Valores extremos de una función

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Vicente Godoy Juárez
hace 6 años
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1 Valores extremos de una función Puntos crí5cos Máximos y mínimos Mul5plicadores de Lagrange Lilia Meza Montes Ins5tuto de Física BUAP

2 Una variable: Máximos y mínimos donde la derivada se anula y =0 =0 >0 θ Puntos crí5cos : x donde la derivada se anula Máximos y mínimos: locales y absolutos dy dx x = tanθ

Valores extremos: Máximos y mínimos de una función f(x,y) Máximo local: en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b) Máximo absoluto: en (a,b) si f(x,y) f(a,b), (x,y) en todo el

3 Valores extremos: Máximos y mínimos de una función f(x,y) Máximo local: en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b) Máximo absoluto: en (a,b) si f(x,y) f(a,b), (x,y) en todo el dominio Mínimo absoluto: en (a,b) si f(x,y) f(a,b) (x,y) en todo el dominio de f Mínimo local: en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b) Por ejemplo, en un disco con centro en (a,b).

4 Teorema Si f 5ene un máximo o mínimo local en (a,b) y las primeras derivadas parciales de f existen allí, entonces f x (a,b)=0 y f y (a,b)=0. Si las derivadas se anulan en (a,b) se dice que es un punto crí+co

5 En punto crí5co, Máximo o mínimo? Mínimo absoluto Punto silla: es un punto crí5co pero no es máximo ni mínimo

6 Criterio de la segunda derivada Suponga que las segundas derivadas parciales de f son con5nuas en un disco con centro en (a,b) y suponga que f x (a,b)=0 y f y (a,b)=0. Es decir, (a,b) es un punto crí5co de f. Sea el hessiano D= D(a,b) = f xx (a,b) f yy (a,b)- [f xy (a,b)] 2 a) D>0 y f xx (a,b)>0 à f(a,b) es un mínimo local. b) D>0 y f xx (a,b)<0 à f(a,b) es un máximo local. c) D<0 à f(a,b) no es mínimo ni máximo (punto silla). D=0 no da información.

7 Criterio de la segunda derivada (a,b) es un punto crí5co de f. a) D>0 y f xx (a,b)>0 à f(a,b) es un mínimo local. b) D>0 y f xx (a,b)<0 à f(a,b) es un máximo local. c) D<0 à f(a,b) no es mínimo ni máximo (punto silla). D=0 no da información.

8 Procedimiento 1. Encontrar los puntos crí+cos, es decir, (x,y)=(a,b) resolviendo las ecuaciones f x (a,b)=0 y f y (a,b)=0. 2. Aplicar el criterio de la segunda derivada. Calcular Determinar si el punto crí5co corresponde a un máximo, un mínimo o un punto silla 3. Evaluar f(a,b) para obtener el máximo o el mínimo si es el caso.

9 Sugerencia para organizar los datos Ejemplo de Stewart f xy =- 4 Punto D Tipo de punto f (x,y) xx f yy f xy crí+co Valor del extremo f(x,y) (0,0) x0- (- 4) 2 =- 16 D<0 Punto silla No es extremo (1,1) 12 f xx > (12)- (- 4) 2 =128 D>0 Mínimo local - 1 (- 1,- 1) 12 f xx > D>0 Mínimo local - 1

10 Gráficas de la función Punto silla mínimo mínimo Contornos o curvas de nivel

11 Máximos y mínimos absolutos Función f definida en un conjunto cerrado y acotado D 1. Encontrar los valores de f en los puntos crí+cos de f en D 2. Encontrar los valores extremos de f en la frontera de D 3. El más grande de los valores de los pasos anteriores es el máximo absoluto de f en D. 4. El más pequeño es el mínimo absoluto de f en D.

12 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

13 Máximos y mínimos con ligaduras Ligadura (restricción, constricción) Condición que deben sa5sfacer las variables, por ejemplo, estar en alguna línea o superficie. Se expresa en forma de ecuación en dos variables g(x,y)=c, donde C es una constante Ejemplo: Área máxima del rectángulo circunscrito en la elipse A=xy Pero (x,y) sa5sfacen ecuación de elipse (x,y)

14 Geométricamente Maximizar f(x,y) sujeto a g(x,y)= C es encontrar el valor de k más grande tal que el contorno rosa f(x,y)=k intersecta la curva azul g(x,y)=c. g(x,y)=c à Las normales a f y g coinciden, sus vectores gradiente son paralelos à ` Ocurre cuando se tocan (punto azul), es decir, cuando 5enen una línea tangente común. f ( x0, y0) = λ g( x0, y0)

15 Teorema de Lagrange Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales con+nuas, tales que f 5ene un extremo en el punto (x 0,y 0 ) sobre la curva suave de ligadura g(x,y)=c. Si g( x0, y0) 0 existe un número real λ tal que f ( x0, y0) = λ g( x0, y0) λ mul5plicador de Lagrange, a veces 5ene interpretación lsica

16 Método de mul5plicadores de Lagrange El problema es hallar máximo o mínimo de f, con ligadura g(x,y)=c. Para hallar puntos crí5cos 1. Resolver para x, y, λ simultáneamente las ecuaciones Es decir f (x, y) = λ g(x, y) g(x, y) = C f x (x, y) = λg x (x, y) f y (x, y) = λg y (x, y) g(x, y) = C. 2. Evaluar la función en esos puntos, el valor más grande será el máximo y el menor el mínimo

17 Dos ligaduras El problema es hallar máximo o mínimo de f(x,y,z), con ligaduras g(x,y,z)=k y h(x,y,z)=c. Para hallar puntos crí5cos 1. Resolver para x, y, z, λ, μ simultáneamente las ecuaciones f (x, y, z) = λ g(x, y, z)+ µ h(x, y, z) g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c 2. Evaluar la función en esos puntos, el valor más grande será el máximo y el menor el mínimo

18 Bibliograla Larson, Vol. 2 Stewart Leithold

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