3 LÍMITE Y CONTINUIDAD Trabajo Práctico

Transcripción

1 LÍMITE Y CONTINUIDAD Trabajo Práctico 1) Eprese los siguientes entornos como intervalos y como conjuntos definidos por comprensión. Represente en la recta real. a) E( ; 0. 5) b) E (1 ; ) ) Complete de acuerdo con el gráfico que se presenta a continuación: f(1) = ; f() = f() = ; f(4) = lll 1 f() = ; lll f() = lll f() = ; lll 4 f() = lll f() = ; lll f() = ) Calcule los siguientes límites laterales: + 1 ss < a) SSS f: R R / f() = 5 ss Grafique y calcule: L + = lll + f() y L = lll f() Qué puede decir de L = lll f() b) Calcule: L + = + e 1 y L = e 1 c) Calcule: L + = + y L = 4) Calcule los siguientes límites indicando previamente el tipo de indeterminación: Matemática - Cuarto Año - 1

2 a) lll 4 + b) c) lll d) lll 9 + lll 44+4 f) lll lll h 0 (+h) h h) lll i) lll 5 4 j) lll ) Calcule los siguientes límites: a) lll 44+4 b) c) lll 66+9 d) lll lll = lll + = lll = f) lll + ( ) = lll + + = lll ( ) + ( ) = e = + e = e = 6) Calcule los siguientes límites trigonométricos: a) sss(55) b) ccc (55) c) sss( a).( a) d) ccc () tt () f). tt () sss(1 ) h) lim 0. 5 sss 4 (77) i) sss(55) sss() j) sss (ππ) sss() 7) Compare los siguientes infinitos y resuelva: a) lll = b) lim +5 ( ) = Matemática - Cuarto Año -

3 c) lll ( ) = d) lll + (5 ). ( + ) = lll = f) lll + e = i) k) lll = h) lll 5 + = lll = j) lll = lll = l) lll = +8 8) Clasifique la indeterminación y resuelva: a) lll 6 6 b) 1+ 1 c) 1+ 1 d) lll 7 44 f) lll 1 lll +11 h) lll i) lll + 1 j) lll + k) lll l) lll m) o) lll n) lll +h h 0 h lll Ejemplo: analice los ejercicios resueltos: = = 1+ lll = 1 1 = 0 1+ lll = lll = lll 1 (+1). 8 + ( 1 ) ++1 = 6 = 9) Resuelva las indeterminaciones del tipo (1 ) Matemática - Cuarto Año -

4 lll n n n = e y lll(1 + n) 1 n = e n 0 a) (1 + ) 1 n b) (1 55) 1 c) lll 1 + n n d) lll n lll n n+ n f) lll lll n+1 h) lll 7 +9 Complete: lll + 1 n+ n = y lll 1 n+ n = lll + n 1 + n = y lll n 1 + n = Ejemplo: analice el siguiente ejercicio resuelto: + 1 lím ln = = lím ln = = ln lím = + 1 (Indeterminación. 0) Propiedades de los logaritmos Propiedad de Límite de un logaritmo Matemática - Cuarto Año - 4

5 1 1 1 lím + 1 ln lím 1 ln lím 1 ln e ln ( = + = + = = = ) Analice los siguientes gráficos y clasifique las discontinuidades justificando las respuestas. 11) Identifique y clasifique los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y represente gráficamente: a) f D R / f() = 1 b) f D R / f() = 1 1 Matemática - Cuarto Año - 5

6 c) f() = + 1 ss 1 1 ss < 1 ss 0 d) f() = lll ss > 0 + ss < 1 f() = ss 1 < 1 ss 1 1) Defina una función que presente una discontinuidad evitable en =-1. Justifique. 1) Defina una función que presente una discontinuidad esencial de salto finito e igual a en =-. Justifique. 14) Defina una función discontinua esencial de salto infinito en =4. Justifique. 15) Defina una función que presente una discontinuidad esencial y otra evitable. Justifique. 16) Calcule las asíntotas, si las hubiese, de cada una de las siguiente funciones: a) f D R / f() = 1 b) f D R / f() = + c) f D R / f() = d) f D R / f() = 4 Ejemplos de aplicación: 1.- En un Hospital se está probando un tratamiento contra una enfermedad que reduce la vida media de los glóbulos rojos. En los pacientes a los que se ha aplicado se ha encontrado que la vida media de los glóbulos rojos, V, varía dependiendo de la duración del tratamiento en días, t, según la epresión: Matemática - Cuarto Año - 6

7 V(t)= 1.t t+1 a) Si se empleara el tratamiento indefinidamente, se podría alargar la vida de los glóbulos rojos de manera que nunca murieran? b) La vida media de estas células en una persona es de 10 días. En qué momento del tratamiento se alcanza esa cifra? a) lll + 1. t t+1 b) 1. t t+1 = 111. No, durarían un máimo de 1 días. = t = 111. t t = 111 t = 11 díaa.- Una empresa produce ratones inalámbricos en grandes cantidades. Atendiendo a los gastos de puesta en marcha de la maquinaria, al salario de sus trabajadores y a otros factores, se ha llegado a la conclusión de que producir p ratones tiene un costo total,en euros, dado por: C(p) = 11. p a) Encuentre la epresión de la función C m (p) que nos da el precio unitario medio de un ratón al fabricar p unidades. b) Calcule C m (11) y C m (1111) A qué se debe que eista tanta diferencia entre un costo y otro? c) Calcule lll p + C m (p) y enuncie una interpretación económica del resultado. a) C m (p) = 11.p p = p b) C m (11) = =10010 y C 11 m (1111) = = La diferencia se debe a que los gastos de producción disminuyen a medida que aumentan las unidades fabricadas. c) lll p + C m (p) = lll p = 10 p Matemática - Cuarto Año - 7

8 El costo de producción tiende a estabilizarse en torno a los 10 euros cuando la producción es muy elevada..- A los 0 años de su fundación, una empresa realizó un cambio en la forma de realizar su contabilidad. En consecuencia, sus beneficios en millones de euros, se calculan con esta función: donde t es el número de años transcurridos.. t + 11 ss 0 < t 0 f(t) = t a. t 111 ss t > 0 Cuál debe ser el valor de a para que el cambio en los beneficios resulte continuo? f() =.+11 =, 5 ; lll.t+10 t =, 5 y lll + a. t =. a De acuerdo con la definición de función continua en un punto y el teorema de unicidad del límite debe verificarse que:. a 111 = a 111 = 7 a = 5 Matemática - Cuarto Año - 8