Funciones de varias variables. Extremos relativos y condicionados

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1 Derivadas_extremos.nb Funciones de varias variables. Extremos relativos y condicionados Práctica de Cálculo, E.U.A.T, 8 En esta práctica veremos cómo derivar funciones de varias variables y hallar extremos con Mathematica. Derivación ü Derivadas parciales Como se ha estudiado en teoría, las derivadas parciales de una función de varias variables son las derivadas con respecto a una de las variables, considerando fijas las demás. En Mathematica, la orden D calcula derivadas de cualquier orden en las variables que elijamos (en particular calcula derivadas de funciones de una sola variable como ya se ha visto). Esta orden toma como argumentos la función que uno quiere derivar, las variables en las que se quiere derivar y el orden de la derivación (cuántas veces queremos derivar con respecto a cada variable): In[]:= f@x_, y_d := E ^H-Hx^ + y ^L ê L; In[]:= H* Primera derivada respecto a x *L D@f@x, yd, xd Out[]= - ÅÅÅÅ H-x -y L x In[3]:= H* Primera derivada respecto a y *L D@f@x, yd, yd Out[3]= - ÅÅÅÅ H-x -y L y In[4]:= H* Segunda derivada respecto a x *L D@f@x, yd, 8x, <D ÅÅÅÅ Out[4]= - H-x -y L ÅÅÅÅ + H-x -y L x In[5]:= H* Parcial respecto a x y respecto a y *L D@f@x, yd, x, yd Out[5]= ÅÅÅÅ H-x -y L x y ü Ejercicio Calcula el gradiente y la matriz hessiana de la función anterior.

2 Derivadas_extremos.nb ü Derivadas direccionales Una vez que tenemos el gradiente de una función podemos calcular su derivada direccional en cualquier dirección que elijamos. Veámoslo en un ejemplo: In[6]:= In[7]:= Out[7]= y_d := x Cos@yD + y Cos@xD gradg = 8D@g@x, yd, xd, D@g@x, yd, yd< 8Cos@yD - y Sin@xD, Cos@xD - x Sin@yD< H* Derivada direccional en la dirección 8,-< *L gradg.8, -< H* La misma derivada direccional, evaluada en el punto 8,< *L gradg.8, -< ê. 8x Ø, y Ø < ü Interpretación gráfica de la derivada direccional Una derivada direccional no es más que la derivada de la función de una variable que resulta al "cortar" la gráfica de una función de varias variables con un plano vertical orientado en una dirección dada (de ahí el nombre). Es útil ver gráficamente lo que esto significa. In[9]:= grafg = Plot3D@g@x, yd, 8x, -Pi, Pi<, 8y, -Pi, Pi<, AspectRatio Ø Automatic, Mesh Ø FalseD; Para ver lo que significa la derivada parcial en la dirección del vector {,} en el punto {,}, dibujemos sólo el corte de la gráfica con un plano que va en esa dirección: In[]:= H* La recta que pasa por H,L y va en la dirección de H,L *L recta = 8, < + t 8, <; H* La función g dibujada sobre esa recta *L corte = ParametricPlot3D@8recta@@DD, recta@@dd, g@recta@@dd, recta@@ddd<, 8t, -Pi, Pi<D

3 Derivadas_extremos.nb 3 In[]:= Show@8grafg, corte, Graphics3D@8PointSize@.3D, Point@8,, <D<D<D Out[]= Ü Graphics3D Ü Si recta es la recta que definimos antes, entonces la derivada direccional no es más que la derivada usual de la función g[recta[[]],recta[[]]] (que depende de t) en el punto. Hemos dibujado esta función sobre la gráfica de g para que se vea que es la función g "vista en una cierta dirección"; la curva sobre la gráfica se recorre con distinta velocidad y sentido dependiendo del tamaño y el sentido del vector según el cual calculamos la derivada direccional. Plano tangente Dada una función de dos variables f(x,y), podemos definir la superficie formada por los puntos (x,y,z) que verifican que z=f(x,y).esta superficie puede dibujarse usando la orden Plot3D vista anteriormente. In[3]:= Plot3D@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D; G = Plot3D@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <, ViewPoint Ø 8,, -.<D;

4 Derivadas_extremos.nb Si f es diferenciable en un punto (a,b), podemos definir el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto (a,b) mediante la fórmula z=f(a,b) + (x-a) ÅÅÅÅÅÅ f f Ha, bl + (y-b) ÅÅÅÅÅÅ Ha, bl. Así en el caso anterior y en el punto (.,. ) tenemos: In[5]:= a =.; b =.; z = f@a, bd + Hx - al HD@f@x, yd, xd ê. 8x Ø a, y Ø b<l + Hy - bl * HD@f@x, yd, yd ê. 8x Ø a, y Ø b<l x y Out[7]= In[8]:= H-. + xl H-. + yl G = Plot3D@z, 8x, -, <, 8y, -, <, ViewPoint Ø 8,, -.<D; Show@G, GD; ü Ejercicio Calcula el plano tangente a S={(x,y,z) ; z - cos(x+y) x =} en el punto (,,) de dicha superficie. Extremos de funciones derivables En muchas situaciones se desea calcular el máximo o el mínimo valor de una función. En principio, un ordenador no puede decirnos si una función definida en un subconjunto del plano (o de la recta real, o del espacio) alcanza un valor máximo o mínimo; esto es algo que debemos deducir de nuestra comprensión de la función (tal vez ayudándonos de su representación gráfica u otros cálculos). Cuando tengamos motivos para pensar que la función que se trate tiene un máximo, sabemos que dicho máximo tiene que ser un extremo relativo (un punto donde la función es siempre mayor o siempre menor que en los puntos cercanos). Si además dicha función es derivable en un entorno del extremo relativo todas sus derivadas primeras deben anularse (porque, intuitivamente, la cima de una montaña suave tiene que ser plana). Esta es una forma de buscar extremos de una función: primero busquemos los puntos donde las derivadas primeras se anulen.

5 Derivadas_extremos.nb 5 Por ejemplo, calculemos el máximo de la siguiente función (otra pregunta sería: por qué sabemos que esta función debe tener un máximo?): In[]:= h@x_, y_d := -x^ 4 - y^ 4 + x^ + y^ + ; Primero, hallamos los puntos donde el gradiente se anula (o sea, donde todas sus derivadas primeras se anulan): In[]:= gradh = 8D@h@x, yd, xd, D@h@x, yd, yd< Out[]= 84 x - 4 x 3, y - 4 y 3 < In[]:= criticos = Solve@gradh ã, 8x, y<d Out[]= 98x Ø -, y Ø <, 9x Ø -, y Ø - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! =, 9x Ø -, y Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! =, 8x Ø, y Ø <, 9x Ø, y Ø - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! =, 9x Ø, y Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! =, 8x Ø, y Ø <, 9x Ø, y Ø - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! =, 9x Ø, y Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! == Entre estos nueve puntos, miramos dónde h es mayor: In[3]:= Table@N@h@x, yd ê. criticos@@iddd, 8i,, 9<D Out[3]= 83., 3.5, 3.5,.,.5,.5, 3., 3.5, 3.5< Vemos que los puntos º, 3º, 8º y 9º de la lista anterior son máximos locales de h. ü Ejercicio Representa la función h (en una región adecuada para poder ver sus extremos "a ojo"). Calcula sus mínimos relativos. Tiene la función h un mínimo absoluto? ü Cómo distinguir entre máximos y mínimos relativos Una vez que hemos calculado los puntos críticos de una función, algunos de ellos pueden ser máximos relativos, otros mínimos relativos y otros ninguna de las dos cosas (estos últimos se llaman puntos de silla). La matriz hessiana de una función distingue entre los tres casos anteriores si es definida negativa, definida positiva o indefinida respectivamente. Calculemos la matriz hessiana de h: In[4]:= hessiana@x, yd = 88D@h@x, yd, 8x, <D, D@h@x, yd, x, yd<, 8D@h@x, yd, y, xd, D@h@x, yd, 8y, <D<<; Veamos cuál es en algunos puntos críticos: In[5]:= hessiana@x, yd ê. criticos@@dd Out[5]= 88-8, <, 8, << In[6]:= hessiana@x, yd ê. criticos@@dd Out[6]= 88-8, <, 8, -4<< In[7]:= hessiana@x, yd ê. criticos@@4dd Out[7]= 884, <, 8, <<

6 Derivadas_extremos.nb 6 El que una matriz sea definida positiva, negativa o indefinida depende de sus valores propios, aunque hay formas más sencillas de verlo a simple vista que funcionan en muchos casos. Por ejemplo, en el caso de matrices de orden (como es el caso que nos ocupa) es suficiente con ver el signo del término de la posición (,) de la matriz y el signo de su determinante. Por tanto, aplicando el criterio estudiado en teoría podemos afirmar que el primer punto crítico es un punto de silla (determinante negativo), el segundo es un máximo local (determinante positivo y el valor (,) es negativo) y el cuarto es un mínimo local (determinante positivo y el valor (,) es positivo). ü Ejercicio Dada la función f(x,y)=x^3 +y^3-3x-y+5 determina sus máximos y mínimos locales. Extremos condicionados Nos planteamos ahora el problema de hallar el máximo (o el mínimo) de una función f(x,y) sujeto a unas restricciones g(x,y)=c. Sabemos que para que un punto a=(a,a) sea extremo de f sujeto a la restricción dada por g es necesario que el punto a sea punto crítico de la función L(x,y,l)=f(x,y)-l g(x,y), es decir se han de verificar las ecuaciones: L ÅÅÅÅÅÅÅ x = ; L ÅÅÅÅÅÅÅ y = ; g = c. Como ejemplo, vamos a hallar los posibles puntos críticos de la función f(x,y)=3 x^+xy-y^, entre los puntos que verifican la restricción x^+ y^ =. En primer lugar definimos las funciones y mostramos gráficamente la situación que vamos a estudiar. In[8]:= f@x_, y_d := 3 x ^ + x y - y ^; g@x_, y_d := x^ + y^ ; La función ParmetricPlot3D dibuja una función donde las tres componentes (x,y,z) dependen de un mismo parámetro. Para describir los puntos del plano que verifican la restricción x^+y^= se emplean las coordenadas polares x(t)=- Cos(t), y(t)=sen(t) y por tanto z(t)=f[x(t),y(t)] In[44]:= A = Plot3D@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <, Mesh Ø FalseD; B = ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, f@cos@td, Sin@tDD<, 8t,, Pi<D; Show@A, BD

7 Derivadas_extremos.nb Out[46]= Ü Graphics3D Ü Definimos la función Lagrangiana y resolvemos el sistema a estudiar: In[3]:= L@x_, y_, l_d := f@x, yd - l g@x, yd; PCriticos = Solve@8D@L@x, y, ld, xd ã, D@L@x, y, ld, yd ã, g@x, yd ã <, 8x, y, l<d Out[3]= 99l Ø ÅÅÅÅ è!!!!!! H - 9 L, x Ø ÅÅÅÅ 9l Ø ÅÅÅÅ è!!!!!! H - i j 5 $%%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅ + %%%%%%%%%% 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k è!!!!!! 9 - $%%%%%%%%%%%%%%%% 9 i j ÅÅÅÅ k + %%%%%%%%%%%%%%%% 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! 9 %%%%%% y z y { z, y Ø $%%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅ + %%%%%%%%%% 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ { è!!!!!! 9 =, 9 L, x Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "################ J9 H9 + ################ 5 è!!!!!! 9 L - 5 "################ 58 H9 + ################## 5 è!!!!!! 9 L N, 6 y Ø -$%%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅ + 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ %%%%%%%%%% è!!!!!! è!!!!!! =, 9l Ø ÅÅÅÅ H L, x Ø ÅÅÅÅ y Ø $%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅ H9-5 9%%%%%% L =, 9l Ø ÅÅÅÅ 58 x Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 H + è!!!!!! 9 L, i j 5 $%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅ H %%%%%% L + $%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!! ÅÅÅÅ H9-5 9 L y z, k { "################ J-9 H9 - ################ 5 è!!!!!! 9 L - 5 "################################## 58 H9-5 è!!!!!! 9 L N, y Ø -$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅ H9-5 9%%%%%% L == 58 De los cuatro posibles puntos críticos a la vista de la gráfica dos serán máximos relativos y dos mínimos relativos. Indica como podrías diferenciarlos. Ejercicios - Calcula los extremos relativos de f(x, y) = (x + y^)*e^( - x^). Cuáles de ellos son mínimos relativos? Cuáles máximos relativos? Cuáles puntos de silla? Alcanza esta función un máximo absoluto? Alcanza un mínimo absoluto? - Calcula los extremos relativos de f(x,y) = cos(x) sin(y). Tiene esta función máximo o mínimo absoluto? 3-Realiza los ejercicios 8 a de la relación de teoría. 4- Calcula los extremos relativos de la función f(x,y)=e^(xy) bajo la restricción x^ +y^ = Calcula la matriz Hessiana de la función f(x,y)=a x^+c y^+ b x y. Determina qué han de cumplir a,b y c para que esta matriz sea siempre definida positiva. 3-Realiza los ejercicios a 6 de la relación de teoría. 6- Queremos ir desde Granada hasta Madrid en coche. Sabemos, en general, que a velocidades altas el coche gasta más cuanto más rápido vayamos. Para ser exactos, supondremos que si vamos a v kilómetros por hora el coche gasta v^3/5 + 5 céntimos por minuto (lo cual entra dentro de lo razonable: por muy despacio que vayamos, el coche siempre gasta algo, y el gasto aumenta muy rápido con la velocidad) Suponiendo esto, a qué velocidad debemos ir para que el gasto sea el mínimo posible?

8 Derivadas_extremos.nb 8 6- Queremos ir desde Granada hasta Madrid en coche. Sabemos, en general, que a velocidades altas el coche gasta más cuanto más rápido vayamos. Para ser exactos, supondremos que si vamos a v kilómetros por hora el coche gasta v^3/5 + 5 céntimos por minuto (lo cual entra dentro de lo razonable: por muy despacio que vayamos, el coche siempre gasta algo, y el gasto aumenta muy rápido con la velocidad) Suponiendo esto, a qué velocidad debemos ir para que el gasto sea el mínimo posible?