Cálculo Diferencial Otoño Límites y Continuidad
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- María Pilar Olivares Segura
- hace 6 años
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1 Cálculo Diferencial Otoño 2014 Límites y Continuidad
2 Contenido 2.1 Introducción al concepto de límite de una función. 2.2 Límites unilaterales en funciones algebraicas, compuestas y especiales. 2.3 Técnicas para calcular límites 2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales. 2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
3 2.1 Introducción al concepto de límite de una función La tangente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto
4 Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 en el punto (1, 1). SOLUCIÓN: Podremos encontrar la ecuación de la recta tangente t conociendo su pendiente m. La dificultad es que solo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x 2) sobre la parábola Calculando la pendiente m PQ de la recta secante PQ.
5 Ejemplo Elegimos x 1 de manera que Q P. m PQ x x Por ejemplo: m PQ
6 Ejemplo Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo La ecuación de la recta tangente en (1, 1) como
7 Aproximación a la tangente
8 Ejemplo Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observacion de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos.
9 Solución La distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo s t gt t 4.9t
10 Ejemplo La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez mas pequeños Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez mas cercana a 49 m/s. La velocidad instantánea cuando t = 5 se define como el valor limite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez mas cortos que comienzan en t =5
11 Ejemplo
12 Limites
13 Ejemplo Encuentre el valor de Sin embargo, la función no esta definida en x=1 Eso no importa, porque la definición del limite considera los valores x que están cerca de a, pero no son iguales a a.
14 Solución
15 Ejemplo: Encuentre el valor de Solución:
16 Ejemplo: Determine el valor Basados en estos resultados podríamos inferir que:
17 Limites Laterales
18 Limites Laterales
19 Limites Laterales
20 Solución
21 2.3 Técnicas para calcular límites
22 Ejemplo
23 Solución
24 Solución
25 Leyes de los limites
26 Ejemplo
27 Solución
28 Sustitución Directa
29 Ejemplo
30 Propiedades de los limites
31 Ejemplo
32 Ejemplo
33 Ejemplo
34 Ejemplo
35 Ejemplo
36 Ejercicio
37 Ejercicio
38 Teoremas
39 Ejemplo
40 Solución
41 Ejemplo Encuentre el limite del Coseno cuando el ángulo tiende a cero
42 Ejemplo Encuentre el limite del Seno cuando el ángulo tiende a cero
43 Ejemplo
44 2.2 Límites unilaterales Definición formal del limite
45 Ejemplo Encuentre un numero tal, que
46 Solución x x x x x x x x x x x x x x
47 Solución
48 Ejemplo
49 Solución
50 Ejercicio
51 Limite por la izquierda y derecha
52 Ejemplo
53 2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.
54 Limites Infinitos
55 Limites Infinitos
56 Limites Infinitos
57 Limites Infinitos
58 Ejemplo
59 Ejercicio
60 Limites Infinitos
61 Limites cuando x se aproxima a infinito
62
63 Ejercicio
64 Asintota Vertical
65 Ejemplo
66
67 Asíntota Horizontal
68 Limites infinitos
69 2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
70 Ejemplo
71 Ejemplo
72 Solución
73 Discontinuidades Discontinuidad Removible Discontinuidad Infinita Discontinuidad Removible Discontinuidad de salto
74 Continuidad por la derecha
75 Continua sobre un intervalo
76 Ejemplo
77 Teorema
78 Funciones polinomial y racional
79 Ejemplo
80 Ejemplo
81 En que puntos son continuas las siguientes funciones
82 Composición de funciones
83 Ejemplo
84 Ejemplo
85 Ejercicio
86 Teorema del Valor Intermedio
87 Ejemplo
88 Ejercicio
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