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1 MATEMÁTICAS II ÁLGEBRA Y ANÁLISIS ACTIVIDADES PAU Ejercicio. Condera las matrices A = m, B = y C =. (a) Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + B = C? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para m =. Ejercicio. Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro a. Ejercicio. Calcula el valor de los guientes determinantes teniendo en cuenta estos datos: a) c) n p l m l m n p A = l m n p Ejercicio. Condera las matrices b) 6A d) A - A = - (a) Determina A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa. (b) Resuelve la ecuación matricial BA - A = AB - X. Ejercicio 5. Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro k. Ejercicio 6. Se sabe que. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los guientes determinantes:

2 (a) (b) (c) Ejercicio 7. a) Para qué valores de k tiene solución la ecuación AX = -AX + B, endo B y k A? b) Resuelve la ecuación anterior para k =. Ejercicio 8. Calcula en función de los valores de, el rango de la matriz M Ejercicio 9. Sean las matrices A =,B =, y C = (a) Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala (b) Determina la matriz X que cumple que A.X + C.B t = B.B t, endo B t la matriz traspuesta de B. Ejercicio. Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro m. Ejercicio. Determina la función f: IR IR sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa = es 5 y =. Ejercicio. Sea Ln( ) el logaritmo neperiano de y sea f:(-, ) IR la función definida por f() = Ln( ). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ). Ejercicio. Denotamos por M t a la matriz traspuesta de una matriz M. Condera 6 9 C y B A (a) Calcula (AB) t y (BA) t. (b) Determina una matriz X que verifique la relación X + (AB) t = C. Ejercicio. Sea f la función definida por f() = 9 para y. (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f.

3 Ejercicio 5. Sea f: IR IR la función definida por 5 f (a) Esboza la gráfica de f. (b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta =. Ejercicio 6. Condera el stema de ecuaciones my z y z m y mz (a) Clafícalo según los valores del parámetro m. (b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 7. Sea la función f: IR IR definida por f (a) Calcula, es poble, las derivadas laterales de f en =. (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. Ejercicio 8. De la función f: (-, ) IR se sabe que f () = ( ) (a) Determina f. (b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ). Ejercicio 9. (a) Clafica el guiente stema según los valores del parámetro m (b) Resuelve el stema anterior para m = 6. my mz m y z y que f() =. Ejercicio. De la función f :IR IR se sabe que f () = + + y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(, ). Halla la epreón de f. Ejercicio. Dadas la parábola de ecuación y = + y la recta de ecuación y = +, se pide: (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola. (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola. Ejercicio. Sea f: IR IR la función dada por f() = a + b + c + d. Calcula a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene un punto de infleión en Q = (-, ) y que la tangente a dicha gráfica en el punto M = (, ) es horizontal. Ejercicio. Halla el área del recinto limitado por las curvas y = e +, y = e - y =. Ejercicio. Resuelve la ecuación matricial A X = B, endo

4 A y B k y Ejercicio 5. Condera el stema de ecuaciones kz y 7z k (a) Halla todos los valores del parámetro k para los que el stema correspondiente tiene infinitas soluciones. (b) Resuelve el stema para los valores de k en el apartado anterior. (c) Discute el stema para los restantes valores de k. my z Ejercicio 6. Discute y resuelve el guiente stema según los valores de m: m y z y mz Ejercicio 7. Resuelve la ecuación matricial A X = B, endo A y B Ejercicio 8. a 5 (a) El determinante a vale cero para a =. comprueba esta afirmación n desarrollarlo e 8 a 5 indicando las propiedades de los determinantes que apliques. (b) Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Justifica la respuesta. b Ejercicio 9. Condera el stema de ecuaciones escrito en forma matricial (a) Discute el stema según los valores del parámetro b. (b) Resuelve el stema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio. Resuelve la ecuación. b b b y z my ( m ) z Ejercicio. Condera el stema de ecuaciones y z y z (a) Halla todos los pobles valores del parámetro m para los que el stema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas. (b) Resuelve el stema para los valores de m obtenidos en el apartado anterior. (c) Discute el stema para los restantes valores de m. Ejercicio. Calcula a y b sabiendo que la función f: IR IR definida por: es derivable. a 5 f a b Ejercicio. Calcula: lim e ( ) sen Ejercicio. Determina una función polinómica de grado sabiendo que verifica que alcanza un máimo en =, que su gráfica pasa por el punto (, ) y que la recta de ecuación y = es tangente a su gráfica en el punto de abscisa =.

5 Ejercicio 5. De entre todos los rectángulos de kilómetros de perímetro, calcula las dimenones del que tiene área máima. Ejercicio 6. Sea f la función definida para - por f (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. (a) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. Ejercicio 7. Condera la función f: IR IR definida por f e (a) Calcula los límites laterales de f en =. Es f continua en =? (b) Calcula el valor de la derivada de f en =. Ejercicio 8. Siendo Ln() el logaritmo neperiano de, calcula lim Ln Ejercicio 9. Sea f la función definida para por f (a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f. (c) Esboza la gráfica de f. Ejercicio.Calcula: (a) lim (b) lim e Ejercicio. Calcula: lim sen tg Ejercicio. Una imprenta recibe el encargo de diseñar carteles en los que la zona impresa debe ocupar cm y hay que dejar cm de margen derecho, cm de margen izquierdo, cm de margen superior y cm de margen inferior. Calcula las dimenones que debe tener el cartel para que se utilice la menor cantidad de papel que sea poble. Ejercicio. (a) Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f: IR IR definida por e admite recta tangente en el punto (, ). f ( ) a b (b) Eisten constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g: IR IR definida por e admite recta tangente en el punto (, )? (Justifica la respuesta) g c d

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