoritmo de Newton-Raphson o cualquier otro método iterativo simple tiene ciertas limitaciones para su aplicación práctica: 1 El proceso puede ser lento e ine ciente cuando hay muchas variables, ya que habría que realizar una gran cantidad de iteraciones. Este problema cada vez tiene menos importancia por la mayor capacidad y velocidad de los ordenadores. 2 Sólo pueden ser aplicados a modelos determinísticos. Para resolver modelos estocásticos se necesitan otros métodos más complejos. 3 Las funciones objetivo tienen que ser continuas y diferenciales (no se pueden aplicar a decisiones discretas). José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

43 El programa secant.m function x=secant(func, x0, param, crit, maxit) del=diag(max(abs(x0)*1e-4, 1e-8)); n=length(x0); for i=1:maxit f=feval(func,x0,param); for j=1:n J(:,j)=(f-feval(func,x0-del(:,j),param))/del(j,j); end x=x0-inv(j)*f; if norm(x-x0)<crit; break end norm(x-x0); x0=x; end if i>=maxit sprintf( Advertencia máximo número de %g iteraciones José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

44 3.4. Programación dinámica: El método de iteración de la función de valor De nición del equilibrio en términos recursivos. 1 Ecuación de Belman: v(x) = maxff (x, y) + βv(y)g y s.t. y 2 Γ(x) 2 Dada la función de valor, podemos de nir la regla de decisión óptima g : X! X como: lo que da lugar a: g(x) = arg maxff (x, y) + βv(y)g y s.t. y 2 Γ(x) v(x) = F (x, g(x)) + βv(g(x)) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45

45 3.5. El método de la aproximación lineal-cuadrática en torno al estado estacionario Resolución del siguiente problema de optimización dinámica: s.t. x t+1 = Ax t + By t + ε t+1 max E 0 y t β t [xt T Rx t + 2yt T Wx t + yt T Qy t ] t=0 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 45