Trabajo Práctico Nro. 3. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Funciones Armónicas.

Transcripción

1 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3 Trabajo Práctico Nro. 3 Teorema de auchy. Fórmula integral de auchy. Funciones Armónicas.. alcular las siguientes integrales de línea: a) Re(z) a lo largo de las siguientes trayectorias: (d) z : semicircunf. superior de z = desde z = hasta z 2 =. 2 z +3 : segmento del eje real que une z = yz 2 =2. π exp(πz) : contorno del cuadrado formado por z =, z 2 =, z 3 =+i y z 4 =i, recorrido en sentido positivo. 2. Sea la circunferencia : z a = r e iθ ( θ 2π, r > ) recorrida en sentido 2π positivo. Demostrar que f(z) = ir f(a + r e iθ ) e iθ dθ. 3. Probar, sin calcular la integral, que: (a) z : segmento que une los puntos z =i y z 2 =. z z+ 8 3 π : circunferencia z = 2, recorrida en sentido positivo. 3 z 2 + π : circunferencia z = 2, en el primer cuadrante. 3 e iz (d) lím = : semicircunferencia superior de z =R. R + z 2 +a2

2 2 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro a) Enuncie el teorema de auchy Goursat. b) Explique cuándo es válido f(z) = f(z), para dos curvas :[a, b], λ:[a, b] tales que (a)=λ(a) y=λ (independencia del camino). Justificar. c) Es cierto que si D es un dominio en, yf H(D), entonces cualquiera sea el contorno cerrado D, resulta f(z) =? Justificar. d) Es cierto que si D es un dominio en,yf es continua en D, y si cualquiera sea el contorno cerrado D, resulta f(z) =, entonces f H(D)? λ Justificar. 5. alcular, en cada caso, la integral de línea de la función f a lo largo de los contornos indicados: (a) f(z)= ={z/ z =}. z 2 +2z+2 f(z)=z 3 f(z)=e z (d) f(z)=z sen(z 2 ) (i) = {z/ z =}, (ii) : recta que une los puntos z = y z =i, (iii) : arco de circunferencia de centro y radio que une los puntos z = y z =i. (i) = {z/ z =π}, (ii) : un contorno que une los puntos z = iπ y z =iπ. : contorno que une los puntos z = iπ y z =iπ. 6. a) Si f es holomorfa en D y sobre los contornos, y 2, pruebe que el valor de la integral de f sobre toda la frontera de D es cero. (Obs: Esto significa que, bajo ciertas condiciones, se puede extender el teorema de auchy a dominios múltiplemente conexos).

3 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3 3 b) A partir del resultado anterior, analice bajo qué condiciones f(z) = f(z) siendo f(z) = (z a)(z b), y 2 como 2 se indican en el gráfico. 7. alcular las siguientes integrales: (a) : contorno que encierra al origen, recorrido una vez en sentido z antihorario. : contorno que encierra a z =2 i, recorrido una vez en sentido z 2+i antihorario. : contorno que encierra a z =c, recorrido una vez en sentido z c antihorario. Analice en qué varía el resultado si se recorre n-veces, n N. 8. Aplicando la fórmula integral de auchy, integrar la función f(z) = 2z2 4 z 2 + lo largo del círculo de radio con centro en: a (a) z =i z = z = i 2 (d) z = recorrido una vez en sentido antihorario. 9. alcular la integral de línea de las siguientes funciones: (i) f(z) = z3 z (z +) 2 (ii) f(z) = ez z n para n> (iii) f(z) = sobre el círculo de radio 2 y centro en: (a) z = z =2+i. alcular las siguientes integrales: z 2 +4 a) z z = z 4 (z ) 2 (z 3)

4 4 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3 b) c) z =4 z z 3 (z 2 +)(z 2 +4) z = 3 2. alcular todos los posibles valores de la integral contornos cerrados que no pasen por: z (z 2 ) para diferentes (a) z = z = z = 2. Indicar, justificando en cada caso, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) f(z) Si f(z) es holomorfa en int(), entonces (z a) = 2 f (z) (z a) a/, donde es un contorno cerrado en. b) Si f(z) es holomorfa en un dominio D del plano complejo, entonces la integral sobre un contorno con extremo inicial z y extremo final z,es independiente del camino. 3. Probar que si f(z) es holomorfa en un dominio D y si la circunferencia z a =R está en D, entonces: f(a) = 2π f(a + Re it ) dt. 2π Este resultado puede interpretarse como un teorema del valor medio que expresa el valor de f en el centro de la circunferencia como un promedio de los valores sobre la misma. 4. Sea f(z) una función holomorfa en z a <R.Si<r<R, demostrar que f (a) = 2π f(a + re it ) e it dt. 2πr 5. Es cierto que ninguna función holomorfa en, que no sea idénticamente nula, puede tener límite en? Funciones Armónicas 6. Determinar las condiciones que deben cumplir a, b y c R para que u(x, y) =ax 2 +2bxy + cy 2 sea armónica en. 7. Determinar si las siguientes funciones son armónicas indicando el dominio en que lo son. En caso afirmativo, hallar la conjugada armónica y la función holomorfa u + iv que las tiene como parte real u o imaginaria v.

5 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3 5 (a) u(x, y) =x 2 y 2 u(x, y) =e x cos y v(x, y)=2x ( y) (d) u(x, y) =ln(x 2 +y 2 ) (e) u(x, y) =e x (x cos y y sen y) (f) v(x, y)=2y ( x) ( y (g) v(x, y) = arctan x) 8. a) Es cierto que si las funciones u(x, y) yv(x, y) son armónicas en un dominio D del plano entonces f(z) =u(x, y)+iv(x, y) es holomorfa en D? b) Es la suma de funciones armónicas en un dominio D una función armónica en D? Y el producto? Justificar. 9. a) Sea g 2 (R). Analice en cada caso, si existe una función armónica no constante u(x, y) del tipo indicado y, si existe, calcúlela: (i) u(x, y) =g(ax + by) (ii) u(x, y) =g(x 2 +y 2 ) b) Analice en cada uno de los casos anteriores y halle, si existe, la conjugada armónica, indicando el dominio de validez. 2. a) Probar que la ecuación de Laplace en coordenadas polares es: r 2 u rr + ru r + u ϕϕ =. b) Para cada n N sea u n (r, ϕ) =(a n cos nϕ + b n sen nϕ) r n. Probar que u n (r, ϕ) es armónica. c) Hallar la conjugada armónica ũ n (r, ϕ). 2. Aplicaciones sobre armónicas conjugadas: a) Hallar la ecuación de las líneas de fuerza en una región en que la distribución de potencial es: ( ) y (i) V (x, y) = arctg (ii) V (x, y) =2x 3 6xy 2 x + b) Encontrar el potencial complejo para un fluido moviéndose con velocidad constante v, en una dirección que forma un ángulo ϕ con el semieje real positivo. c) Determinar la ecuación de las líneas de corriente y de las líneas equipotenciales del problema anterior. d) Encontrar el potencial complejo debido a una línea cargada con una carga q por unidad de longitud, ubicada perpendicularmente al plano z por z =.