El modelo cinético molecular para un gas ideal

Transcripción

1 El modelo cinético ecular para un gas ideal En 166, Robert Boyle encontró que el volumen de un gas a temperatura constante es proporcional al inverso de la presión ley de Boyle 1 (1) P En 1787, Jacques leandre Charles encontró que el volumen de un gas es proporcional a su temperatura En 180, Joseph Louis Gay-Lussac determinó la taja de epansión del gas con la temperatura ley de Charles-Gay-Lussac () T En 1811, madeo vogadro propuso la siguiente hipótesis para eplicar estas leyes: con las mismas condiciones de presión y temperatura en un volumen igual de gas se encuentra una cantidad igual de éculas ley de vogadro De 1811 hasta 1858, la ley de vogadro fue rechazada por los químicos (vogradro murió en 1856) - fue el italiano Stanislao Cannizzaro que mostró en 1858 que la ley de vogadro permite de determinar sistemáticamente de manera correcta la masa ecular de los elementos químicos y sus formulas El número de vogadro es el número de átomo en 0.01kg de carbono 1 (isótopo más común estable) - = La masa ecular M = masa de un () M = m 1

2 La ley de vogadro permite de poner junto las leyes de Boyle y Charles-Gay-Lussac la ley de los gases perfectos (4) P = nrt Donde n es la cantidad de (la cantidad de éculas = n ) y R es la constante de los gases perfectos J (5) R = K O L atm (6) R = K R La razón es una constante = la constante de Boltzmann R J (7) = k = eculas K La ley de los gases perfectos toma la forma (8) P = nkt = kt Donde es la cantidad de éculas Se puede interpretar esta ley con el modelo cinético-ecular Este modelo representa un gas ideal en un recipiente con un gran número de partículas que rebotan contra la pared del recipiente Un recipiente de volumen contiene un muy grande de éculas idénticas cada con masa m Las éculas son partículas puntuales con tamaño pequeño en comparación con la distancia entre éculas y dimensión del recipiente Las éculas son en constante movimiento siguiendo la ley de ewton y las colisiones con las paredes del recipiente son elásticas La presión del gas corresponde al los choques constante de las éculas contra las paredes siguiendo la ley de conservación de la cantidad de movimiento - durante un choque se cambia la dirección de la componente a la pared de la cantidad de movimiento de las éculas pero no su componente

3 Consideramos v = la magnitud de la componente de la velocidad de una écula y asumimos v la misma para todas El cambio de velocidad causado por el choque elástico es v El cambio de cantidad de movimiento: ( ) = mv mv mv En el intervalo de tiempo dt una écula se encuentra a una distancia vdt de la pared El número de éculas que chocan contra la pared en un área durante el intervalo de tiempo dt es igual al número de éculas dentro del volumen cilíndrico = v dt sumiendo la densidad de volumen uniforma el número de éculas esta igual a vdt En pro, la mitad de las éculas ya chocaran contra la pared, por lo tanto el número de choques durante el intervalo de tiempo dt debe ser igual a 1 vdt El cambio total de cantidad de movimiento dppara el sistema total de éculas durante el intervalo de tiempo dt es: (9) 1 m dp = vdt mv = vdt Y la razón de cambio de la componente dp es igual a la fuerza dp m (10) F = = v dt

4 Por definición de la presión (11) F P = = m v IMPORTTE - la componente v no es realmente igual para todas las éculas pero se puede agrupar las éculas en diferentes valores y sumar ( v ) demás, v tiene una relación simple con la velocidad total pro v : ( v ) = ( v ) ( ) ( + vy + vz ) Y con no hay ninguna diferencia entre las direcciones, y, z ( v ) = ( v ) Usando esta realción 1 (1) ( 1 ) ( P= m v = m v ) 1 Donde m( v ) = K tr, ecula es la energía cinética media de una écula multiplicando por el número total de écula Ktrecula, = Ktr es la energía cinética aleatoria total La relación se cambia a (1) P = K tr Comparando con la ecuación de estado de un gas ideal P = nrt (14) Dividiendo por ( = n ) Ktr = nrt K 1 n R = K = m v = RT = T = kt tr (1.15) trecula, ( ) Donde k es la constante de Boltzmann 4

5 Encontramos que la energía cinética aleatoria de las éculas solamente depende de la temperatura del gas (16) mv ( ) 1 = kt La energía cinética traslacional media por ( M = m) 1 1 m v = med med M v = RT (17) ( ) ( ) Sobre la base ecular: = n y R = k (18) P = nrt = kt La rapidez eficaz de una écula v rms (root mean square) la raíz de la media de los cuadrados (19) vrms ( v ) kt RT = = = med m M una temperatura dada T las éculas con diferente masa m tiene la misma energía cinemática media pero diferente rapidez Ejemplo: del aire con masa g y Hque es más ligero g M = 8 se mueve más rápidamente que O con masa g M = es aún más rápida esto eplica porque no se queda en la atmósfera: una porción apreciable rebasa la rapidez 4 m de escape de la tierra s En realidad, choques de las éculas con pared del recipiente no son elástico las éculas adhieren durante un tiempo curto y luego salen con rapidez característica de T 5

6 Choques entre éculas La hipótesis de un gas perfecto = no hay interacciones entre las éculas pero en realidad las éculas se chocan una con otras - Con que frecuencia chocan con otras? y Cuanto viajan en pro entre dos choques? Consideremos éculas en volumen, asumiendo que son esferas rígidas de radio r Supongamos que solamente una se mueve chocara con otra cuando la distancia es r Consideramos un cilindro con radio r con eje paralelo a la dirección de movimiento de la écula esta écula choca con otra cuyo centro esta dentro de este cilindro Durante el tiempo dt la écula viaja a una distancia vdt el volumen del cilindro es por lo tanto = 4π rvdt cil sumiendo una densidad homogénea ρ =, el número de éculas que tiene su centro dentro del cilindro será d = ρcil = 4πrvdt El número de choques por segundo es: (0) d = 4π dt rv 6

7 Si tomamos en cuenta que todas las éculas se mueven la probabilidad de choques aumenta por un factor : (1) d dt = 4π rv El tiempo entre dos choques = tiempo libre : () Y la trayectoria libre media: () t = 4π rv λ = vt = 4π r Es inversamente proporcional al número de éculas y inversamente proporcional al área transversal cuantas más éculas + mayor su tamaño más alta la probabilidad de colisiones Para un gas ideal (1.4) kt P = kt = P kt λ = vt = 4π rp umenta con la temperatura y disminuya con la presión Las condiciones para que se aplique las leyes de los gases perfectos son: lta temperatura Baja presión 7

8 La ecuación de van der Waals Cuando no se aplique las condiciones de los gases perfectos se debe tomar en cuenta las interacciones entre éculas la ecuación de va der Waals (desarrollada en el siglo XIX por J. D. van der Waals) consiste a introducir correcciones a la ecuación de los gases ideales para tomar en cuenta el volumen de las éculas y las fuerzas de atracción en n (5) p+ a ( nb) = nrt Donde a y b son constantes empíricas que depende del gas Si b es el volumen de un de éculas, entonces el volumen total será nb - la corrección toma en cuenta que el volumen real donde se mueve las éculas es reducido por el volumen total de las éculas nb La constante a depende de las fuerzas de atracción intereculares hace que la presión del gas será reducida el efecto es proporcional al número de las éculas por unidad de volumen en una capa cerca de la pared (interacción con la pared) y al número de éculas por unidad de volumen en la siguiente capa más allá de la pared n n n (interacción entre éculas) = = Si n es pequeño la distancia entre las éculas es grande y la corrección es insignificante Ej. Para CO - J m 5 m a = 0.64 y b = Un de gas ideal a T = 0C y P = 1 atm ocupa un volumen de 0.04m Según la ecuación de van der Walls la corrección es solamente del orden de 0.5% 8