PRÁCTICA DIFERENCIAL DE SUPERFICIE CURSO Práctica 5 (20- III-2018)

Transcripción

1 PRÁCTICA IFERENCIAL E UPERFICIE CURO Prácticas Cálculo II Objetivos Práctica 5 (0- III-08) o o Profundizar en la comprensión de la integral de superficie de un campo escalar mediante la aplicación al cálculo de áreas. Utilizar representaciones gráficas como apoo para la comprensión de conceptos. Área del paralelogramo determinado por dos vectores i u v son dos vectores el módulo del producto vectorial paralelogramo determinado por esos vectores. u = u i + u j+ u k 3 v = v i + v j+ v k 3 u u v = u u u i j 3 v v v 3 v es el área del k Área de un paralelogramo de su proección Considera los vectores = (., 0, 0) = ( 0,.3, 0) V,V los vectores T : vector del plano XZ que se proecta sobre V forma con él radianes. p a = 6 p T : vector del plano YZ que se proecta sobre V forma con él b = 8 radianes. e pide: a) Calcular el área del paralelogramo formado por V V b) Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores T T. c) Observa que la relación entre las dos áreas es el módulo del vector normal a los vectores T T. Puedes comprobar los resultados con auda de la herramienta Indicación Área de un paralelogramo de su proección que se encuentra en la página

2 PÁGINA IFERENCIAL E UPERFICIE Plano normal a una superficie definida por z f (, ) os vectores tangentes a en el punto (, ) son: El producto vectorial es = diferenciable (, 0, f (, )) ( 0,, f (, )) T = T = i j ( ) ( ) ( ) N = T T = = - - k 0 f, f,, f,, 0 f, El área de la porción T del plano tangente determinada por estos dos vectores es f, f, N = T T = + + Plano tangente ada la superficie definida por z = + sobre el rectángulo R = é, ù é, 3ù êë úû êë ú se pide: û (a) Representar la superficie sobre R. (b) Obtener a mano la ecuación del plano tangente en el punto (,). (c) Representar en la misma figura el vector normal N a la superficie en el punto (,) los vectores directores del plano tangente., 0,, 0,, T = f T = f, ( ( )) ( ( )) Indicación %Este código no corresponde a la %solución del ejercicio pero puede servir de auda %Adáptalo adecuadamente. =linspace(,,0); =linspace(,3,0); [X,Y]=meshgrid(,); Z=5-X.^-Y.^; mesh(x,y,z) hold on quiver3(,,3,,0,-,,linewidth,3) quiver3(,,3,0,,-4,,linewidth,3) quiver3(,,3,,,-,) ZT=3-*(X-)-*(Y-); plot3(,,3,o) mesh(x,y,zt) mesh(x,y,0*x) hold off

3 PRÁCTICA 5 PÁGINA 3 e considera un rectángulo R de dimensiones la porción de plano tangente T que se proecta sobre R. Este paralelogramo está determinado por los vectores El área de T es: (, 0, (, )) ( 0,, (, )) u = f u = f,, T = u u = + f + f = N Área de la porción del plano tangente su proección 3 Considerando la superficie del ejercicio anterior rectángulo R = é, ù é, 3ù êë úû êë ú se pide: û z = + sobre el (a) Calcula el área del rectángulo R. (b) Calcula el área de la porción T de plano tangente en el (,) que se proecta sobre el rectángulo R. área T = N área R. Nota: Comprueba que se verifica: olución a) área ( R ) = b) área ( T ) = 6 Elemento de superficie de definida por z f (, ) = diferenciable i R es un rectángulo de dimensiones T es la porción del plano tangente a en el punto(, ) que se proecta sobre R se aproima el área de por el área del plano tangente T

4 PÁGINA 4 IFERENCIAL E UPERFICIE» T = + f P + f P,, d = + f + f dd Integral de superficie de un campo escalar La integral del campo escalar gz (,, ) sobre la superficie se epresa con la siguiente òò notación: gzd (,, ) donde, es una superficie suave. gz (,, ) es un campo escalar continuo sobre. d, es la diferencial de superficie. Caso. es la superficie definida por z = f(, ) diferenciable òò òò Observación: i (,, ) gzd gf f f da (,, ) = (,, (, )) (, ) + (, ) + gz =, área ( ) = òò d 4 Área superficial Calcular el área de la superficie z = ( ) planos z= z= comprendida entre los Indicación La superficie su proección sobre el plano XY se muestra en la siguiente figura: Una superficie suave es imagen de una función de clase C definida en un dominio.

5 PRÁCTICA 5 PÁGINA 5 ( ) { } d = + + dd =, / + p òò òò ò ò área = d = dd = + 4r rdrdq coordenadas polares 0 olución p ( 33-7) Implícita i la superficie viene dada en forma implícita o paramétricas Fz (,, ) = 0 La diferencial de superficie d = ( F ) + ( F ) + ( F ) z F z dd Paramétricas = uv (, ), = uv (, ), z= zuv (, ), con ( uv, ) Î el vector de posición es r(, uv) = uv (, ) i + uv (, ) j+ zuv (, ), k (, uv) Î La diferencial de superficie d = r r dudv u v Integral de superficie de un campo escalar La integral del campo escalar gz (,, ) sobre la superficie se epresa con la siguiente notación: gzd (,, ) donde, òò

6 PÁGINA 6 IFERENCIAL E UPERFICIE es una superficie suave. gz (,, ) es un campo escalar continuo sobre. d, es la diferencial de superficie. Caso. i es la superficie definida por F(,, z ) = 0 òò òò ( F ) + ( F ) + ( F ) z g(,, z) d = g(,,(, z )) dd F Caso 3. i es la superficie definida en paramétricas = uv (, ), = uv (, ), z= zuv (, ), con(, uv) Î z Entonces òò òò r r gzd (,, ) = guv ((, ),(,),(,)) uv zuv u v dudv 5 Área de superficie Calcula las integrales que permiten calcular el área de las siguientes superficies: a. Porción de la superficie z = ( ) + - comprendida entre los planos z= z=4 b. uperficie esférica + + z = situada por encima del plano z =. c. Cilindro + z = a de altura h. d. Esfera + + z = a olución Este es el ejercicio propuesto número 4 del tema 3. (a) ( ) p - 6 c) p ah d) 4a p Plantea la integral calcula el resultado utilizando el comando int de Octave/Matlab int(función,variable,v_min_var,v_ma_var) Importante: Para utilizar el cálculo simbólico en Octave debes instalar el paquete smbolicwin p bundle.. Para ello sigue los siguientes pasos:. Teclea Una superficie suave es imagen de una función de clase C definida en un dominio.

7 PRÁCTICA 5 PÁGINA 7 escarga el fichero smbolic win p bundle...zip sitúalo en la carpeta activa de Octave. 3. esde la ventana de comandos teclea: pkg install smbolic-win-p-bundle-...zip 4. Cada vez que se quiera usar smbolic habrá que cargarlo tecleando pkg load smbolic Ejemplo para comprobar si se ha cargado correctamente, teclear >> pkg load smbolic >> sms %eclaramos que la variable es simbólica >> int(^,,,)