Primera y segunda formas fundamentales

Transcripción

1 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales 1 Preliminares 11 Sobre R n se considerará su producto escalar usual, con el que es un espacio vectorial euclídeo Si V es un subespacio vectorial de R n, entonces la restricción a V del producto escalar de R n define un producto escalar sobre V, y por tanto V tiene una estructura de espacio euclídeo inducida de modo natural por la de R n Denotemos m = dim V Si {e 1,, e m } es una base de V, entonces se define la matriz del producto escalar en dicha base como A = e i e j Mm R Se cumplen: i la matriz cuadrada A es simétrica, A t = A; ii que la base {e 1,, e m } sea ortogonal significa que la matriz A sea diagonal; iii que la base {e 1,, e m } sea ortonormal es equivalente a que sea A = iv dados vectores v 1, v 2 V, si conocemos sus coordenadas en la base {e 1,, e m }, entonces con la matriz A podemos calcular el producto escalar v 1 v 2 : v 1 = a 1 e a m e m = a 1,, a m, v 2 = b 1 e b m e m = b 1,, b m, ; m m v 1 v 2 = a i e i b j e j = i=1 j=1 = a 1 a m A b 1 b m ; m a i e i e j b j i,j=1 63

2 64 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales v si Ā = ē i ē j es la matriz del producto escalar en una nueva base {ē1,, ē m } de V, entonces la relación que hay entre las matrices A y Ā es Ā = C t A C, donde C = c ij M m R es la matriz de cambio de la base nueva a la antigua, esto es, la columna j-ésima de C son las coordenadas de ē j en la base {e 1,, e m }, ē j = m c ij e i, j = 1,, m i=1 12 En este capítulo trabajaremos en R 3, donde además tenemos definido el producto vectorial Terminaremos esta sección inicial recordando la propiedad conocida como identidad de Lagrange : para cualesquiera vectores e, v, ē, v R 3 se cumple e ē v ē e v ē v = e v v v En particular, dados e 1, e 2 R 3, si consideramos la matriz A = e i e j, entonces se cumple e 1 e 2 = det A 2 Primera forma fundamental 21 Consideremos una parametrización regular ϕ : U R 3 de clase C m m 2 de una superficie S de R 3 Para cada punto P = ϕu 0, v 0 de S, el espacio tangente a S en P es el subespacio vectorial T P S de dimensión 2 de R 3, sobre el que tenemos la estructura euclídea inducida por la de R 3 ; denotemos por g P el producto escalar métrica euclídea sobre T P S De la parametrización ϕ = ϕu, v obtenemos la base { ϕ u u 0, v 0, ϕ v u 0, v 0 } del espacio tangente T P S, y por tanto tenemos la matriz del producto escalar g P en ella: ϕu u 0, v 0 ϕ u u 0, v 0 ϕ u u 0, v 0 ϕ v u 0, v 0 ϕ v u 0, v 0 ϕ u u 0, v 0 ϕ v u 0, v 0 ϕ v u 0, v 0 Es habitual denotar g 11 = ϕ u ϕ u, g 12 = ϕ u ϕ v = ϕ v ϕ u = g 21, g 22 = ϕ v ϕ v, de modo que la anterior matriz se escribe como g11 u 0, v 0 g 12 u 0, v 0 g 12 u 0, v 0 g 22 u 0, v 0 Definición 22 Con la notación del punto 21, se define la primera forma fundamental de la superficie S como la familia de métricas euclídeas g = {g P } P S Es claro que la primera forma

3 2 Primera forma fundamental 65 fundamental de S no varía al hacer cambios de parámetros pues por dichos cambios no varían los espacios tangentes en los puntos de S Podemos decir que g = {g P } P S es una familia de métricas euclídeas sobre S que varía de modo diferencable en el siguiente sentido: haciendo abstracción del punto P de S, la expresión matricial de la primera forma fundamental g en la base {ϕ u, ϕ v } es g11 g 12, g 12 g 22 donde {g ij } i,j son funciones diferenciables de clase C m 1, m 1 1 sobre el abierto U donde varían los parámetros 23 Para medir ángulos entre vectores tangentes a S en un mismo punto, o para medir longitudes de arcos de curvas que yacen sobre S, podemos ver los vectores y las curvas en R 3 y proceder como en los primeros capítulos La primera forma fundamental g permite hacer esos cálculos sin necesidad de salirse de los espacios tangentes a la superficie S: dados vectores tangentes a S en un punto P = ϕu 0, v 0, pongamos e 1, e 2 T P S, estos tendrán sus coordenadas en la base { ϕ u u 0, v 0, ϕ v u 0, v 0 } de T P S, e 1 = α ϕ u u 0, v 0 + β ϕ v u 0, v 0, e 2 = γ ϕ u u 0, v 0 + δ ϕ v u 0, v 0, y por lo tanto e 1 e 2 = α β g 11 u 0, v 0 g 12 u 0, v 0 g 12 u 0, v 0 g 22 u 0, v 0 γ δ Si sobre S tenemos una curva σ = σt, t I, expresada en la forma σt = ϕ ut, vt, entonces el vector tangente a la curva que también es tangente a la superficie es σ = u ϕ u + v ϕ v u, v ; es decir, dado t 0 I, σ t 0 es el vector tangente a S en el punto σt 0 = ϕ ut 0, vt 0 cuyas coordenadas en la base { ϕ u ut0, vt 0, ϕ v ut0, vt 0 } de T σt0 S son u t 0, v t 0 Haciendo abstracción del punto tenemos σ 2 = σ σ = u u v g 11 g 12 g 12 g 22 v = g 11 u g 12 u v + g 22 v 2 ; por lo tanto, la longitud del arco de curva entre t = t 0 y t = t 1 t 0 < t 1 es t1 t 0 σ dt = t1 t 0 g 11 u g 12 u v + g 22 v 2 dt Ejemplo 24 Sea S la esfera de R 3 centrada en el origen, de radio r > 0, a la que se le han quitado los polos, S = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2} {0, 0, r, 0, 0, r}

4 66 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Sabemos que una parametrización regular de S es ϕ : R π 2, π 2 R 3 θ, φ r cos θ cos φ, r sen θ cos φ, r sen φ Veamos cómo es la primera forma fundamental de S según esta parametrización Tenemos ϕ θ = r sen θ cos φ, r cos θ cos φ, 0, ϕ φ = r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ, y por lo tanto luego g 11 = ϕ θ ϕ θ = r 2 cos 2 φ, g 12 = ϕ θ ϕ φ = 0, 1 g 22 = ϕ φ ϕ φ = r 2 ; g = r 2 cos 2 φ 0 0 r 2 Consideremos ahora una loxodroma de S que no es trivial esto es, que no es meridiano ni paralelo; véase el problema IV55 Una tal loxodroma tiene una ecuación de la forma 1 + sen φ θ = a ln + b, π 1 sen φ 2 < φ < π 2, donde a, b R tal que a 0 Nótese que es dθ/dφ = 2a/ cos φ, con cos φ > 0 porque π/2 < φ < π/2; así que si a > 0, entonces θ crece cuando φ crece, y si a < 0, entonces θ decrece cuando φ crece Podemos parametrizar esta loxodroma del modo obvio tomando φ como parámetro: σ : I = π 2, π 2 R 3 t σt = ϕ θt, φt, Como g 11 = r 2 cos 2 t, g 12 = 0, g 22 = r 2, θ = 2a/ cos t y φ = 1 tenemos σ σ = g 11 θ g 12 θ φ + g 22 φ 2 = r a 2 θt = a ln 1+sen t 1 sen t + b, φt = t y por lo tanto σ = r 1 + 4a 2 Ahora, dados valores t 0, t 1 π 2, π 2 con t0 < t 1, la longitud del arco de loxodroma entre σt 0 y σt 1 es t1 t 0 σ dt = r 1 + 4a 2 t1 t 0 dt = r 1 + 4a 2 t 1 t 0 Ya veremos que el aspecto de la loxodroma es el siguiente supuesto a > 0: parte desde el polo sur habiendo dado una infinidad de vueltas desenrollándose como una espiral, sube cortando los meridianos bajo ángulo constante, y se enrolla dando una infinidad de vueltas como una espiral alrededor del polo norte A la vista de lo dicho puede parecer que la loxodroma entera tiene longitud infinita, pero no es así: dicha longitud es t1 t 0 π 2, t 1 π 2 t 0 lím σ dt = π r 1 + 4a 2 1 La igualdad ϕ θ ϕ φ = 0 ya la conocíamos: los meridianos y los paralelos se cortan ortogonalmente véase el problema IV54

5 3 Medida de áreas 67 3 Medida de áreas Consideremos fijada para toda esta sección una parametrización regular ϕ : U R 3 de clase C m m 2 de una superficie S de R 3 Veamos cómo podemos medir áreas sobre S utilizando su primera forma fundamental 31 Supongamos en primer lugar que tenemos una región infinitesimal R limitada por las curvas paramétricas que pasan por una punto ϕu 0, v 0, y por otras dos curvas paramétricas infinitesimalmente próximas a las primeras: σ u0 v = ϕu 0, v, σ u0 +duv = ϕu 0 + du, v, σ v0 u = ϕu, v 0, σ v0 +dvv = ϕu, v 0 + dv Tenemos la situación del siguiente dibujo: σ v0 σ v0+dv e 1 e 2 e 2 ϕu 0, v 0 e 1 e 2 e 1 R ϕu 0 + du, v 0 + dv S σ u0 σ u0+du La recta tangente a la curva σ v0 en el punto σ v0 u 0 = ϕu 0, v 0 es la que mejor aproxima a la curva en dicho punto: desarollando por Taylor en u 0 tenemos σ v0 u = σ v0 u 0 + σ v 0 u 0 u u 0 + o u u 0 2, y tomando u = u 0 + du obtenemos σ v0 u 0 + du = σ v0 u 0 + σ v 0 u 0 du + o du 2 31 Si du es infinitesimalmente pequeño, entonces σ v0 u 0 + du es un punto de la curva infinitesimalmente próximo a σ v0 u 0 y o du 2 es un infinitésimo de orden 2 despreciable; por lo tanto la igualdad 31 dice que el punto σ v0 u 0 + σ v 0 u 0 du de la recta tangente es una aproximación de primer orden del punto σ v0 u 0 + du de la curva En particular véase la siguiente figura, el vector e 1 = σ v 0 u 0 du aproxima al arco de la curva σ v0 desde σ v0 u 0 hasta σ v0 u 0 + du σ v 0 u 0 e 1 = σ v 0 u 0 du σ v0 u 0 σ v0 u 0 + du 1

6 68 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Análogamente, el vector e 2 = σ u 0 v 0 dv aproxima al arco de la curva σ u0 comprendido entre los puntos σ u0 v 0 y σ u0 v 0 + dv Como consecuencia de todo obtenemos que el paralelogramo del plano tangente a S en el punto ϕu 0, v 0 determinado por los vectores e 1 y e 2 aproxima a la región R, y podemos tomar el área del paralelogramo como aproximación del área de R; teniendo en cuenta las igualdades obtenemos e 1 = σ v 0 u 0 du = ϕ u u 0, v 0 du, e 2 = σ u 0 v 0 dv = ϕ v u 0, v 0 dv, área de R = e 1 e 2 = ϕ u u 0, v 0 ϕ v u 0, v 0 du dv Todo lo dicho en el punto 31 justifica la siguiente definición: Definición 32 Sea V un subconjunto del abierto U en el que varían los parámetros u, v que se aplica biyectivamente por la parametrización ϕ : U R 3 sobre una región Ω de la superficie S Se define el área de Ω como la integral doble ϕ u ϕ v du dv, cuando dicha integral exista Si consideramos la matriz de la primera forma fundamental de S, g11 g 12 ϕu ϕ u ϕ u ϕ v =, g 12 g 22 ϕ v ϕ u ϕ v ϕ v entonces de la identidad de Lagrange descrita en el punto 12 obtenemos ϕ u ϕ v = g 11 g 22 g12 2 y llegamos a la conocida fórmula área de Ω = V V g 11 g 22 g12 2 du dv 33 Debemos comprobar que la definición anterior es independiente de la parametrización ϕ = ϕu, v fijada para la superficie S Supongamos que tenemos un cambio de coordenadas Ū u,v U ū, v uū, v, vū, v, que componemos con ϕ = ϕu, v para obtener la nueva parametrización de S que denotaremos también ϕ ϕū, v := ϕ uū, v, vū, v Si V es el conjunto de Ū que mediante el difeomorfismo Ū U se corresponde con el conjunto V de U de modo que V se aplica biyectivamente por la parametrización ϕ : Ū R3 sobre la región Ω, entonces debemos probar que se cumpla la igualdad ϕū ϕ v dū d v = ϕ u ϕ v du dv 32 V V

7 3 Medida de áreas 69 Hagamos un inciso para recordar la fórmula de cambio de coordenadas en la integral : con la notación que estamos utilizando, para una función f : U R, f = fu, v, se cumple la igualdad fu, v du dv = f uū, v, vū, v J dū d v, 33 V V donde u u J := ū v v v ū v es el jacobiano del cambio de las coordenadas u, v a las coordenadas ū, v, y J es el valor absoluto de J La igualdad 33 hay que entenderla en el sentido de que la integral de la izquierda existe si y sólo si existe la de la derecha, en cuyo caso ambas integrales coinciden Volviendo a la igualdad 32 que queremos demostrar, recordemos que en IV17 vimos que se cumple ϕū ϕ v = J ϕ u ϕ v ; con detalle es [ ] ϕūū, v ϕ v ū, v = Jū, v ϕ u uū, v, vū, v ϕv uū, v, vū, v Si consideramos la función entonces f uū, v, vū, v = fu, v = ϕ u u, v ϕ v u, v, ϕ u uū, v, vū, v ϕv uū, v, vū, v y por lo tanto ϕūū, v ϕ v ū, v = Jū, v f uū, v, vū, v Entonces, basta aplicar la fórmula 33 a esta función f para obtener la igualdad 32: ϕ u ϕ v du dv = fu, v du dv V = V V f uū, v, vū, v Jū, v dū d v = V ϕū ϕ v dū d v Ejemplo 34 Consideremos constantes b > a > 0 y sea S el toro cuya parametrización es véase el problema IV53 ϕ : R 2 S α, β b + a cos β cos α, b + a cos β sen α, a sen β Tenemos ϕ α = b + a cos β sen α, b + a cos β cos α, 0, ϕ β = a sen β sen α, a cos β sen α, a cos β, y por lo tanto g 11 = ϕ α ϕ α = b + a cos α 2, g 12 = ϕ α ϕ β = 0, g 22 = ϕ β ϕ β = a 2

8 70 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Entonces y obtenemos g = g ij = b + a cos β a 2 ϕ α ϕ β = g ij 1/2 = ab + a cos β Como para el subconjunto V = [0, 2π [0, 2π de R 2 tenemos que ϕ : V S es una biyección, obtenemos 2π [ 2π ] área de S = ab + a cos β dα dβ = a b + a cos β dβ dα V 0 0 2π [ ] 2π = 2πa b + a cos β dβ = 2πa bβ + a sen β = 4π 2 ab 0 Ejercicio 35 Calcúlese el área de una esfera de R 3 de radio r > 0 4 Derivada covariante en R n 41 Comencemos recordando la derivada direccional en R n Sea f : U R una función definida sobre un abierto U de R n Dados un vector e R n y un punto P U, la derivada direccional de la función f según el vector e en el punto P se define como el escalar DP e f dado por la fórmula DP e fp + te fp f = lím, t 0 t cuando el anterior límite exista Cuando f es diferenciable ie, cuando todas las derivadas parciales de f existen, el escalar DP e f existe para cualesquiera P U y e Rn Concretamente, si e = a 1,, a n entonces DP e f f f = a 1 P + + a n P, 41 x 1 x n y haciendo abstracción del punto P de U tenemos la función a 1 D e f = a 1 f x a n f x n = x a n 0 x n f Es claro entonces que D e f es de clase C m 1 si f es de clase C m m 1 Así, para cada vector e = a 1,, a n R n tenemos el operador diferencial D e = a 1 x a n x n : D e : C m U C m 1 U f D e f = a 1 f x a n f x n 42 Veamos que, efectivamente, se cumple la igualdad 41 Si consideramos un segmento de recta dentro de U que pasa por P con la dirección de e, σ : I = ε, ε U t P + te

9 4 Derivada covariante en R n 71 para algún ε > 0, entonces, por definición de derivada direccional se cumple D e P f = f σ 0 Si escribimos P = α 1,, α n y e = a 1,, a n tenemos σt = x 1 t,, x n t con x i t = α i + ta i, i = 1,, n, y si denotamos F t = f σ t obtenemos F t = f σt x x 1t + + f σt x f f 1 x nt = a 1 σt + + a n σt n x 1 x n Por lo tanto D e P f = F 0 = a 1 f x 1 σ0 + + a n que es lo que queríamos ver i f f σ0 = a 1 P + + a n x n x 1 f x n P, Ejemplo 43 Para el vector e i = 0,, 1,, 0 R n, el operador D e i es justamente la derivada parcial x i Propiedades 44 Es inmediato comprobar que las derivadas direccionales cumplen las tres propiedades que tiene toda derivación = manera de derivar : fijados un punto P R n y un vector e R n, si f y g son funciones diferenciables en un entorno abierto de P, entonces se cumplen: i DP e f = 0 si f es constante en algún entorno de P ; ii D e P f + g = De P f + De P g ; iii D e P fg = gp D e P f +fp D e P g regla de Leibniz para la derivada de un producto iv Además, si tenemos otro vector ē R n y escalares λ, µ R, entonces se cumple: D λe+µē P f = λ D e P f + µ DēP f Las demostraciones son comprobaciones que se dejan como ejercicio 45 Hemos visto que para obtener la derivada direccional de una función f según un vector e en el punto P, debemos derivar f sobre la recta que pasa por P con la dirección de e Una observación importante es que podemos sustituir dicha recta por cualquier otra curva que pase por P y cuyo vector tangente en P sea e Concretamente tenemos: Lema 46 Si σ : I R n, σ = σt, es una curva diferenciable tal que para algún t 0 I se cumplen σt 0 = P y σ t 0 = e, entonces D e P f = f σ t0 Demostración Se argumenta exactamente igual a como se ha hecho en el punto 42 para el caso particular σt = P + te, en el que t 0 = 0

10 72 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Definición 47 Un campo de vectores sobre un abierto U de R n consiste en dar para cada punto P U un vector D P R n ; denotaremos un tal campo por D = {D P } P U Las coordenadas del vector D P dependerán del punto P, de modo que existen funciones f 1,, f n : U R tales que D P = f 1 P,, f n P ; escribiremos entonces D = f 1,, f n, y diremos que f 1,, f n son las funciones coordenadas de D El campo de vectores D se dice que es diferenciable de clase C m cuando sus funciones coordenadas son diferenciables de clase C m Un campo D sobre el abierto U no es más que una aplicación D = f 1,, f n : U R n P f 1 P,, f n P, pero entendiendo que para cada punto P U, D P = DP es un vector en P 48 Fijados un vector e y un punto P, la derivada direccional DP e determina una manera de derivar funciones definidas en un entorno del punto Veamos ahora que, de manera análoga, un campo de vectores D sobre un abierto U nos dará un modo de derivar funciones definidas sobre todo el abierto U Para cada función diferenciable g : U R definimos la función Dg : U R como DgP := D D P P g, P U Si es D = f 1,, f n, entonces aplicando la fórmula 41 obtenemos que para todo P U se cumple DgP = f 1 P g P + + f n P g P, x 1 x n y haciendo abstracción del punto P tenemos Dg = f 1 f 1 g g x f n g x n = x f n Como consecuencia se sigue que si D = f 1,, f n es un campo de clase C m sobre U y g C r U con 1 r m + 1, entonces Dg C r 1 U Ejercicio 49 Hemos visto en el punto anterior que un campo de vectores D = f 1,, f n sobre el abierto U define sobre dicho abierto un operador diferencial que denotaremos con la misma letra: D = f f n x 1 x n Pruébese que el operador determina a su vez al campo; es decir, si conocemos el operador diferencial, entonces podemos obtener las funciones coordenadas f 1,, f n del campo de vectores Ejemplo 410 El operador que define el campo de vectores sobre U que es constantemente igual a un vector e de R n es justamente D e véase el final del punto 41 Ejercicio 411 x n Dado un abierto U de R n, para cada m 0 denotemos D m U := {campos de vectores de clase C m sobre U} Compruébese que el operador que define un campo D D m U es una derivación Es decir, para cada r {1,, m + 1} la aplicación D : C r U C r 1 U, f Df, cumple las siguientes propiedades:

11 4 Derivada covariante en R n 73 i Df = 0 si f es localmente constante ; ii Df + g = Df + Dg ; iii regla de Leibniz Dfg = Df g + f Dg Ejercicio 412 Compruébense las afirmaciones siguientes Dado un abierto U de R n, en el conjunto D m U hay una suma natural que lo dota de estructura de grupo abeliano: D = f 1,, f n, D = f1,, f n D m U D + D := f 1 + f 1,, f n + f n D m U Además, el producto por funciones de clase C m, f C m U, D = f 1,, f n D m U fd := ff 1,, ff n D m U, dota al grupo abeliano D m U de estructura de C m U-módulo Definición 413 Fijemos un campo de vectores D sobre un abierto U de R n Para cada campo diferenciable de vectores D = f 1,, f n sobre U, se define la derivada covariante de D respecto de D como el campo de vectores D D dado por la igualdad D D := Df1,, Df n Si D es de clase C m y D es de clase C r con r {1,, m + 1}, entonces D D C r 1 U Propiedades 414 Dados m y r {1,, m + 1}, la derivada covariante define la aplicación D m U D r U D r 1 U D, D D D, para la cual tenemos: dados campos de vectores D, D 1, D 2 D m U, dadas funciones f C m U y f C r U, se cumplen a D D 1 + D 2 = D D1 + D D2, b D 1 + D 2 D = D 1 D + D 2 D, c D f D = D f D + fd D, d fd D = fd D La demostración de estas propiedades es directa a partir de la definición D, D1, D 2 D r U, y 415 El producto escalar usual de R n podemos trasladarlo de modo natural a los campos de vectores: dados campos D = f 1,, f n, D = f1,, f n sobre un abierto U de R n, el producto D D es la función sobre U que está definida por la fórmula D D n := f 1 f1 + + f n fn = f i fi Tenemos de este modo una aplicación i=1 D m U D m U C m U D, D D D que hereda las propiedades del producto escalar de R n : es C m U-bilineal, simétrica y definida positiva D D 0, y si D D = 0 entonces debe ser D = 0

12 74 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Lema 416 Dados campos de vectores D, D 1, D 2 sobre un abierto U de R n, siendo D 1 y D 2 diferenciables, se cumple DD 1 D 2 = D D 1 D 2 + D 1 D D 2 Demostración Sean D 1 = f 1,, f n y D 2 = g 1,, g n con f 1,, f n, g 1,, g n funciones diferenciables sobre U Tenemos n n n [ Dfi ] DD 1 D 2 = D f i g i = Df i g i = gi + f i Dgi = i=1 n Dfi gi + i=1 que es lo que queríamos probar i=1 i=1 n f i Dgi = D D 1 D 2 + D 1 D D 2, Terminaremos esta sección con una importante propiedad i=1 Lema 417 Sean D, D campos de vectores sobre un abierto U de R n, con D diferenciable Dado un punto P U, el vector D DP depende solamente del valor del campo D a lo largo de una curva diferenciable σ = σt en U que pase por el punto P y cuyo vector tangente en P sea D P Demostración Sea D = f 1,, f n y denotemos e = D P Por una parte, por definición tenemos véase el punto 48 D DP = Df 1 P,, Df n P = D e P f 1,, D e P f n Por otra parte, si σ : I U, σ = σt, es una curva diferenciable tal que para algún t 0 I se cumplen σt 0 = P y σ t 0 = e, entonces del lema 46 obtenemos D e P f i = f i σ t0, i {1,, n} De todo se sigue que para calcular el vector D DP basta conocer el valor de las funciones f 1,, f n sobre los puntos de la curva σ Observación 418 Cuando sobre un abierto U de R n consideramos una función diferenciable f, hemos partido de las derivadas direccionales en cada punto para llegar a la derivada de f respecto de un campo de vectores D sobre U véase de nuevo el punto 48 Podríamos haber hecho lo mismo para llegar a la noción de derivada covariante de un campo diferenciable de vectores D = f 1,, f n sobre U : dados un punto P U y un vector e R n, la derivada covariante del campo D según e en P es el vector e P D R n definido como e P D := D e P f 1,, D e P f n Ahora, la derivada covariante de D respecto del campo D es el campo de vectores D D dado punto a punto por las igualdades D DP = D P P D, P U

13 5 Derivada covariante sobre una superficie de R Derivada covariante sobre una superficie de R 3 Para llegar a la noción de derivada covariante sobre una superficie S de R 3 siguiendo los pasos dados para el caso de R n, debemos comenzar definiendo la derivada direccional de una función diferenciable sobre S en un punto P de S y según un vector tangente a S en P Aquí nos encontramos con el problema de que carecemos de noción de función diferenciable sobre S Para solucionarlo consideraremos superficies parametrizadas, y diremos que una función definida sobre ella es diferenciable cuando al expresarla en función de los parámetros resulte ser diferenciable Fijemos entonces para toda la sección una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C m de una superficie S = Im ϕ 51 Sea f : S R una función sobre S Para cada punto P = ϕu, v S, el valor fp R depende de P y por tanto depende de los parámetros u, v: fp = fu, v Con todo rigor: al componer f con la parametrización ϕ = ϕu, v obtenemos una función sobre el abierto U de los parámetros, que también denotaremos con la misma letra f, U ϕ S f R u, v fu, v Definición 52 Con la notación anterior, diremos que la función f : S R es diferenciable de clase C r, 1 r m, si f = fu, v es una función diferenciable de clase C r de los parámetros u, v, es decir, si la composición f ϕ : U R es diferenciable en el sentido usual f ϕ C r U 53 La definición 52 no depende de la parametrización fijada para S : dado un cambio de coordenadas de clase C m, Ū u,v U ū, v uū, v, vū, v, es claro que U f ϕ R es diferenciable de clase C r si y sólo si su composición con el difeomorfismo que define dicho cambio, Ū U ϕ S f ū, v fū, v, es diferenciable de clase C r ; es decir, f = fu, v es diferenciable respecto de los parámetros u, v si y sólo si f = fū, v es diferenciable respecto de los parámetros ū, v La definición de función diferenciable sobre un abierto de la superficie S es la obvia: Definición 54 Una función f : W R definida sobre un abierto W de S se dice que es diferenciable si la composición ϕ 1 W ϕ W f R R u, v fu, v es una función diferenciable sobre el abierto ϕ 1 W de R 2

14 76 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Ejemplo 55 Supongamos que S es el hemisferio sur de la esfera de R 3 cuya ecuación es x 2 + y 2 + z 2 = 1, S = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z < 0 } Una parametrización de S es U = { u, v R 2 : u 2 + v 2 < 1 } ϕ S Consideremos sobre S la función f : S R u, v u, v, 1 u 2 v 2 P fp = distancia de P al polo norte 2, donde polo norte = 0, 0, 1 Dado P = x, y, z S tenemos fp = x, y, z 1 2 = x, y, z 1 x, y, z 1 = x 2 + y 2 + z z = 21 z Expresemos f en función de los parámetros u, v : f : S R P = ϕu, v = u, v, 1 u 2 v u 2 v 2 ; es decir, fu, v = u 2 v 2 Por tanto f es una función diferenciable sobre S 56 Volvamos a la superficie parametrizada S fijada al comienzo de esta sección Consideremos un punto P = ϕu 0, v 0 S y un vector e tangente a S en P, e T P S R 3 La propiedad descrita en el lema 46 para la derivada direccional en R n, y la existencia de curvas sobre S que nos dan las direcciones tangentes a S en P véase el lema IV44, sugieren cómo definir la derivada direccional sobre S Definición 57 Con la notación del punto 56, sea f : W R una función diferenciable sobre un entorno abierto W de P en la superficie S Se define la derivada direccional de f según el vector e en el punto P como el escalar DP e f dado por la fórmula D e P f = f σ t 0, donde σ : I S, σt = ϕ ut, vt, es una curva diferenciable sobre S y t 0 I es tal que σt 0 = P y σ t 0 = e esto es, σ es una curva pasa por P cuyo vector tangente en P es e 58 Veamos que la definición 57 no depende de la curva σ elegida Recordemos que una base del espacio vectorial T P S es { ϕ u u 0, v 0, ϕ v u 0, v 0 }, de modo que tenemos las coordenadas a, b del vector e es dicha base Por una parte a ϕ u u 0, v 0 + b ϕ v u 0, v 0 = e = σ t 0 = u t 0 ϕ u u 0, v 0 + v t 0 ϕ v u 0, v 0, es decir, u t 0, v t 0 = a, b Por otra parte f σ t = df ut, vt = u t f u ut, vt + v t f v ut, vt dt

15 5 Derivada covariante sobre una superficie de R 3 77 Por lo tanto, valorando en t = t 0 obtenemos con lo que la mencionada independencia queda probada D e P f = a f u P + b f v P, Veamos ahora que el escalar DP e f tampoco depende de la parametrización ϕ = ϕu, v fijada Si consideramos un cambio de coordenadas Ū u,v U ū, v uū, v, vū, v, ū 0, v 0 u 0, v 0, entonces tenemos otra parametrización ϕū, v := ϕ uū, v, vū, v de la superficie, de la que obtenemos una nueva base { ϕūū 0, v 0, ϕ v ū 0, v 0 } del espacio tangente T P S Como sabemos, la matriz de cambio de esta nueva base a la antigua es la matriz jacobiana del cambio de coordenadas: A = u ū ū 0, v 0 v ū ū 0, v 0 u v ū 0, v 0 v v ū 0, v 0 en particular, si ā, b son las coordenadas del vector fijado e T P S en la nueva base, entonces debe cumplirse a = ā a A =, es decir ā b u ū ū u 0, v 0 + b v ū 0, v 0 b b = ā v ū ū v 0, v 0 + b v ū 52 0, v 0 Según la igualdad 51 obtenida en el punto 58, debemos probar que se cumple ; ā fūp + b f v P = a f u P + b f v P, para lo que basta aplicar la regla de la cadena y tener en cuenta las igualdades 52 : ā fūp + b f v P = ā f u P u ū ū 0, v 0 + f v P v ū ū 0, v 0 = + b f u P u v ū 0, v 0 + f v P v v ū 0, v 0 ā u ū ū u 0, v 0 + b v ū 0, v 0 f u P + ā v ū ū v 0, v 0 + b v ū 0, v 0 f v P = a f u P + b f v P Nota 510 La propiedad descrita en el lema 46 para la derivada direccional en R n, es para la superficie S consecuencia directa de la definición dada en 57: la derivada direccional DP e f sólo depende del valor de la función f a lo largo de una curva que yace sobre S, que pasa por P y cuyo vector tangente en P es e

16 78 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Ejercicio 511 Fijados P S y e T P S, la derivada direccional DP e es una derivación : dadas funciones diferenciables f y g en un entorno abierto de P en S, se cumplen: i DP e f = 0 si f es constante en algún entorno de P ; ii D e P f + g = De P f + De P g ; iii regla de Leibniz D e P fg = gp D e P f + fp D e P g iv Además, dados ē T P S y λ, µ R tenemos D λe+µē P f = λ D e P f + µ DēP f Definición 512 Un campo de vectores D sobre la superficie S consiste en dar para cada punto P S un vector D P R 3 ; denotaremos D = {D P } P S Existen funciones f 1, f 2, f 3 sobre S de modo que para cada P S es D P = f 1 P, f 2 P, f 3 P ; de esta manera denotaremos también D = f 1, f 2, f 3 El campo D se dice que es diferenciable de clase C r si f 1, f 2, f 3 son funciones diferenciables de clase C r sobre S Nótese que, dado P S, D P es un vector de R 3 en el punto P que puede no ser tangente a la superficie, es decir, puede ocurrir que D P / T P S Ejemplo 513 Sobre S tenemos el campo diferenciable D = ϕ u ϕ v que es normal a S : dado P S, D P = ϕ u P ϕ v P T P S R 3, y como D P 0 debe ser D P / T P S Definición 514 Un campo tangente a la superficie S es un campo de vectores D sobre S que en cada punto es tangente a S, esto es, tal que D P T P S para todo P S Ejemplo 515 Los campos diferenciables sobre S que definen las derivadas parciales de la parametrización, D = ϕ u y D = ϕ v, son campos tangentes sobre S Ejercicio 516 Los campos de vectores sobre S se suman y se multiplican por funciones definidas sobre S del modo evidente punto a punto, y dichas operaciones tienen las propiedades habituales Además tenemos: a si se suman dos campos tangentes a S, entonces se obtiene un campo tangente a S; b si se multiplica un campo tangente a S por una función definida sobre S, entonces se obtiene un campo tangente a S; c si se suman dos campos diferenciable sobre S, entonces se obtiene un campo diferenciable sobre S; d si se multiplica un campo diferenciable sobre S por una función diferenciable sobre S, entonces se obtiene un campo diferenciable sobre S 517 Fijemos un campo tangente D sobre la superficie S y veamos cómo expresarlo respecto de la parametrización ϕ = ϕu, v que estamos considerando Para cada P S, las coordenadas de D P T P S en la base { ϕ u P, ϕ v P } de T P S son escalares h 1 P, h 2 P R que dependen unívocamente del punto P ; por lo tanto existen funciones únicas h 1, h 2 : S R tales que para todo P es D P = h 1 P ϕ u P + h 2 P ϕ v P Haciendo abstracción del punto P podemos escribir D = h 1 ϕ u + h 2 ϕ v 53

17 5 Derivada covariante sobre una superficie de R 3 79 Lo anterior prueba que los campos de vectores ϕ u y ϕ v son base de campos tangentes sobre la superficie S, y la igualdad 53 podemos resumirla diciendo que la expresión del campo tangente D en la base { ϕ u, ϕ v } es D = h1, h 2 Ejercicio 518 Para un campo tangente D = h 1 ϕ u + h 2 ϕ v sobre S pruébese: D es diferenciable de clase C r si y sólo si h 1 y h 2 son funciones diferenciables de clase C r sobre S 519 Un campo tangente D sobre la superficie S define una manera de derivar funciones sobre S: para cada función diferenciable f : S R definimos Df : S R por la igualdad DfP := D D P P f, P S Ya sabemos que Df es una función bien definida porque para cada P S, el escalar D D P P f está determinado independientemente de la parametrización de S Veamos cómo expresar dicha función respecto de la parametrización ϕ = ϕu, v de S, para lo cual utilizaremos la expresión de f en función de los parámetros, f = fu, v Será D = h 1 ϕ u + h 2 ϕ v para ciertas funcionas h 1, h 2 sobre S, y teniendo en cuenta la igualdad 51 obtenida de la definición de derivada direccional véase el punto 58, dado P S tenemos DfP = D D P P f = h 1P f u P + h 2 P f v P = h 1 f u + h 2 f v P ; haciendo abstracción del punto obtenemos Df = h 1 f u + h 2 f v = h 1 u + h 2 f v Como consecuencia, si el campo tangente D es de clase C r esto es, las funciones h 1 y h 2 son de clase C r y la función f es de clase C r+1, entonces Df : S R es una función de clase C r 520 Hemos visto en el punto anterior que un campo tangente diferenciable D = h 1, h 2 sobre S define un operador diferencial, que denotaremos con la misma letra: D = h 1 u + h 2 v Nótese que el operador determina al campo, pues para las funciones f 1 u, v = u y f 2 u, v = v sobre S tenemos Df 1 = h 1 y Df 2 = h 2 Además, es fácil ver que dicho operador es una derivación: dadas funciones diferenciables f y g sobre S se cumplen: i Df = 0 si f es localmente constante ; ii Df + g = Df + Dg ; iii regla de Leibniz Dfg = Df g + f Dg Definición 521 Sea D un campo tangente sobre S y sea D = f 1, f 2, f 3 un campo diferenciable de vectores sobre S no necesariamente tangente Se define la derivada covariante de D respecto de D como el campo de vectores D D sobre S dado por la igualdad D D := Df 1, Df 2, Df 3 Nótese que aunque D fuera tangente a S, el campo D D podría no ser tangente a S

18 80 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Ejemplo 522 El campo tangente básico D = ϕ u define el operador diferencial parcial respecto del parámetro u : f : S R diferenciable Df = f u = f u aquí es h 1, h 2 = 1, 0 Por este motivo, cuando este campo se piensa como operador suele denotarse u, ó abreviadamente u : u f = f u De este modo, para un campo diferenciable de vectores D = f 1, f 2, f 3 sobre S donde f i = f i u, v, i = 1, 2, 3 son funciones diferenciables sobre S tenemos u D = f 1 u, f 2 u, f 3 u Del mismo modo, para el otro campo tangente básico que nos da la parametrización, v = ϕ v, tenemos v D = f 1 v, f 2 v, f 3 v Por ejemplo, supongamos que S es el paraboloide de ecuación z = xy parametrizado como ϕ : R 2 R 3, ϕu, v = u, v, uv Tenemos los campos u = ϕ u = 1, 0, v y v = ϕ v = 0, 1, u, que son tangentes a S Sin embargo el campo de vectores no es tangente a S compruébese u v = u 0, 1, u = 0, 0, 1 Propiedades 523 Respecto a la suma y al producto por funciones, la derivada covariante sobre S tiene las siguientes propiedades Sean D, D 1, D 2 campos tangentes sobre S, sean D, D 1, D 2 campos diferenciables sobre S, y sean f, f : S R funciones sobre S con f diferenciable; se cumplen: a D D 1 + D 2 = D D1 + D D2, b D 1 + D 2 D = D 1 D + D 2 D, c D f D = D f D + fd D, d fd D = fd D Las demostraciones se obtienen directamente de la definición 524 A los campos de vectores sobre S se extiende de manera natural el producto escalar usual de R 3 : dados campos de vectores D 1 = f 1, f 2, f 3 y D 2 = g 1, g 2, g 3 sobre S, se define la función D 1 D 2 : S R por la igualdad D 1 D 2 := f 1 g 1 + f 2 g 2 + f 3 g 3 = 3 f i g i Además, si los campos D 1 y D 2 son diferenciables, entonces para todo campo tangente D sobre S tenemos la importante relación compruébese la anterior igualdad i=1 DD 1 D 2 = D D 1 D 2 + D 1 D D 2

19 6 Segunda forma fundamental Terminaremos esta sección señalando una importante propiedad que se sigue de modo inmediato de lo dicho en la nota 510 véase el lema 417 y su demostración, donde se enuncia la propiedad análoga para la derivada covariante de R n : Sea D un campo tangente a S y sea D un campo diferenciable sobre S Dado un punto P S, el vector D D P depende únicamente del valor del campo D a lo largo de una curva diferenciable σ = σt sobre S que pase por el punto P y cuyo vector tangente en P sea D P 6 Segunda forma fundamental Igual que hicimos en la anterior, para toda esta sección fijaremos una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C m de una superficie S = Im ϕ de R 3 Definición 61 Llamaremos campo normal unitario a la superficie S al campo de vectores N dado por la igualdad N := ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v Como su nombre indica, para cada P S, N P es un vector de R 3 cuyo módulo es igual a 1 y que es normal a S en el punto P esto es, ortogonal al subespacio T P S de R 3 ; en particular tenemos N P = T P S 62 El campo normal unitario a la superficie S está determinado salvo el signo, el cual depende de la parametrización: si tenemos un cambio de parámetros u,v Ū U ū, v uū, v, vū, v y consideramos la nueva parametrización ϕū, v = ϕ uū, v, vū, v, entonces sabemos que se cumple ϕū ϕ v = J ϕ u ϕ v, donde J 0 es el jacobiano determinante de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas, y por lo tanto N = ϕ ū ϕ v ϕū ϕ v = J ϕu ϕ v J ϕ u ϕ v = ± ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v = ±N 63 Sea D = f 1, f 2, f 3 un campo diferenciable de vectores sobre S Como dijimos en la observación 418 para el caso de R n, podemos definir la derivada covariante de D en cada punto: dado P S, la derivada covariante de D en P según un vector e T P S es el vector e P D R 3 dado por la igualdad e P D := D e P f 1, D e P f 2, D e P f 3 De ese modo, si D es un campo tangente a S, entonces la derivada covariante de D respecto de D es el campo de vectores D D sobre S dado punto a punto por las igualdades D DP = D P P D, P S

20 82 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales En efecto, basta aplicar las definiciones: dado P S tenemos D DP := Df 1 P, Df 2 P, Df 3 P := D D P P f 1, D D P P f 2, D D P P f 3 := DP P D Nota 64 Lo dicho en el punto anterior significa que si sabemos derivar covariantemente en cada punto de la superficie, entonces sabemos derivar globalmente Una consecuencia importante del siguiente lema es que el recíproco también es cierto: la derivada covariante global sobre S determina la derivada covariante en cada punto de S Lema 65 Todo vector e T P S puede extenderse diferenciablemente a un campo tangente sobre toda la superficie S: existe un campo tangente diferenciable D sobre S tal que D P = e Demostración Si las coordenadas del vector e en la base { ϕ u P, ϕ v P } de T P S son a, b, basta tomar el campo tangente D cuyas funciones coordenadas h 1, h 2 en la base { } ϕ u, ϕ v de campos tangentes a S son las funciones constantes h 1 = a y h 2 = b : D = a ϕ u + b ϕ v Notas 66 a En adelante, todos los campos de vectores sobre S que consideremos tangentes o no los supondremos diferenciables de la clase que necesitemos b Dado 1 r m denotaremos D r S := {campos tangentes sobre S de clase C r } c Como el campo normal unitario N es de clase C m 1, supondremos que m 2 para que N sea al menos de clase C 1 Ejercicio 67 Dado un punto P S, pruébese que es lineal la aplicación φ P : T P S R 3 e e P N Nótese que esta aplicación φ P está bien definida porque el campo N es diferenciable Proposición 68 Dado P S, la aplicación lineal φ P definida en el ejercicio 67 valora en el subespacio T P S de R 3 Demostración Fijemos un punto P S y un vector e T P S Como T P S = N P, para ver que el vector φ P e = e P N es tangente a S en P debemos comprobar que se cumple e P N N P = 0 Consideremos un campo tangente D a S tal que D P = e véase el lema 65; en particular será e P N = D N P véase el punto 63 Como N N = 1 tenemos 0 = DN N = D N N + N D N = 2D N N, y por lo tanto D N N = 0 Valorando en el punto P obtenemos que es lo que queríamos probar 0 = D N P N P = e P N N P,

21 6 Segunda forma fundamental 83 Definición 69 Según la proposición 68, para cada punto P de S tenemos un endomorfismo φ P : T P S T P S, el cual se conoce como endomorfismo de Weingarten de la superficie S en el punto P 610 Fijado un punto P en la superficie S, para cada vector e tangente a S en P tenemos que φ P e es salvo el signo la derivada del vector normal unitario a la superficie en P en la dirección de e Por lo tanto el endomorfismo φ P mide cómo varía N esto es, la dirección del plano tangente a S en las vecindades de P Es decir, φ P describe cómo se curva S en P Definición 611 Hemos definido el endomorfismo de Weingarten de S punto a punto, pero podemos definirlo globalmente Si D es un campo tangente a S, entonces en la demostración de la proposición 68 hemos visto que el campo de vectores D N sobre S también es tangente a S De este modo, como N es de clase C m 1, dado 1 r m 1 tenemos el operador φ : D r S D r 1 S D φd := D N Es trivial comprobar que esta aplicación φ es C r S-lineal, es decir, dados campos tangentes D 1 y D 2 sobre S y dada una función diferenciable f : S R, se cumplen φd 1 + D 2 = φd 1 + φd 2, φfd 1 = fφd 1 La aplicación φ se denomina operador de Weingarten de la superficie S 612 Si conocemos los endomorfismos { φ P, entonces conocemos también el operador φ, }P S ya que dado un campo D tangente a S tenemos φd P = D N P = D P P N = φ P D P, P S Recíprocamente, si conocemos el operador φ, entonces aplicando el lema 65 podemos obtener la familia de endomorfismos { φ P }P S 613 Antes de continuar haremos un inciso para recordar algunas propiedades de las métricas simétricas sobre un espacio vectorial real de dimensión finita Consideremos un R-espacio vectorial E de dimensión finita n y fijemos en él un producto escalar esto es, una métrica simétrica definida positiva que llamaremos T 2 Como es habitual, el producto de dos vectores e, v E según T 2 lo denotaremos con un punto : e v := T 2 e, v a Sea T 2 otra métrica simétrica sobre E Existe un único endomorfismo T : E E con la siguiente propiedad: T 2 e, v = T e v e, v E 61 Se dice que T es el endomorfismo asociado a la pareja de métricas T 2, T 2 Nótese que de la simetría de T 2 se obtiene la siguiente propiedad para el endomorfismo T : T e v = e T v e, v E 62

22 84 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales b Supongamos ahora que tenemos un endomorfismo T : E E que tiene la propiedad 62 Entonces es fácil comprobar que la aplicación T 2 : E E R e, v T 2 e, v := T e v es una métrica simétrica sobre E, y que el endomorfismo asociado a la pareja de métricas T 2, T 2 es el endomorfismo T de partida Por linealidad, para comprobar si el endomorfismo T tiene la propiedad 62 basta verlo para los vectores de una base: dada una base {e 1,, e n } de E, T tiene la propiedad 62 si y sólo si se cumple T e i e j = e i T e j i, j {1,, n}, i j c Fijemos una métrica simétrica T 2 sobre E y consideremos el correspondiente endomorfismo T Dada una base {e 1,, e n } en E, de la relación 61 existente entre las métricas y el endomorfismo se obtiene fácilmente la igualdad matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } = matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } matriz del endomorfismo T en la base {e 1,, e n } Como T 2 es una métrica euclídea su matriz es invertible, de modo que de la anterior igualdad se obtiene la expresión matricial del endomorfismo T en función de las matrices de las métricas: matriz del endomorfismo T en la base {e 1,, e n } = matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } 1 matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } d La importancia del endomorfismo T asociado a la pareja de métricas T 2, T 2 se pone de manifiesto con la siguiente propiedad: El endomorfismo T es diagonalizable Concretamente, T diagonaliza en una base de E que es ortonormal para la métrica euclídea T 2 y es ortogonal para la métrica simétrica T 2 Es decir existe una base {e 1,, e n } en E tal que matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } = 1 1, matriz de la métrica T 2 en la base {e 1,, e n } = λ 1 λ n = matriz del endomorfismo T en la base {e 1,, e n }

23 6 Segunda forma fundamental Volvamos a nuestra superficie S Para cada punto P S, en el espacio tangente T P S tenemos la primera forma fundamental g P, que es una métrica euclídea, y el endomorfismo de Weingarten φ P : T P S T P S Queremos ver que dicho endomorfismo cumple la propiedad 62 respecto de la métrica g P, y que por lo tanto existe una métrica simétrica asociada a g P y φ P téngase en cuenta lo dicho en el apartado b del punto 613 Las métricas {g P } P S y los endomorfismos {φ P } P S los hemos definido punto a punto y luego los hemos dado globalmente la primera forma fundamental es globalmente gd 1, D 2 = D 1 D 2 para D 1, D 2 campos tangentes a S Para variar, ahora definiremos la nueva métrica globalmente y luego pasaremos a cada punto Comencemos reformulando en nuestro contexto el conocido lema de Schwarz sobre las parciales cruzadas Lema 615 Los campos tangentes u y v sobre S cumplen u v = v u Demostración Si escribimos ϕ = ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, entonces v = ϕ v = tanto u v = 2 ϕ 1 u ϕ v = u v, 2 ϕ 2 u v, 2 ϕ 3 u v Del mismo modo tenemos v v = 2 ϕ 1 v u, 2 ϕ 2 v u, 2 ϕ 3 v u ϕ1 v, ϕ 2 v, ϕ 3 v y por lo Para concluir la demostración basta tener en cuenta que en virtud del lema de Schwarz para funciones definidas en el abierto U de R 2 se cumple 2 ϕ i, i = 1, 2, 3 u v = 2 ϕ i v u Proposición 616 El operador de Weingarten φ satisface la propiedad 62 respecto de la primera forma fundamental g, es decir, dados campos tangentes D 1 y D 2 sobre S se cumple φd 1 D 2 = D 1 φd 2 Demostración Como ya se dijo al final del apartado b del punto 613, bastará probar que para los campos tangentes básicos { u, v } se cumple φ u v = u φ v Como u N = 0 = v N tenemos y por lo tanto con lo que termina la demostración 0 = u v N = u v N + v u N, 0 = v u N = v u N + u v N, φ u v = u N v = u v N, = v u N = u v N = u φ v,

24 86 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Definición 617 Según la proposición 616, sobre los campos tangentes a S tenemos definida la métrica simétrica φ 2 por la igualdad φ 2 D 1, D 2 := φd 1 D 2 = D 1 N D 2, D 1, D 2 campos tangentes sobre S Dicha métrica φ 2 se denomina segunda forma fundamental de la superficie S 618 En cada punto P S, la segunda forma fundamental es la siguiente métrica simétrica sobre el espacio vectorial T P S : φ 2,P : T P S T P S R e, v φ 2,P e, v := φ P e v = e P N v Por construcción, es claro que φ P : T P S T P S es el endomorfismo asociado a la pareja de métricas g P, φ 2,P De la relación existente entre el operador de Weingarten definido globalmente y los endomorfismo de Weingarten en cada punto, se sigue de modo inmediato la relación entre la segunda forma fundamental dada globalmente y dada en cada punto: si e, v T P S y D, D son campos tangentes sobre S tales que D P = e y D P = v, entonces tenemos φ 2,P e, v = φ 2 D, DP 619 Interpretación geométrica Fijado un punto P S, para ver el significado geométrico de la segunda forma fundamental φ 2,P vamos a estudiar su forma cuadrática asociada T P S R e φ 2,P e, e Dado λ R tenemos φ 2,P λe, λe = λ 2 φ 2,P e, e, de modo que la forma cuadrática está determinada por su valor sobre los vectores unitarios de T P S Fijemos entonces un vector e T P S tal que e = 1 Recordemos que si σ : I S es una curva diferenciable que cumple σt 0 = P y σ t 0 = e para cierto t 0 I, entonces tenemos véanse la definición 57 y el punto 63 φ P e = e P N definición dn σ dt t 0 = N t 0, 63 donde N = Nt denota la restricción del campo normal unitario N a los puntos de la curva, es decir, la composición I σ S N R 3 t Nt := Nσt Ahora, en el punto P tenemos los vectores e y N P que son linealmente independientes, y por lo tanto tenemos el plano Π = P + e, N P

25 6 Segunda forma fundamental 87 El plano Π corta a S en una curva C que se conoce como la sección plana de S en P en la dirección del vector tangente e Por una parte, un vector tangente a C en P pertenece al subespacio e, N P de R 3 porque C está contenida en Π Por otra parte, como C también yace sobre S, un vector tangente a la curva en P es tangente a S en P, es decir, es ortogonal a N P De todo lo anterior se sigue que el vector e es tangente a la curva C en P Teorema 620 Con las hipótesis y notación anteriores, se cumple φ 2,P e, e = ±curvatura de C en P Demostración Supondremos sin justificarlo que la curva C admite una parametrización regular σ = σt en un entorno de P ; será P = σt 0 para cierto valor t 0 del parámetro Podemos suponer que la parametrización σ = σt es natural, en cuyo caso el vector tangente unitario a la curva es T = σ y su curvatura es κ = T Donde la curvatura sea no nula tenemos el vector normal principal de σ, que lo denotaremos N para distinguirlo del campo normal N a la superficie Como el vector unitario e es tangente a σ en P debe ser σ t 0 = ±e ; cambiando si fuera necesario el sentido de recorrido de la curva, supondremos que se cumple σ t 0 = e En cada punto de la curva el vector T es tangente a la superficie porque la curva yace sobre S Por lo tanto, para el campo normal unitario a S a lo largo de la curva, N = Nt, se cumple T N = 0, y derivando respecto de t tenemos 0 = T N + T N N T = T N Valorando en el punto P = σt 0 obtenemos véase la igualdad 63: φ 2,P e, e = φ P e e = N t 0 T t0 = T t 0 N P Si la curvatura de σ en P es cero, 0 = κt 0 = T t 0, tenemos φ 2,P e, e = T t 0 N P = 0 = κt 0 Si κt 0 0, entonces en un entorno de P en la curva está definido su triedro de Frenet {T, N, B} Por una parte tenemos T t 0 = κt 0 N t0 Por otra parte, como la curva está sobre el plano Π = P + e, N P debe ser N t0 e, N P, y como e = T t0 concluimos que N t0 = ±N P De todo lo dicho obtenemos con lo que termina la demostración φ 2,P e, e = T t 0 N P = κt 0 Nt0 N P = ±κt0,

26 88 Capítulo V Primera y segunda formas fundamentales Observación 621 En relación con la anterior demostración, nótese que en el caso del dibujo de la página 87 se cumple N t0 = N P, es decir, la sección plana C está en el lado opuesto de N P respecto del plano tangente a S en P Si N P y C estuvieran al mismo lado del plano tangente, entonces sería N t0 = N P Ejemplo 622 Supongamos que S es un abierto de una esfera de radio R > 0, parametrizada de modo que el vector normal unitario apunta hacia el centro de la esfera Dados un punto P S y un vector unitario e T P S, el plano Π = P + e, N P pasa por el centro de la esfera y por lo tanto la correspondiente sección plana C es un círculo máximo de la esfera esto es, una circunferencia cuyo centro coincide con el centro de la esfera P e N P C S Con la elección hecha del campo N, en este caso tenemos que N P es también vector normal principal a la curva C en P Como C es una circunferencia de radio R, su curvatura es constantemente igual a 1/R, por lo que tenemos φ 2,P e, e = κp = 1/R > 0 En este caso la métrica simétrica φ 2,P ha resultado ser definida positiva, pero si hubiéramos tomado la otra elección del vector normal unitario a S, entonces hubiéramos obtenido que φ 2,P es definida negativa Lo importante no es el signo, sino que sea definida, en cuyo caso tenemos que hay un entorno del punto P en la superficie S que queda todo a un mismo lado del plano tangente a S en P Definiciones 623 Se define la curvatura de Gauss de la superficie S en un punto suyo P como el determinante del endomorfismo φ P : T P S T P S, K G P := det φ P Sabemos que φ P diagonaliza en una base de T P S que es ortonormal para la primera forma fundamental g P es decir, ortonormal para el producto escalar usual de R 3, y es ortogonal para la segunda forma fundamental φ 2,P Es decir, existe una base ortonormal {e 1, e 2 } en T P S y existen escalares k 1, k 2 R tales que matriz de la métrica k1 0 matriz del endomorfismo = = φ 2,P en la base {e 1, e 2 } 0 k 2 φ P en la base {e 1, e 2 } Los valores propios k 1 y k 2 de φ P se llaman curvaturas principales de la superficie en el punto P Se llaman direcciones principales de S en P a los vectores propios de φ P {e 1, e 2 } es una base ortonormal de T P S formada por direcciones principales de S en P Nótese que por definición se cumple K G P = k 1 k Sabemos que el endomorfismo φ P está determinado salvo el signo Como consecuencia, las curvaturas principales de S en P están determinadas salvo un cambio de signo en las dos: si k 1 y k 2 son los valores propios de φ P, entonces los valores propios de φ P son k 1 y k 2 1