Tema IV : Introducción a la optimización de funciones de varias variables.

Transcripción

1 Tema IV : Introducción a la optimización de funciones de varias variables. 1. Planteamiento de un problema de optimización.. Optimización sin restricciones. 3. Optimización con restricciones de igualdad Aspectos geométricos. 3.. Método de los multiplicadores de Lagrange Problema de programación matemática: (x 1,x,...,x n ) F. donde: f: A n fi, yf(x 1,x,...,x n ), es la función objetivo. x 1,x,...,x n, son las variables de decisión. F n,es el conjunto de oportunidades o región factible, FA X, ADom(f), X es el conjunto dado por las restricciones del problema. DEFINICIONES (extremos globales): (x 1, x,..., x n ) F es el máximo global o absoluto de si y sólo si: f(x 1,x,...,x n ) f(x 1, x,..., x n ), "(x 1,x,...,x n ) F. (x 1, x,..., x n ) F es el mínimo global o absoluto de si y sólo si: f(x 1,x,...,x n ) f(x 1, x,..., x n ), "(x 1,x,...,x n ) F. DEFINICIONES (extremos locales): (x 1, x,..., x n ) F es un máximo local o relativo de si y sólo si es el máximo global cerca (en un entorno) de (x 1, x,..., x n ) (x 1, x,..., x n ) F es un mínimo local o relativo de si y sólo si es el mínimo global cerca (en un entorno) de (x 1, x,..., x n ) Problema de programación clásica: i. Si X n problema de optimización sin restricciones: ii. Si X {(x 1,x,...,x n ) n : g i (x 1,x,...,x n ) b i, i1,...,m }, problema de optimización con restricciones de igualdad (opt. condicionada): g i (x 1,x,...,x n ) b i, i1,...,m Para n: i. Problema de optimización sin restricciones: ii. Problema de optimización con restricciones de igualdad (opt. condicionada): g(x,y) b

2 .Optimización sin restricciones. Teorema 1.(Condiciones de primer orden). Sea f: A n fi, yf(x 1,x,...,x n ),si (x 1, x,..., x n ) es un extremo local de f f(x 1, x,..., x n )(0,0,,0), es decir: (x 1, x,..., x n )0, "i1,,n. i Definición 1. Los puntos que anulan las derivadas parciales se llaman puntos críticos de f. Los extremos locales de una función están entre sus puntos críticos. Definición. Los puntos críticos que no son extremos locales se llaman puntos de silla..optimización sin restricciones. para n : Teorema 1.(Condiciones de primer orden). Sea f: A fi, zf(x,y),si (x 0,y 0 ) es un extremo local de f f(x 0,y 0 )(0,0), es decir: (x 0,y 0 )0 (x 0,y 0 )0 geométricamente: el plano tangente a un punto crítico es horizontal. Ejemplo 1. f(x,y)x + y : 0 (x,y)x 0 (x,y)y (x,y)(0,0). Ejemplo. f(x,y)x - y : 0 (x,y)x 0 (x,y)-y (x,y)(0,0). Curvas de nivel, x + y c, c0,1,,3,4,5. Curvas de nivel, x - y c, c-1,-,-3,0,1,,3. Ejemplo 3. f(x,y)x 3 +y 3 -x +4y : ptos. críticos: (0,0), (0,-8/3),(4/3,0),(4/3,-8/3). Curvas de nivel, f(x,y)x 3 +y 3 -x +4y c..optimización sin restricciones. Teorema.(Condiciones de segundo orden). (n) Sea zf(x,y), y (x 0,y 0 ) un punto crítico de f, si det(h f (x 0,y 0 )) (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) ( (x 0,y 0 )) i. det(h f (x 0,y 0 ))>0, y (x 0,y 0 )>0 (x 0,y 0 ) es un mínimo local. ii. det(h f (x 0,y 0 ))>0, y (x 0,y 0 )<0 (x 0,y 0 ) es un máximo local iii. det(h f (x 0,y 0 ))<0 iv. det(h f (x 0,y 0 ))0 (x 0,y 0 ) es un punto de silla. el criterio no decide

3 3.Optimización con restricciones de igualdad. g(x,y) b Ejemplo (ejercicio 5): Min.C(x 1,x )8x 1 + 4x x (33-5x 1 )/ C(x 1,x )8x 1 + 4((33-5x 1 )/) 33x 1-330x C(x 1 ) C (x 1 )66x x 1 5, C (x 1 )66>0, se trata de un mínimo global (por convexidad). 3.1 Aspectos geométricos. g(x,y) b i) Dibujar la curva dada por g(x,y) b. ii) Superponer las curvas de nivel f(x,y)c, en el sentido de ± f(x,y). iii) El último punto de contacto (de tangencia) entre una curva de nivel f(x,y)c, y la curva g(x,y)b, es el óptimo buscado. Sust. x 4, C(5,4) 64 u.m. Ejemplo (ejercicio 5): Min.C(x 1,x )8x 1 + 4x - f(a,b) - f(a,b) punto mínimo 3.1 Aspectos geométricos. Condición de tangencia entre g(x,y)b,f(x,y)c, derivando respecto a x en ambas ecuaciones: La ecuación ( ) junto con g(x,y)b, permiten obtener el punto óptimo. ( ) Ejemplo (ejercicio 5): Min.C(x 1,x )8x 1 + 4x Condición de tangencia entre: 1 16x x 4x 1-5x 0 Resolviendo en: x 1 5, x 4. x 1 x 5 8x 1 + 4x c 5x 1 + x 33 4x 1 5x 4x 1-5x 0,se obtiene: 5x 1 + x Método de los multiplicadores de Lagrange. La solución (x,y ) del problema verifica: l l $ l : l (x - l,y ) (x,y ) 0 (x - l,y ) (x,y ) 0 (I)

4 3. Método de los multiplicadores de Lagrange. Llamando L(x,y,l)f(x,y)-l (g(x,y)-b), (I) y la restricción de se pueden escribir: (x,y,l ) 0 (1) (x (II),y,l ) 0 () (x l,y,l ) 0 (3) (ya que (3) -(g(x,y)-b)0 g(x,y)b). L(x,y,l) se llama función lagrangiana de. l se llama multiplicador de Lagrange asociado a (x,y ). 3. Método de los multiplicadores de Lagrange. Si (x,y ) es óptimo local de $ l : (x,y,l ) es un punto crítico de la función lagrangiana (punto crítico condicionado). Los óptimos locales de están entre los puntos críticos de la función lagrangiana, se obtienen de: (x,y,l) 0 (x,y,l) 0 (III) (cond. de 1 er orden) g(x,y)-b 0 ( (x,y,l) 0) l No todas las soluciones de (III) serán óptimos, se necesitarán condiciones de o orden para determinarlos. Ejemplo (ejercicio 5): Min.C(x 1,x )8x 1 + 4x L(x 1, x, l) 8x 1 + 4x -l (5x 1 + x -33), 0 16x 1-5l 1 0 8x -l 5x 1 + x 33 x 1 5, x 4, l Método de los multiplicadores de Lagrange: interpretación del multiplicador de Lagrange. Si (x,y ) es óptimo local de con multiplicador asociado l, se tiene: Df(x,y ) Db» l Df(x,y )» Db l, es decir: La variación del valor óptimo de f se aproxima por l multiplicado por la variación de b, Db. Para Db 1 Df(x,y )» l l es una aproximación de la variación del valor óptimo de f dada una variación unitaria del término independiente b. PRECIO SOMBRA DE LA RESTRICCIÓN Ejemplo (ejercicio 5): Min.C(x 1,x )8x 1 + 4x La solución óptima venía dada por x 1 5, x 4, l 16, utilizando 5 u.del primer factor y 4 u. del segundo, se obtiene un coste mínimo de 64 u.m. Interesará producir una unidad más si p10? Db 1 DC(x 1,x )» l 16, por tanto, por cada unidad adicional producida, el coste aumenta en 16 u.m., como ésta se vende a 10 u.m., no interesaría incrementar el nivel de producción. Ejercicio 6(b) (rel.ejercicios): Opt.x + y y + x 1 x + y c y + x 1

5 Ejercicio propuesto 1 (prácticas): Max.30x+5xy-3y y3x q(x,y)(30+5y,5x-6y), q(5/4,15/4)(48.75,-16.5) Ejercicio 9 (rel.ejercicios): x3y b(7,9)(-7,81) Ejercicio 11 (rel.ejercicios): Max.v(x,y) 1000x+60000y v(ópt.)(4.4,1465.6) Ejercicio 13(b) (rel.ejercicios): x+y6 b(ópt.)(0.4,0.8) Ejercicio 14(b) (rel.ejercicios): x+y05 b(ópt.)(1,1)