Teoría cinética de los gases

Transcripción

1 Teoría cinética de los gases

2 Distribución de probabilidad ρ ( x) Densidad de probabilidad de la variable aleatoria x. Da la probabilidad, por unidad de intervalo, de obtener la variable aleatoria x entre x y x+dx.

3 ρ ( x) dx Da la probabilidad, de obtener la variable aleatoria entre x y x+dx. ρ(x) Prob de encontrar x entre x y x+dx dx

4 b ( ) dx ρ x Da la probabilidad, de obtener la variable aleatoria entre a y b. a Prob de encontrar x entre a y b. ρ(x)

5 Teoría cinética de los gases El gas está formado por un número enorme de moléculas puntuales. Las moléculas se mueven en todas las direcciones y con todas las velocidades. Las moléculas no interaccionan entre sí excepto durante colisiones elásticas instantáneas. Las moléculas sufren colisiones elásticas con las paredes del recipiente.

6 Interpretación molecular de la v yf = v yi p y = 0 presión v xf = v xi p x = 2m( v xf v ) xi = 2mv xi V xi V yi V i Cambio en la cantidad de mov de la partícula. El cambio de p sobre la pared tiene igual magnitud y signo contrario. V f V xf V yf Pared

7 Cambio de p de la pared debido a la colisión con la molécula i con velocidad v x p i = 2mv x i Fuerza total sobre un objeto que sufre un cambio de p= p tot en un intervalo de tiempo t F tot = p tot t = i p t Sumamos a todas las que chocan en el intervalo t. Cuántas moléculas con velocidad v x chocan contra la pared en un intervalo de tiempo t?

8 Contra una superficie de área A chocan todas las moléculas que están en un volumen v x ta. El número total de moléculas en ese volumen es dn = N V v xa t v x t Por tanto el número de moléculas en ese volumen con velocidad e/v x y v x +dv x son N dn vx = ρ ( v x ) dv x V v xa t A Prob de encontrar una molécula con velocidad v x

9 Cambio total en la cantidad de movimiento, observado en el intervalo t, debido a las colisiones con moléculas que tienen velocidades entre v x y v x +dv x N p vx = ρ ( v x ) dv x V v xa t 2mv x = 2m N V A tρ ( v x) v 2 x dv x Número de moléculas con esa v que chocan en ese intervalo Cambio en la cantidad de movimiento de cada choque. ( ) v x 2 dv x p tot = 2m N V A t ρ v x = m N V A t ρ v x 0 ( ) v x 2 dv x p tot = m N V A t v 2 x F = p tot t = mn V A v 2 x

10 P = F A = mn V v 2 x v x 2 = v2 3 P = 1 3 mn V v2 ε = 1 2 m v2 Energía cinética promedio de las moléculas de gas PV = 2 3 N ε N ε = E kin Energía cinética total PV = 2 3 E kin

11 Comparando con la ecuación de estado del gas ideal PV = 2 3 E kin PV = nrt E kin = 3 2 nrt E kin = 3 2 RT ε = 3 2 kt La temperatura absoluta de un gas ideal es una medida de la energía media de sus partículas

12 Distribución de velocidades Maxwell: todas las direcciones son igualmente probables, => las distribuciones de velocidad en x, y y z son iguales. dn vx v y v z N = ρ ( v x) ρ ( v ) y ρ ( v z ) dv x dv y dv z Φ ( v) ρ ( v x ) ρ ( v ) y ρ ( v z ) = Φ ( v) dρ ( v x ) dv x ρ ( v ) y ρ v z ( ) = dφ ( v ) dv v v x

13 v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 v = v x v x v dρ ( v x ) dv x dρ ( v x ) dv x ρ ( v ) y ρ v z ρ ( v ) y ρ v z ( ) = dφ ( v ) dv ( ) = dφ ( v ) dv v v x v x v 1 ( ) ρ v x dρ ( v x ) ( ) = 1 dv x Φ v dφ ( v) dv v x v 1 ( ) v x ρ v x dρ ( v x ) = dv x 1 vφ v ( ) dφ v ( ) dv

14 1 ( ) v x ρ v x dρ ( v x ) dv x = b ( ) ( ) dρ v x ρ v x = bv x dv x ln ( ρ ( v x ) ) = b 2 v 2 x + C 1 ( ) = Ae ρ v x 2 bv x 2 Φ v ( ) = A 3 e 1 2 bv2 Ahora necesitamos encontrar los valores de las constantes A y b. Para eso recurrimos a la condición de normalidad de la distribución de velocidades y a la expresión obtenida para la energía cinética molecular promedio.

15 1= ρ v x Determinación de A y b ( ) dv x = A 2 bv x 2 2π dv x = A b 1 e 1 2 A = b 2 1 ρ v x 2π 2π ( ) = b e 2 bv x 2 ε = 3 2 kt = 1 2 m v2 v 2 = 3kT m = 3 v 2 x v x 2 ( ) = ρ v x v x 2 dv x = kt m v x 2 = kt m 1 b = kt m b= m kt

16 ρ ( v x ) = m 2πkT 1 2 e mv x 2 2kT En una dimensión, la velocidad más probable es cero. La probabilidad de tener una cierta velocidad v x es igual a la probabilidad de v x. A medida que la velocidad tiende a infinito su probabilidad tiende a cero.

17 Probabilidad de hallar una molécula con velocidad v x en x, v y en y y v z en z ρ ( v x ) ρ ( v ) y ρ ( v z ) dv x dv y dv z = m 2πkT 3 2 e mv2 2kT dv x dv y dv z { v x, v y, v z } { v,θ,φ } Espacio de las velocidades dv x dv y dv z = v 2 sen ( θ ) dθdφdv v z v Para hallar la probabilidad de encontrar una molécula con velocidad v, debemos integrar la distribución sobre todas las direcciones (θ y φ) φ θ v y v x

18 Probabilidad de hallar una molécula con velocidad v apuntando en la dirección definida por los ángulos θ y φ: m = 2πkT 3 2 e mv2 2kT v 2 sen θ ( ) dvdθdφ Probabilidad de hallar una molécula con velocidad v con cualquier dirección: ρ v ( v) dv= m 2π kt 3 2 e mv2 2π 2kT v 2 dv dφ sen θ 0 π 0 ( ) dθ ρ v ( v) dv= m 2πkT 3 2 4πv 2 e mv2 2kT dv

19 Distribución de las velocidades de Maxwell A mayor temperatura, mayor es la probabilidad de hallar moléculas con grandes velocidades A igual temperatura, las moléculas más pesadas se mueven más lentamente.

20 Velocidad más probable y velocidades medias Velocidad más probable ( ) dρ v v dv = d 3 m 2 4πv 2 e mv2 2kT dv 2πkT = 0 v MP = 2kT m 1 2 Velocidad media v = vρ v ( v) dv= 8kT 0 π m 1 2 Velocidad cuadrática media v 2 = v 2 ρ v ( v) dv= 3kT 0 m 1 2

21 Por qué la velocidad más probable es distinta de cero si en una dimensión la velocidad más probable es cero? v MP <v> <v2 >

22 Distribución de energías translacionales ρ v ( v) dv= m 2πkT 3 2 4π v 2 e mv2 2kT dv ε = 1 2 mv2 dε = mvdv dε = ( 2mε ) 1 2 dv dv= 1 ( 2mε ) 1 2 dε ρ v ( v) dv= 2π ( πkt ) 3 2 ε 1 2 e ε kt dε = ρ ε ( ε ) dε

23 Distribución de energías translacionales

24 Termodinámica Módulo I