8.1 Segunda ley de Newton en términos de cantidad de movimiento Consideremos una partícula de masa constante m

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1 UNIVERSIDD TECNOLÓGIC NCIONL Facultad Regional Rosario UD Física Cátedra FÍSIC I Capitulo Nº 8: CNTIDD DE MOVIMIENTO, IMPULSO Y CHOQUES Existen casos en que no podemos dar respuesta directamente a través de la Segunda Ley de Newton; por ej. Qué determina hacia dónde se dirigen los restos de un choque, o de una explosión? Utilizaremos entonces algunos conceptos nuevos para poder explicarlo. Nos referimos a la Cantidad de movimiento ó Momento Lineal y al Impulso. También enunciaremos una nueva ley; la de Conservación de la Cantidad de movimiento. 8.1 Segunda ley de Newton en términos de cantidad de movimiento Consideremos una partícula de masa constante m Puesto que: a = dv Podemos escribir la segunda ley de Newton para esta partícula así: F = m. a = m. dv [1] Podemos introducir m en la derivada porque es constante. sí, la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la combinación el m. v producto de la masa y la velocidad de la partícula. Llamamos: p = m. v [] (definición de cantidad de movimiento de la partícula) Cuanto mayor es la masa m y la rapidez v de una partícula, mayor es la magnitud de su cantidad de movimiento mv. La cantidad de movimiento es una cantidad vectorial con la misma dirección que la velocidad de la partícula. Por ejemplo un automóvil que viaja al norte a 0 m/s y un automóvil idéntico que viaja al este a 0 m/s al oeste tienen la misma magnitud de cantidad de movimiento (mv), pero diferentes vectores porque sus direcciones y sentidos son distintas. Para la resolución de problemas utilizaremos la cantidad de movimiento de una partícula en términos de sus componentes. Si la partícula tiene componentes de velocidad vx, vy y vz, entonces sus componentes de momento lineal px, py y pz están dadas por: px = m. vx py = m. vy pz = m. vz Estas tres ecuaciones de componentes son equivalentes a la ecuación []. Las unidades de la magnitud de la cantidad de movimiento son las de masa por rapidez; las unidades del SI son kg. m/s Si sustituimos la ecuación [], la definición de la cantidad de movimiento, en la ecuación [1], tenemos: F = dp [3] (segunda ley de Newton en términos de la cantidad de movimiento) La fuerza neta (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de la partícula. Ésta, y no F = m. a es la forma en que Newton planteó originalmente su segunda ley (aunque él llamó momentum a la cantidad de movimiento), y sólo es válida en marcos de referencia inerciales. Según la ecuación [3], un cambio rápido de cantidad de movimiento requiere una fuerza neta grande, mientras que un cambio gradual cantidad de movimiento requiere una fuerza neta menor. 1

2 Teorema del impulso y la cantidad de movimiento La cantidad de movimiento de una partícula p = m. v y su energía cinética Ec = ½. m. v dependen de la masa y la velocidad de la partícula. Qué diferencia fundamental hay entre estas cantidades? Una respuesta puramente matemática es que la cantidad de movimiento es un vector cuya magnitud es proporcional a la rapidez, mientras que la energía cinética es un escalar proporcional al cuadrado de la rapidez. Sin embargo, para ver la diferencia física entre la cantidad de movimiento y energía cinética, necesitamos definir una cantidad íntimamente relacionada con la cantidad de movimiento: el impulso. Consideremos primero una partícula sobre la que actúa una fuerza neta constante durante un tiempo t, de t 1 a t. El impulso de la fuerza neta J, se define como el producto de la fuerza neta y el intervalo de tiempo: J = F (t - t 1 ) = F t [4] para fuerza neta constante El impulso es una cantidad vectorial; su dirección y sentido es el mismo que el de la fuerza neta y su magnitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta y el tiempo en que ésta actúa. Las unidades de impulso en el SI son N. s Para ver para qué nos sirve el impulso, volvamos a la segunda ley de Newton planteada en términos de cantidad de movimiento, la ecuación [4]. Si la fuerza neta F es constante, dp/ también es constante. En tal caso, dp/ es igual al cambio total de la cantidad de movimiento p - p 1 durante el lapso, dividido entre el intervalo: t - t 1 F = p - p 1 t - t 1 Si multiplicamos esta ecuación por (t - t 1 ), tenemos F (t - t 1 ) = p - p 1 l comparar esto con la ecuación [4] obtenemos un resultado conocido como teorema del impulso y la cantidad de movimiento: J = p - p 1 El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese intervalo. El teorema del impulso y la cantidad de movimiento también se cumple si las fuerzas no son constantes. Para comprobarlo, integramos los dos miembros de la segunda ley de Newton F = dp/ con respecto al tiempo entre los límites t 1 y t : La integral de la izquierda es, por definición, el impulso de la fuerza neta durante este intervalo: definición general de impulso Con esta definición, el teorema del impulso y la cantidad de movimiento J = p - p 1 Ecuación válida aun si la fuerza neta varía con el tiempo Podemos definir una fuerza neta media F med tal que, aun si no es constante, el impulso J esté dado por J = F med. (t - t 1 ) Si F es constante, F = F med y la ecuación anterior se reduce a la ecuación [4]

3 La Figura 1 muestra una gráfica de la componente x de la fuerza neta Fx en función del tiempo durante un choque. Esto podría representar la fuerza sobre una pelota que está en contacto con el pie de un futbolista entre los tiempos t 1, y t. La componente x del impulso durante ese intervalo está representada por el área roja bajo la curva entre t 1 y t, que es igual al área rectangular delimitada por t 1, t, y F med x, así que F med x. (t - t 1 ) es igual al impulso de la fuerza variable real durante el mismo intervalo. Observe que una fuerza grande que actúa durante un breve tiempo puede tener el mismo impulso que una fuerza menor que actúa por un tiempo más prolongado si las áreas bajo las curvas fuerza-tiempo son iguales. En esos términos, un airbag de un automóvil provee el mismo impulso al conductor que el volante o el tablero pero aplicando una fuerza menos intensa y menos dañina durante un tiempo más prolongado. F x Área = J x = t 1 t F x. F med x Área = J x = F med x. t t 1 t t t Figura 1 8. Conservación de la cantidad de movimiento El concepto de cantidad de movimiento tiene especial importancia en situaciones en las que dos o más cuerpos interactúan. Consideremos el sistema de la Figura de dos partículas que interactúan entre sí, donde se desprecia el rozamiento. v x v x N N F sobre F sobre P Figura P Cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Por lo tanto, los impulsos que actúan sobre las dos partículas son iguales y opuestos, y los cambios de cantidad de movimiento de las dos partículas serán iguales y opuestos. En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí se denominan fuerzas internas; las ejercidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto externo son fuerzas externas. En el sistema de la Figura, las fuerzas internas son F sobre, ejercida por la partícula sobre la, y F sobre ejercida por la partícula sobre la. La suma de las fuerzas externas (N y P) se anula, así que tenemos un sistema aislado. De la ecuación [3] las razones del cambio de la cantidad de movimiento de ambas partículas son: 3

4 F sobre = dp F sobre = dp Como estas dos fuerzas por la tercera ley de Newton son iguales y opuestas. Su suma es igual a cero, lo lo tanto si las sumamos resulta: dp + dp = 0 La razón de cambio de la cantidad de movimiento total es cero. Por lo tanto es constante, aunque la cantidad de movimiento individual de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar. Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Ésta es la forma más sencilla del principio de conservación la cantidad de movimiento, el cual es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton. La utilidad de este principio radica en que no depende de la naturaleza detallada de las fuerzas internas que actúan entre miembros del sistema, así que podemos aplicarlo incluso si (como suele suceder) sabemos muy poco acerca de las fuerzas internas. Usamos la segunda ley de Newton para deducir este principio, así que debemos tener cuidado de usarlo sólo en marcos de referencia inerciales. Podemos generalizar este principio para un sistema con cualquier número de partículas,, C, que sólo interactúan entre sí. El momento lineal total del sistema es: P = p + p + p C + = m. v + m. v + m C. v C + Cantidad de movimiento de un sistema de partículas La razón total de cambio de la cantidad de movimiento del sistema entero es cero siempre que la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero. Las fuerzas internas pueden cambiar la cantidad de movimiento de las partículas individuales del sistema, pero no la cantidad de movimiento total del sistema. 8.3 Conservación de la cantidad de movimiento y choques Se define como choque a la situación en la que dos cuerpos ejercen uno sobre otro, fuerzas muy grandes en tiempos muy cortos. Utilizaremos la ley de conservación de la cantidad de movimiento para describir lo que ocurre cuando chocan dos cuerpos. Relacionaremos condiciones finales e iniciales del sistema. La cantidad de movimiento del sistema aislado se conserva; por lo tanto durante la interacción del choque puede aplicarse (tomando como sistema a los cuerpos que intervienen en el choque), y lo que generalmente no se conserva es la energía cinética del sistema. Colisiones rectilineas: Tipos de Choques: Choque inelástico: es una colisión en la que se conserva la cantidad de movimiento del sistema; pero no se conserva la Energía cinética. Por ejemplo el choque de una pelota contra la pared. En este caso parte de la Energía cinética se transfiere en deformación, sonido, etc. Choque perfectamente ó totalmente inelástico: ocurre cuando dos objetos que chocan quedan unidos. Por ejemplo si un meteorito choca con la Tierra queda incrustado y hundido. Se conserva la cantidad de movimiento. Choque elástico: Se conserva la Energía cinética movimiento. del sistema y se conserva la cantidad de 4

5 Choque inelástico o o v 1x v 1x v x v x 1: NTES DEL CHOQUE : DESPUES DEL CHOQUE Se conserva la cantidad de mocimiento antes y después del choque: p 1x = p x m. v 1x + m. v 1x = m. v x + m. v x No se conserva la Energía cinética: EC 1 > EC Choque totalmente inelástico Se conserva la cantidad de mocimiento antes y después del choque: p 1x = p x m. v 1x + m. v 1x = m. v x + m. v x o o v 1x v 1x v x NTES DEL CHOQUE DESPUES DEL CHOQUE m. v 1x + m. v 1x = (m + m ). v x Choque elástico Se conserva la cantidad de movimiento antes y después del choque: p 1x = p x m. v 1x + m. v 1x = m.. v x + m. v x m. ( v 1x - v x ) = m ( v x - v 1x ) (*) Se conserva la Energía cinética antes y después del choque: EC 1 = EC ½ m. v 1 + ½ m. v 1 = ½ m. v + ½ m. v Como el choque es en una dirección: ½ m. v 1x + ½ m. v 1x = ½ m. v x + ½ m. v x m. ( v 1x - v x ) = m ( v x - v 1x ) haciendo diferencia de cuadraros: m. ( v 1x - v x ). ( v 1x + v x ) = m ( v x - v 1x ). ( v x + v 1x ) (**) Dividiendo (**) por (*) queda: v 1x + v x = v x + v 1x o bien: v 1x - v 1x = v x - v x (***) Por lo tanto las velocidades relativas antes y después de un choque elástico en la misma dirección son iguales pero de sentido contrario. 5

6 Coeficiente de Restitución De (***) v 1x - v 1x = - (v x - v x ) 1 = - (v x - v x ) (v 1x - v 1x ) = e e: Coeficiente de Restitución Si e = 1 choque elástico Si e = 0 choque totalmente inelástico Si e está entre 0 y 1 choque inelástico Choques inelásticos en dos dimensiones: Es una colisión en la que se conserva la cantidad de movimiento del sistema (eje x e y); pero no se conserva la Energía cinética. Ejemplo: 1: NTES DEL CHOQUE : DESPUES DEL CHOQUE y y v v 1 x v 1x = 0 x x v Conservación de la Cantidad de Movimiento: EJE x : m.. v 1x + m. v 1 = m.. v x + m. v x m.. v 1x = m.. v x + m. v x m.. v 1 = m.. v. cos + m. v. cos EJE y: m.. v Y + m. v Y = 0 m.. v. sen - m. v. sen = 0 Péndulo alístico El péndulo balístico (Figura 3) es un aparato que se usa para medir la rapidez de un proyectil que se mueve rápidamente, como una bala. Un proyectil de masa m se dispara hacia un gran bloque de madera de masa M suspendido de unos alambres ligeros. El proyectil se incrusta en el bloque y todo el sistema se balancea hasta una altura h. Cómo se determina la rapidez del proyectil a partir de una medición de h? El proyectil y el bloque forman un sistema aislado. Establecemos: 1: inmediatamente antes de la colisión. : como inmediatamente después de la colisión. m v 1 m Figura 3 m + m v x v 3x = 0 h 6

7 3: Cuando se detiene y alcanza la altura máxima h Ya que el proyectil se incrusta en el bloque, la colisión entre ellos se considera como totalmente inelástica. Por lo tanto se conserva la cantidad de mocimiento antes y despues del choque: p 1x = p x m. v 1x + m. v 1x = m. v x + m. v x m. v 1x = (m + m ). v x v m. v 1x (*) x = (m + m ) Para el proceso durante el que la combinación proyectil-bloque se balancea hacia arriba a una altura h (y termina en la posición 3 ), se considera un sistema diferente, el del proyectil, el bloque y la Tierra. Esta parte del problema se clasifica como un sistema aislado para energía sin fuerzas no conservativas en acción. La energía cinética total del sistema inmediatamente después de la colisión: Ec = ½. (m + m ). v Como v = v x se sustituye la expresión de (*) en la anterior Ec = ½. (m + m ). m. v 1x Ec = ½. (m + m ). m. v 1x (m + m ) Ec = m. v 1x. (m + m ) Esta energía cinética del sistema inmediatamente después de la colisión es menor que la energía cinética inicial del proyectil, como se esperaba en una colisión inelástica. La energía potencial gravitacional del sistema se define como cero para la posición. Por lo tanto: Ep = 0 En 3: la energía cinética es nula (v 3 = 0) y la energía potencial es igual: Ep 3 = (m + m ). g. h plicando el principio de conservación de la energía mecánica del sistema entre y 3: Ec + Ep = Ec 3 + Ep 3 Ec = Ep 3 m. v 1x = (m + m ). g. h. (m + m ) Despejando v 1x : v 1x = v 1x = (m + m ).. g. h. m (m + m ).. g. h. m 7

8 Centro de masa Un sistema mecánico complejo se comporta como si toda su masa estuviera concentrada en un punto que se denomina centro de masa (C.M.) Supongamos que tenemos varias partículas con masas m 1, m, etcétera. El vector posición del centro de masa r cm se puede expresar en términos de los vectores de posición r 1, r... de las partículas como: y m 1 m m 1. r 1 + m. r +... m i. r i (*) r cm = = m 1 + m +.. m i r 1 r r 3 m 3 r 4 x z m 4 En la terminología estadística, el centro de masa es una posición media ponderada por la masa de las partículas. Las coordenadas de m 1 son (x 1, y 1 ), las de m, (x, y ), y así sucesivamente. Definimos el centro de masa del sistema como el punto con coordenadas (x cm, y cm ) dadas por: X cm = m 1. x 1 + m. x +... m 1 + m +... Y cm = m 1. y 1 + m. y +... m 1 + m +... En el caso de cuerpos sólidos homogéneos: Si un cuerpo tiene un centro geométrico, por ejemplo un cubo de azúcar, como una bola de billar, o una lata de cerveza, el centro de masa está en el centro geométrico. Si un cuerpo tiene un eje de simetría, como una rueda o una polea, el centro de masa está sobre ese eje. El centro de masa puede estar fuera del cuerpo. cubo esfera cilindro Centro de masa Movimiento del centro de masa Cuando las partículas se mueven. Las componentes x e y de velocidad del centro de masa, v cm-x y v cm-y son las derivadas de x cm e y cm respecto al tiempo. v 1x = d x1 / l derivar las ecuaciones respecto al tiempo, obtenemos: v cm-x m 1. v x1 + m. v x +... m 1 + m +... v cm-y m 1. v Y1 + m. v Y +... m 1 + m +... Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al derivar la ecuación (*) respecto al tiempo: m 1. v 1 + m. v +... v cm = = m 1 + m +.. m i. v i m i Si anotamos la masa total con M. sí, podemos reescribir la ecuación anterior como: V cm. M = m 1. v 1 + m. v +... = P 8

9 La cantidad de movimiento total es igual a la masa total multiplicada por la velocidad del centro de masa. En un sistema de partículas sobre el que la fuerza neta externa que actúa es cero, de manera que la cantidad de movimiento total P es constante, la velocidad del centro de masa también es constante: Fuerzas externas y movimiento del centro de masa Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas no es cero, la cantidad de movimiento total no se conserva y la velocidad del centro de masa cambia. Veamos la relación entre el movimiento del centro de masa y las fuerzas que actúan sobre el sistema. Las ecuación (**) da la velocidad del centro de masa en términos de las velocidades de las partículas individuales. Si derivamos las ecuaciones respecto al tiempo para demostrar que las aceleraciones están relacionadas de la misma forma a cm = dv cm / La aceleración del centro de masa; entonces: M. a cm = m 1. a 1 + m. a +... m 1. a 1 es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula, y así sucesivamente, por lo que el lado derecho de esta ecuación es igual a la suma vectorial F de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas. Podemos clasificar cada fuerza como interna o externa. La suma de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas es entonces: F = F ext + F int = M. a cm Por la tercera ley de Newton, todas las fuerzas internas se cancelan en pares, y F int = 0 Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Hay otra forma útil de describir el movimiento de un sistema de partículas. Usando a cm = dv cm / La masa total del sistema M es constante, así que podemos incluirla en la derivada. Por último, observamos que, si la fuerza externa neta es cero esta ecuación dice que la aceleración del centro de masa es cero. sí que la velocidad del centro de masa es constante. La cantidad de movimiento total también es constante. Esto reafirma nuestro planteamiento del principio de conservación de la cantidad de movimiento. Las fuerza internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento total (**) M. dv cm d (M. vcm) dp M. a cm = = = F ext = dp V cm = P M F ext = M. a cm (cuerpo o conjunto de partículas) (cuerpo extendido o sistema de partículas) 9