PREPA N o 6. Continuidad, Teorema de Valor Intermedio y Recta Tangente.

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR MATEMÁTICAS I (MA-1111) Elaborado por Miguel Labrador Ing. Electrónica PREPA N o 6. Continuidad, Teorema de Valor Intermedio y Recta Tangente. Continuidad de funciones, aplicaciones del Teorema de Valor Medio y noción de derivada. Ejemplo 1: Solución: Determine los puntos de discontinuidad de 1, si x < 1 x 3, si 1 x 1 f(x) = 1 x, si 1 < x < 3 x, si x Continuidad en un punto. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si f(x) = f(c) x c Esto significa que se deben cumplir tres condiciones para poder afirmar que una función es continua: 1. que x c f(x) existe.. que f(c) existe, es decir, que c pertenece al dominio de de f. 3. que x c f(x) = f(c) En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones decimos que la función no es continua. Fíjese que tenemos una función definida a trozos, debemos verificar qué puntos cumplen con la condiciones para que f sea continua y ver cuáles son los que no, sin embargo no vamos a verificarlas para cada número real (esto es imposible). El siguiente teorema nos ayudará a resolver este inconveniente 1

2 Continuidad en un punto de funciones polinomiales y racionales. Una función polinomial es continua en todo número real c. Una función racional es continua en todo su dominio, es decir, en todo c salvo donde su denominador se anule. Este teorema nos permite decir lo siguiente: En los intervalos (, 1), ( 1, 1), (1, ) y (, + ) f está definida como un polinomio por tanto es continua para todos los valores dentro de dichos intervalos. Solo falta preguntarnos qué pasa en x = 1, x = 1, x =, fíjese que no hemos incluido estos valores en los intervalos puesto que allí la función cambia su comportamiento. Continuidad para x = 1: Si f es continua en algún punto entonces debe satisfacer la tres condiciones planteadas al principio, de otra forma no es continua. 1. Existe x 1 f(x)? Para esto debemos probar que los ites laterales existen y son iguales. f(x) = 1 = 1 x 1 x 1 Fíjese que hemos tomado f(x) = 1 ya que a la izquierda de 1 (x < 1) ese es su valor. A la derecha de 1 ( 1 x 1) tenemos que f(x) = x 3, por lo tanto: f(x) = x 1 + x 1 x3 = 1 + Luego los ites laterales existen y son iguales por lo tanto f(x) existe. x 1. Existe f( 1) ó x = 1 pertenece al dominio de f? Debemos ver si x = 1 pertenece al dominio de f. Note que este punto está incluido en el segundo trozo : f(x) = x 3, si 1 x 1, por lo tanto: f( 1) = ( 1) 3 = 1 (Si existe f( 1).) 3. Es cierto que f(x) = f( 1)? x 1 En efecto: f(x) = 1 y f( 1) = 1 x 1 = f(x) = f( 1) x 1 Ahora que hemos verificado la tres condiciones podemos decir que f es continua en x = 1.

3 Continuidad para x = 1: Verifiquemos las tres condiciones: 1. Existe x 1 f(x)? f(x) = x 1 x 1 x3 = 1 f(x) = 1 x = 0 x 1 + x 1 + En vista que la primera condición no se cumple podemos decir de una vez que f no es continua en x = 1. Continuidad para x = : Verifiquemos las tres condiciones: 1. Existe x f(x)? f(x) = 1 x = 1 x x f(x) = 3 x + x x = 1 + Los ites laterales existen y son iguales por lo tanto x f(x) existe.. Existe f()? f(x) = 3 x, si x = f() = 3 () = 1 En efecto, x = Domf y f() = 1 3. f(x) = f() = 1 x Luego la función es continua en x =. f. Observe todo lo que hemos dicho con las cuentas que hemos hecho en la gráfica de la función 3

4 Finalmente respondemos la pregunta que nos hicieron: El único punto de discontinuidad de la función es x = pues no existe el ite en ese punto. Ejemplo : Sea x +7x 18 x 4, si x > f(x) = b, si x = x + a, si x < Halle los valores de a y b para que f sea continua en todo R Solución: En el intervalo (, ) la función está definida por un polinomio y ya sabemos que todo polinomio es continuo en R y más aún en dicho intervalo. En el intervalo (, + ) la función se comporta como un cociente de polinomios por lo tanto ella es continua excepto donde su denominador se anula, es decir, es continua en el intervalo (, + ) ya que en este intervalo no se incluye x = ni x =. De modo que si hay algún punto donde debemos asegurar continuidad es en x =, de resto ella es continua. Nota: Parte de su justificación en un problema como este es redactar el comentario que acabamos de hacer. 4

5 Toda función continua debe cumplir siempre las tres condiciones que hemos trabajado hasta ahora, por lo tanto si queremos que f sea continua en x = debemos hacer que a y b sean tales que cumplan con la tres. 1. Deben existir los ites laterales y deben ser iguales. Es decir f(x) = f(x) x x + x + a = x + 7x 18 x x + x 4 El ite de la izquierda lo podemos calcular evaluando en la función, por otro lado el de la derecha presenta una indeterminación, pero esto no es problema. Entonces: x + 7x 18 x + x 4 (x )(x + 9) = x + (x )(x + ) = x + 9 x + x + = 11 4 x x + a = x + x + 7x 18 x 4 = + a = 11 4 Hemos obtenido una ecuación que nos sirve para saber el valor de a de modo que: a + = 11 4 = a = 11 4 = a = 3 4 Ahora deberíamos poder obtener b de las otras condiciones.. La función debe estar definida en x = La función nos dice explícitamente que cuando x = entonces f vale b, es decir f() = b. 3. Se debe cumplir que x f(x) = f() f(x) = f() x = a + = 11 4 = b Como el ite es igual a a + y a su vez a 11 4 de modo que b = podemos igualar b a cualquiera de estos dos, 5

6 Para que f cumpla con las tres condiciones simultáneamente a = 3 y b = a = 3 4 Finalmente para que f sea continua en todo R se debe cumplir que: b = 11 4 Ejemplo 3: Encuentre todos los valores de a y b para que f sea discontinua evitable. x x 8, si x < 4 x f(x) = ax 3, si x > b, si x = Solución: Sabemos que para que una función sea continua forzosamente debe cumplir tres condiciones, dicho de otro modo si no cumple alguna de ellas decimos que es discontinua, podemos clasificar estas discontinuidades según la condición que no se esté cumpliendo. Tipos de discontinuidades. Si una función f es discontinua en x = c podemos clasificar sus discontinuad de la siguiente forma: Es discontinua inevitable si los ites laterales son distintos o no existen. Es discontinua evitable si los ites laterales existan y sean iguales pero f(c) x c f(x) o bien f(c) no está definida. Como f es continua en todo R excepto posiblemente en x = entonces haremos que a y b sean tales que f sea discontinua evitable en x =, para ello debemos garantizar que los ites laterales existen y son iguales. f(x) = x x x 8 (x 4)(x + ) = x 4 x x ( x)( + x) = x 4 x x = 3 f(x) = x + x ax 3 = 4a 3 + Luego para que f sea discontinua inevitable se debe cumplir: f(x) = f(x) x x + = 3 = 4a 3 = a = 3 8 6

7 Ya hemos garantizado que los ites laterales existen y son iguales a 3 siempre que a = 3 8 por lo tanto f(x) = 3. Por otro lado, de la función es evidente que f( ) = b, entonces la x otra condición para que f sea discontinua evitable es: f(x) f( ) x = 3 b Finalmente podemos decir que f es discontinua inevitable cuando a = 3 8 y b 3. Ejemplo 4: Analice la continuidad de la función x 3 + cos(1), si x > 3 0, si x = 3 f(x) = (x ) cos, si x < 3 y x x 0, si x = Solución: Vemos que la función está definida a trozos de una manera un poco compleja por lo que tenemos que identificar muy bien cómo está definida ya que tendremos que estudiar ites en los alrededores de ciertos puntos. Fíjese como está definida la función con el siguiente cuadro. (, ) x = (, 3) x = 3 (3, + ) f(x) (x ) cos ( ) 1 0 (x ) cos ( ) 1 0 x 3 + cos(1) x x En los intervalos (, ) y (, 3) la función es continua por estar definida como el producto de funciones continuas en estos intervalos. En el intervalo (3, + ) la función también es continua pues es la combinación de funciones continuas en R y por lo tanto más aún en (3, + ). Estudiamos la continuidad en x = y x = 3 pues son los puntos donde hay cambios de comportamiento. Continuidad en x = : 1. Veamos cómo son los ites laterales f(x) = x + x +(x ) cos x 7

8 Este ite debe calcularse con ayuda Teorema del Sándwich. ( ) 1 cos 1 x 1 cos 1 x (x ) (x ) cos x (x ) Luego: (x x ) + x +(x ) cos x x +(x ) Como (x x ) = + x +(x ) = 0 Por Teorema del Sándwich: x +(x ) cos = 0 x Además x (x ) cos = 0 (Se calcula de la misma forma.) x. De la función o del cuadro podemos observar que f() = De las dos condiciones anteriores tenemos que: Entonces f(x) es continua x =. ( ) 1 (x x ) cos = 0 x f() = 0 Continuidad en x = 3: 1. f(x) = x 3 x 3 (x ) cos = cos(1) x x 3 x 3 f(x) = x 3 + cos(1) = cos(1) + + Luego los ites laterales existen y son iguales. 8

9 . La función nos dice explícitamente que f(3) = Tenemos que ( ) 1 (x x 3 ) cos = cos(1) x f(3) = 0 Como no se cumple la tercera condición, es decir, que (x ) cos x 3 x función no es continua en x = 3. = f(3), la Finalmente tenemos que f es continua en todo R excepto en x = 3 donde presenta discontinuidad evitable. Se deja la gráfica de la función f para que usted se convenza y compare los resultados obtenidos en las cuentas con lo que pasa gráficamente. 9

10 Ejemplo 5: Considere la función (x a) 1, si x 3 f(x) = sin(πx), si 3 < x 3 4x + b, si x > 3 Diga si f es continua en x = 3 y x = 3. Solución: Como nos piden directamente estudiar la continuidad en dos puntos no tenemos que hacer el comentario de lo que sucede en el resto de los puntos, aunque no es difícil saberlo. Continuidad en x = Estudiamos los ites laterales. ( f(x) = (x a) 1 = 3 ) x 3 x 3 a 1 x 3 + ( f(x) = sin (πx) = sin 3 ) x 3 + π = 1 Para que el ite exista los ites laterales deben ser iguales. = ( 3 a ) 1 = 1 ( 3 a ) = = 3 a = ± = a = 3 Luego el ite existe si a = 3 o a = 3.. f( 3 ( ) = 3 ) a 1 = ( = f 3 ) = 1 ( 3 ( 3 )) 1 (a = 3.) 3. Ahora note que siempre que a = 3 : ( f(x) = f 3 ) = 1 x 3 10

11 Entonces la función es continua en x = 3 siempre y cuando a = 3. Continuidad en x = Estudiamos los ites laterales. x 3 ( ) 3 f(x) = sin (πx) = sin x 3 π = 1 x 3 + f(x) = 4x + b = 6 + b x 3 + Para que el ite exista los ites laterales deben ser iguales. 1 = 6 + b = b = 7. ( 3 f ) ( ) 3 = sin π = 1 3. Ahora, siempre que b = 7: ( 3 f(x) = f = 1 x ) 3 Entonces la función es continua en x = 3 siempre y cuando b = 7. Ejemplo 6: Responda las preguntas a continuación: a. Enuncie el Teorema de Valor Intermedio. b. Verifique que la ecuación x 5 + 4x 3 7x + 14 = 0 tiene al menos una solución real. Solución: Parte a. Este ejercicio fue tomado de un parcial por lo que sí, este tipo de preguntas pueden aparecer y usted debe conocer, memorizar y entender todos los teoremas y definiciones que hemos trabajado y que seguirán apareciendo a lo largo del curso. 11

12 Teorema de Valor Intermedio Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces para todo número c perteneciente a dicho intervalo existe siempre f(c). Parte b. Ahora debemos usar el teorema para garantizar que la ecuación que nos dan tiene al menos una solución. Veamos qué es lo que tenemos y luego cómo utilizar el teorema a nuestro favor. Fíjese que buscar una solución para la ecuación x 5 + 4x 3 7x + 14 = 0 es equivalente a buscar las raíces de la función f(x) = x 5 + 4x 3 7x Recuerde que si x o es raíz de la función f entonces f(x o ) = 0. Para saber si existe alguna raíz de esta función podríamos factorizar y ver cuáles son pero no nos están pidiendo cuáles sino solo verificar si las tiene. Usaremos la siguiente idea: si existe algún intervalo donde la función cambia de signo, es decir, pasa de ser negativa a positiva o viceversa entonces dentro de ese intervalo existe una raíz. Vea lo que hemos dicho en el siguiente esquema. Estudiemos el intervalo [, 0] que hemos escogido casi arbitrariamente, podemos escoger cualquier valor que esté dentro de este intervalo o incluso en la frontera, es decir x = y x = 0. 1

13 Evaluamos la función en los valores escogidos para ver como se comporta. f( ) = ( ) 5 + 4( ) 3 7( ) + 14 = 36 (f es negativa en x =.) f(0) = (0) 5 + 4(0) 3 7(0) + 14 = 14 (f es positiva en x = 0.) Con esto hemos visto que dentro del intervalo [, 0] existe al menos un cambio en el signo de f, es decir, ya sabemos que dentro de este intervalo hay al menos una raíz aunque no sabemos cuáles son, ni nos interesa, sin embargo podemos realmente asegurar que hay raíces dentro de este intervalo? Para asegurar que en [, 0] hay por lo menos una raíz de f utilizaremos el Teorema de Valor Intermedio, para ello debemos verificar que se cumplen las hipótesis del teorema, esto es que la función sea continua en [a, b]. Como la función presenta un cambio de signo en el intervalo [, 0] y además es continua en este intervalo por ser una función polinómica, por Teorema de Valor Intermedio, existe al menos un c dentro de [, 0] tal que f(c) = 0. Usted podría estarse preguntando ahora En qué ayuda el teorema? Pues en realidad si la función no fuese continua en [, 0] no podríamos garantizar nada, imagínese que justo donde la función cambia de signo existe una discontinuidad dado que no está definida f(c), en este caso no habría manera de decir que hay por lo menos una raíz porque cabe la posibilidad que donde creemos hay una raíz en realidad no se define la función. Finalmente respondemos la pregunta: Como f(x) tiene por lo menos una raíz en [, 0] entonces la ecuación f(x) = 0 tiene por lo menos una solución en dicho intervalo. Ejemplo 7: Averigüe si x 3 3x + 1 = 0 tiene tres soluciones en el intervalo [ 1, 3] Solución: Como ya sabemos, que nos pidan la soluciones de x 3 3x + 1 = 0 es equivalente a que nos pidan las raíces de la función f(x) = x 3 3x + 1. Para poder siquiera sospechar que la función f tiene tres raíces dentro del intervalo [ 1, 3] debemos encontrar tres variaciones de signos dentro de este intervalo. Para evitarnos mayores problemas lo que haremos es dividir el intervalo que nos dan en tres intervalos donde sospechemos que hay cambios, probemos dividirlo así: [ 1, 3] = [ 1, 0] [0, 1] [1, 3] 13

14 Vamos a estudiar si hay cambios de signo en los intervalos escogidos: [ 1, 0] : f( 1) = 3 < 0 f(0) = 1 > 0 (Hay cambio de signo.) [0, 1] : f(0) = 1 > 0 f(1) = 1 < 0 (Hay cambio de signo.) [1, 3] : f(1) = 1 < 0 f(3) = 1 > 0 (Hay cambio de signo.) Como la función presenta tres cambios de signo dentro del intervalo [ 1, 3] entonces se sospecha que hay tres raíces. Como la función es continua en todo R y más aún en [ 1, 3] y además presenta tres cambios de signo dentro de este intervalo entonces por Teorema de Valor Intermedio deben existir al menos tres valores c 1, c, c 3 tal que f(c 1 ) = 0, f(c ) = 0, f(c ) = 0 (o sea son raíces). Finalmente ya hemos garantizado que la función tiene tres raíces en [ 1, 3] por lo tanto la ecuación x 3 3x + 1 = 0 tiene tres soluciones en el mismo intervalo, no podría tener más puesto que es un polinomio de grado tres. Para que se convenza de lo que hemos dicho con todas estas operaciones vea la gráfica de la función f(x) = x 3 3x + 1. Ejemplo 8: Utilizando ites, halle la recta tangente a la curva f(x) = x en el punto (, 4). Solución: Como el punto (, 4) pertenece a la curva, ya que se cumple que f(x = ) = () = 4, entonces solo hay una recta tangente a la curva que pasa por (, 4). Es evidente que con solo esta información no podemos hallar la ecuación de la recta con nuestros métodos usuales (ecuación punto-pendiente), requerimos otro enfoque. 14

15 Consideremos la gráfica de la función f(x), consideremos además la recta secante que pasa por (, 4) y otro punto sobre la curva (x o, y o ), tal como se muestra en el esquema. Note que si hacemos que el punto (xo, yo) se desplace sobre la curva acercándose cada vez más al punto (, 4) entonces la recta secante verde también se moverá y se parecerá cada vez más a la recta azul por lo tanto sus pendientes serían las mismas. En otras palabras si el punto (xo, yo) tiende al punto (, 4) la pendiente de la recta secante será igual a la pendiente de la recta tangente. Note que la pendiente de la recta secante (verde) se puede escribir como: msec = yo 4 xo Además como yo depende de xo, puesto que estamos hablando de una función, entonces (xo, yo) = (xo, f(xo)). Luego: msec = yo 4 xo = f(xo) 4 xo Si hacemos que xo se acerque lo suficiente a entones yo = f(xo) se acercará a 4 por lo tanto con solo hacer que xo tienda a la pendiente de la recta secante se aproximará a la pendiente de la recta tangente. Matemáticamente escribiremos esto así: mtan = xo f(xo) 4 msec = xo xo (Pendiente de la recta tangente.) En los próximos ejercicios se dará cuenta que este último ite es la derivada de la función f evaluada en x =. 15

16 Hemos obtenido que la pendiente de la recta tangente es un ite. Resolvemos este ite para saber cuánto vale: f(x o ) 4 x o x o x o 4 = xo x o = xo = m tan = 4 (x o )(x o + ) x o = xo x o + = 4 Ya hemos hallado la pendiente de la recta tangente ahora podemos construir su ecuación. y 4 = 4(x ) = y = 4x 4 (Ecuación de la recta tangente a f en x =.) Con este ejemplo se quiere que usted nunca olvide que la derivada de una función en algún punto representa a la pendiente de una recta tangente a la función en dicho punto. 16

17 Nota: Este material fue elaborado por Miguel Ángel Labrador con ejercicios obtenidos de parciales realizados y de la guía de Miguel Ángel Mike Guzmán para el uso de toda la comunidad académica. Miguel Labrador Carnet: Ingeniería Electrónica Se agradece notificar cualquier error de tipeo o en las respuestas y qué debería decir a la dirección miguelangel801@gmail.com 17