Funciones continuas, derivables y diferenciables en un punto

Transcripción

1 1 Universidad Simón Bolívar.. Preparaduría nº 2. Funciones continuas, derivables y diferenciables en un punto Función continua: una función es continua en un punto, si: La función f está definida en. Una función f es continua en un conjunto abierto, si y sólo si es continua en todo punto interior a S. Derivada parcial en un punto: La derivada parcial de f con respecto a x en el punto, si el límite existe, se denota por: Análogamente la derivada con respecto a y es: Relación entre la derivabilidad y continuidad: una función real de dos variables reales puede ser continua en un punto y sin embargo no ser derivable en dicho punto; y a diferencia de las funciones reales de una variable real, puede ocurrir que una función tenga derivadas parciales en un punto, a pesar de que la función no sea continua en ese punto. Derivadas parciales de orden superior: una derivada parcial de orden superior se obtiene derivando varias veces una función con respecto a la misma variable o a otra(s) variable(s). Hay cuatro formas de hallar una derivada parcial de segundo orden: Derivar la función dos veces con respecto a x: Derivar la función dos veces con respecto a y: Derivar la función primero con respecto a x y luego con respecto a y:

2 2 Derivar la función primero con respecto a y luego con respecto a x: En general, para denotar la derivada de la función f, veces respecto a la variable y luego veces respecto a, escribiremos: Cuando se deriva primero respecto a una variable y luego con respecto a la otra, las derivadas parciales se denominan cruzadas o mixtas (no tienen que ser iguales, en general, importa el orden de derivación). Teorema de Schwartz: si f es una función de x e y tal que, una región que contiene al punto y todas ellas son continuas en, entonces:, están definidas en Función diferenciable en un punto: sea. Diremos que f es diferenciable en si se satisface lo siguiente: Existen las derivadas parciales: El siguiente límite vale cero. Esto es: La expresión: Puede ser escrita en forma matricial: Luego, nos va a quedar:

3 3 Relación entre diferenciabilidad y continuidad: Sea f una función de, si f es diferenciable en, f es continua en. Sin embargo, el hecho de que f sea continua en, no implica que sea diferenciable en. 1. Dada la función definida, por: Es f diferenciable en el origen? Es f continua en el origen? Solución: Vemos que la función está definida en el origen, es decir. Ahora bien: Tomamos trayectorias genéricas que pasen por el (0,0): Verificamos mediante la definición: Ahora, sabemos que:

4 4 Ahora bien: Adicionalmente: Entonces: Si tomamos el límite existe, vale cero y la función es continua en el origen. Diferenciabilidad en (0,0): Verifiquemos que el siguiente límite es nulo: Tomamos rectas genéricas que pasen por el punto: El límite depende de la trayectoria y por ende no existe. La función no es diferenciable en el origen.

5 5 2. Sean los puntos A(1,2) y B(1,-1) y dada la función definida, por: Es f continua en A y B? Es f diferenciable en A y B? Solución: Graficamos la región: En la región roja y sobre la gráfica de se define la función y en la región verde se define la función. Notamos que el punto A está claramente definido en la región roja pero el punto B está definido sobre la región verde y sobre la función. Estudiemos ahora los distintos casos pedidos: Continuidad en A: Es un valor probable, debemos verificar que está acotado. Adicionalmente, sabemos que:

6 6 Ahora bien: Hemos hallado un que depende de un y con lo que se garantiza que el límite existe y vale 1. Continuidad en B: El punto B está definido sobre la función, por ende, debemos evaluar los límites laterales: Probamos ambos límites: Primero: Adicionalmente, sabemos que: Ahora bien: Hemos encontrado un delta que depende de un épsilon y, por ende, el límite existe y vale dos. Segundo:

7 7 Adicionalmente, sabemos que: Ahora bien: Hemos encontrado un delta que depende de un épsilon y por ende, el límite existe y vale dos. Concluimos que: Y que la función es continua en B. Diferenciabilidad en A: Hallemos las derivadas parciales: Ahora:

8 8 Nos aproximamos al (1,2) mediante rectas del tipo Probamos mediante la definición: Adicionalmente, sabemos que: Ahora bien: Hemos probado la existencia del límite y que éste valga cero. Así pues, la función es diferenciable en A. Diferenciabilidad en B: Vemos que en el punto B hay un cambio de definición de la función. Al observar la región vemos que si nos acercamos al punto B (a lo largo del eje x) por la izquierda, la función se define como, análogamente si nos acercamos por la derecha vemos que la función se define como. Es necesario tomar límites laterales: Los límites laterales son distintos, por ende, la derivada parcial de f con respecto a x en B no existe y la función no es diferenciable en B.

9 9 3. Sea una función definida como sigue: Es continua en? Es diferenciable en? Solución: Hay varias formas de resolver el ejercicio: Primera: Definimos dos funciones nuevas: Es lógico ver que. Si g y h son funciones continuas y diferenciables en el origen entonces f también lo será debido a que es una resta de dos funciones que lo son de por sí. Sabemos que h cumple con esta condición debido a que es una función constante, la cual, es continua y derivable en todos los números reales. Estudiemos la continuidad de g: La función g es continua en (0,0) y la función h también lo es, por ende, f es continua en (0,0) por ser resta de dos funciones continuas en dicho punto. Veamos si la función g es diferenciable en el origen. Determinemos el límite:

10 10 Para que la función sea diferenciable se debe cumplir que dicho límite sea nulo. Supongamos que lo sea y tratemos de probarlo: Si encontramos un número delta que dependa de un número épsilon tal que ambos sean positivos y no importe cuán pequeños sean entonces la función es diferenciable. Ahora, sabemos que: Cuando x e y se aproximan al cero (son valores muy pequeños), se cumple que: Entonces: Ahora bien: Entonces:

11 11 No podemos encontrar un delta que dependa de un épsilon, por ende, el límite no vale cero (bien puede ser distinto de cero o no existir) y la función no es diferenciable en (0,0). Segunda: Continuidad en (0,0): Vemos que la función está definida en el origen, es decir. Veamos ahora: Es un valor probable, debemos verificar mediante la definición: Ahora, sabemos que: Cuando x e y se aproximan al cero (son valores muy pequeños), se cumple que: Seguidamente: Entonces: Si tomamos garantizamos que el límite exista, valga cero y la función sea continua en el origen.

12 12 Diferenciabilidad en (0,0): Hay dos formas de determinar si la función es diferenciable en (0,0): Primer método: determinemos las derivadas parciales en el (0,0): Determinamos el límite: Tomamos laterales: Resolvemos: El límite depende del ángulo y, por ende, no existe. Como no existe uno de los laterales entonces el límite original no existe y por ende la función no es diferenciable en (0,0). Segundo método: hallamos las derivadas parciales sin evaluar en el punto: El dominio de continuidad de ambas derivadas parciales, es son continuas en (0,0) entonces f no es diferenciable en (0,0).. Como las derivadas parciales no

13 13 4. Sea la función definida, por: Es f continua en todo? Es f diferenciable en todo? Solución: El ejercicio puede ser resuelto de dos maneras distintas. Primera: definimos dos funciones nuevas: Se ve fácilmente que: Sabemos que la función es derivable en todo y que la función también lo es puesto que es continua en : Y, adicionalmente, el límite existe: Como sabemos que la suma de dos funciones derivables es una función diferenciable, entonces, se garantiza que f es continua y diferenciable en todo. Segunda: Nos piden determinar si la función es continua y diferenciable en todo, básicamente lo que debemos hacer es verificar si dichas condiciones se cumplen en los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Vemos que f tiene problemas para todos los puntos de la forma ) (también se puede verificar si f es continua y diferenciable en un punto genérico de como lo sería )). Continuidad en : Vemos que la función está definida en el punto, es decir. Es un valor probable, verificamos mediante la definición:

14 14 Ahora, sabemos que: Entonces: Finalmente: Encontramos un que depende de un y por ende el límite existe y la función es continua en todo. Diferenciabilidad en : Hallamos las parciales: Sabemos que: Entonces:

15 15 Hallamos el límite: Nos aproximamos al punto mediante rectas genéricas de la forma : Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Ahora, sabemos que: Entonces:

16 16 Encontramos un delta que depende de un épsilon y por ende el límite existe y vale cero. La función es diferenciable en todo. 5. Dada la función definida, por: Ejercicios propuestos Diga si f es continua en (0,0). Halle las primeras derivadas parciales de f en (0,0). Diga si f es diferenciable en (0,0). Solución: Continuidad en (0,0): La función está bien definida en el (0,0), es decir. Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Sabemos que la función real está definida mediante entonces, la expresión Adicionalmente: puede ser escrita como.

17 17 Entonces: Si tomamos garantizamos que el límite exista, valga cero y que la función sea continua en el origen. Primeras derivadas parciales: Diferenciabilidad en (0,0): Tomamos trayectorias genéricas que pasen por el punto: El límite depende de la pendiente y, por ende, no existe. Así, la función no es diferenciable en (0,0).

18 18 6. Dada la función definida, por: Es f continua en (0,0)? Es f diferenciable en (0,0)? Solución: Graficamos la región: Continuidad en (0,0): Vemos que la función está definida en (0,0): Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Ahora, sabemos que:

19 19 Adicionalmente: Entonces: Así, si tomamos garantizamos que el límite exista, valga cero y la función sea continua en el origen. Diferenciabilidad en (0,0): Debemos hallar las derivadas parciales en (0,0): Vemos que en el punto (0,0) la función tiene un cambio de definición. Si nos acercamos al origen por la derecha (h mayor que cero) la función se define como, análogamente, si nos acercamos por la izquierda (h menor que cero) la función se define como. Veamos los límites laterales: Los límites laterales son distintos y, por ende, la función no es diferenciable en (0,0). Se agradece la notificación de errores Christian Laya