Campos en R 3 Campos escalares y vectoriales

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Yolanda Vidal Córdoba
hace 6 años
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1 Campos en R 3 Campos escalares y vectoriales

2 Concepto de campo Es una función una correspondencia- que a cada punto r de un dominio de un espacio (normalmente R 3 ) le hace corresponder un valor. Generalmente el espacio de definicion es R 3, pero tambien hay campos que están definidos sobre superficies (2D) o lineas (1D)

3 Campo escalar a cada punto r de un dominio de un espacio le hace corresponder un valor escalar; es decir una magnitud que queda determinada por un número real (o complejo) Ejemplos: temperatura, presión, concentración de una disolucion, densidades, la función de onda en Mecánica Cuántica Aunque en muchos casos el espacio de definición es R 3 en algunos casos puede ser una superficie (vgr: densidad superficial) o una linea (corriente en un hilo) En R 3 cualquier punto en el espacio se puede representar por un conjunto de 3 números, llamados coordenadas. Asi en coordenadas cartesianas r = xu + yu + zu donde u x, u y, y u z son los llamados vectores unitarios. Por lo tanto cualquier campo escalar se puede escribir como f = f( r! ) = F ( c ) ( x, y,z) Pero igualmente se puede determinar en coordenadas polares mediante las coordenadas r, θ y φ. f = f (! r) = F ( p) (r,!, ) o en otros sistemas de coordenadas (cilíndricas, bipolares, etc) x y z

4 Campo vectorial a cada punto r de un dominio de un espacio (normalmente R 3 ) le hace corresponder un valor vectorial; es decir una magnitud que queda determinada por su módulo, dirección y sentido. Ejemplos: campos de fuerzas (gravitatoria, eléctrica), velocidad de un fluido, campo magnético En coordenadas cartesianas cualquier campo de fuerzas se puede escribir como:! F = F! ( r! ) = F! ( x, y,z) = F x (x, y,z) u! x + F y ( x, y,z) u! y + F z (x, y,z ) u! z! es decir por medio de tres funciones de r, que son las componentes del campo.

5 Representacion gráfica de un campo escalar definido en R (1 Dimension) y= f(x)

6 Representacion cráfica de un campo escalar definido en el espacio R 2 (2-Dimensiones) z = f(x,y)

Si el campo esta definido por z = f(x,y), entonces las curvas de nivel están definidas por f(x,y)=k Si

7 Representacion gráfica de un campo escalar definido en el espacio R 2 Curvas de nivel Las curvas de nivel son el conjunto de puntos donde el campo toma los mismos valores. Si el campo esta definido por z = f(x,y), entonces las curvas de nivel están definidas por f(x,y)=k Si cortamos la gráfica de la función z=f(x,y) por planos horizontales (z=kte) obtenemos curvas a diferentes alturas (diferentes valores de z)

8 Si proyectamos las curvas f(x,y)=k en el plano XY, obtenemos las curvas de nivel que quedan caracterizadas por el valor de z al que corresponden (cota)

9 Ejemplo: plano topográﬁco

10 Ejemplo: los mapas de isobaras. Realmente la presion esta definida en R 3, pero los mapas de isobaras representan isobaras a una aljtud dada, de forma que es un campo en dos dimensiones.

11 Ejemplo: los mapas de isotermas. Tambien aquí la temperatura esta definida en R 3, pero se ujlizan mapas a altura constante, reduciendo el problema a dos dimensiones. Aquí el color sirve para indicar el valor del campo en la curva de nivel.

12 Energy (ev) Re!(ky,") Mg Al O a) Im#(ky,") b) MgO Al Energy (ev)! s ky (a.u.) ky (a.u.)

13 En tres dimensiones, el conjunto de puntos donde el campo toma el mismo valor viene dado por la ecuación: f(x,y,z)=k que define una superficie: superficie de nivel Ejemplo: sea el campo escalar f ( x, y, z) = x + y z La condicion de superficie de nivel es 2 2 c = x + y + z 2

14 Representacion gráfica de un campo vectorial Lineas de campo Hemos visto! F = F! ( r! ) = F! ( x, y,z) = F x (x, y,z ) u! x + F y ( x, y,z) u! y + F z (x, y,z ) u! z Representar correctamente este campo supone representar en cada punto del espacio un vector: no es sencillo.

15 Representacion gráfica de un campo vectorial Ejemplo en 2D! F = F! ( r! ) = F! Supongamos que queremos representar el campo ( x, y ) = "y u! x + x u! y! F (1,1) = " u! x + u! y! F ( "1,1) = " u! x " u! y! F ( "1,"1) = u! x " u! y! F (1,"1) =! u x +! u y Si vamos añadiendo el valor del campo en más puntos donde hemos reescalado el valor del modulo para que la figura sea legible

16 Generalmente para visualizar un campo vectorial se emplean las llamadas lineas de campo, que ponen el énfasis en la dirección del campo en cada punto, más que en la intensidad del campo (modulo del campo) Las lineas de campo se definen de forma que el campo en cada punto sea tangente a la linea. Ejemplo: El campo eléctrico E (r) = k r r 3 Se pierde información sobre la intensidad del campo

17 Ejemplo: campo creado por un sistema de dos cargas

18 Ejemplo: campo magnéjco creado por un imán

19 Ejemplo: campo magnéjco creado por un solenoide

20 Ejemplo: campo magnéjco de la Jerra

21 Imágenes en una cámara de niebla en este caso el campo (velocidad de las parjculas cargadas) tambien depende del Jempo, y lo que se representa es el valor en un intervalo de Jempo.

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