Práctica 4. Diferenciabilidad de funciones de varias variables. Plano tangente.
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- Francisco Javier Benítez Bustamante
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1 Práctica 4. Diferenciabilidad de funciones de varias variables. Plano tangente. Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- DIFERENCIABILIDAD Ejemplo 1. Función con derivadas parciales en (0,0) pero que no es diferenciable en (0,0). In[1]:= Clear@"Global` "D x^2 y f@x_, y_d := x^2+ y^2 In[3]:= grafica = Plot3D@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[3]= En la gráfica se observa que en el origen la gráfica tiene un "pico" por lo que no existe su plano tangente y por tanto no es diferenciable en (0,0). Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen:
2 2 Practica4_Diferenciacion.nb In[4]:= planoy = ContourPlot3D@y 0, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<, 8z, 1, 1<D Out[4]= In[5]:= Show@grafica, planoyd Out[5]=
3 Practica4_Diferenciacion.nb 3 In[6]:= Plot@f@x, 0D, 8x, 2, 2<, PlotStyle 8RGBColor@1, 0, 0D, Thickness@0.02D<D Out[6]= La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en el punto x=0. In[7]:= planox = ContourPlot3D@x 0, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<, 8z, 1, 1<D Out[7]=
4 4 Practica4_Diferenciacion.nb In[8]:= planoxd Out[8]= In[9]:= yd, 8x, 2, 2<, PlotStyle 0, 0D, Out[9]= La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en el punto y=0. Ejemplo 2. Función con derivadas parciales en (0,0) pero que no es continua en (0,0) (y por tanto tampoco es diferenciable en (0,0)). In[10]:= Clear@"Global` "D 3 xy f@x_, y_d := x^2+ y^2
5 Practica4_Diferenciacion.nb 5 In[12]:= grafica = Plot3D@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[12]= In[13]:= Limit@f@x, m xd, x 0D Out[13]= 3m 1 + m 2 En la gráfica se observa que en el origen f(x,y) no es continua. Además usando límites direccionales hemos comprobado que no existe el límite de la función en el origen. Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen: In[14]:= planoy = ContourPlot3D@y 0, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<, 8z, 1, 1<D Out[14]=
6 6 Practica4_Diferenciacion.nb In[15]:= planoyd Out[15]= In[16]:= 0D, 8x, 2, 2<, PlotStyle 0, 0D, Out[16]= La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en el punto x=0.
7 Practica4_Diferenciacion.nb 7 In[17]:= planox = ContourPlot3D@x 0, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<, 8z, 1, 1<D Out[17]= In[18]:= Show@grafica, planoxd Out[18]=
8 8 Practica4_Diferenciacion.nb In[19]:= yd, 8x, 2, 2<, PlotStyle 0, 0D, Out[19]= La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en el punto y= PLANO TANGENTE Cuando una función f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) entonces la función admite un plano tangente en dicho punto cuya ecuación viene dada por f Ha, bl + x f Ha, bl Hx al + y f Ha, bl Hy bl Entonces para valores de (x,y) cercanos al punto (a,b) podemos aproximar el valor de la función por el valor de su plano tangente f Hx, yl f Ha, bl + x f Ha, bl Hx al + y f Ha, bl Hy bl y el incremento de la función puede aproximarse por la diferencial f Hx, yl f Ha, bl x f Ha, bl Hx al + y f Ha, bl Hy bl
9 Practica4_Diferenciacion.nb 9 Ejemplo 3. Representa la gráfica de f(x,y)=x 2 + y 2 y su plano tangente en (1/2,0). In[20]:= Clear@"Global` "D f@x_, y_d := x^2+ y^2 grafica = Plot3D@f@x, yd, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<D Out[22]= Calculamos las derivadas parciales. In[23]:= Out[23]= In[24]:= Out[24]= x f@x, yd 2x y f@x, yd 2y Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular su ecuación In[25]:= x f@x, yd ê. 8x 1 ê 2, y 0< Out[25]= 1 In[26]:= y f@x, yd ê. 8x 1 ê 2, y 0< Out[26]= 0 In[27]:= planotangente@x_, y_d := f@1 ê 2, 0D + 1 Hx 1 ê 2L + 0 Hy 0L Print@"El plano tangente es ", z == planotangente@x, ydd El plano tangente es z x
10 10 Practica4_Diferenciacion.nb In[29]:= plantang = Plot3D@planotangente@x, yd, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<D Out[29]= In[30]:= Show@grafica, plantangd Out[30]=
11 Practica4_Diferenciacion.nb 11 Ejemplo 4. Representa la gráfica de f(x,y)=senhxl - senhyl y su plano tangente en ( p 2, 3 p 2 ). In[31]:= Clear@"Global` "D f@x_, y_d := Sin@xD Sin@yD Plot3D@f@x, yd, 8x, 2 π, 2 π<, 8y, 2 π, 2 π<d Out[33]= In[34]:= a = 0.01; grafica = Plot3D@f@x, yd, 8x, π ê 2 a, π ê 2 + a<, 8y, 3 π ê 2 a, 3 π ê 2 + a<d Out[34]= Calculamos las derivadas parciales. In[35]:= Out[35]= In[36]:= Out[36]= x f@x, yd Cos@xD y f@x, yd Cos@yD Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular su ecuación
12 12 Practica4_Diferenciacion.nb In[37]:= x f@x, yd ê. 8x πê 2, y 3 π ê 2< Out[37]= 0 In[38]:= y f@x, yd ê. 8x πê 2, y 3 π ê 2< Out[38]= 0 In[39]:= planotangente@x_, y_d := f@π ê 2, 3 π ê 2D + 0 Hx πê 2L + 0 Hy 3 π ê 2L Print@"El plano tangente es ", planotangente@x, ydd El plano tangente es 2 In[41]:= plantang := Plot3D@planotangente@x, yd, 8x, π ê 2 a, π ê 2 + a<, 8y, 3 π ê 2 a, 3 π ê 2 + a<d Representamos las gráficas de la función y de su plano tangente cerca del punto ( p 2, 3 p 2 ) In[42]:= Show@grafica, plantangd Out[42]= Si las representamos suficientemente cerca del punto ( p, 3 p ) el plano tangente resulta indistinguible de la gráfica de la 2 2 función. Ejemplo 5. La resistencia total R de dos resistencias conectadas en paralelo es 1/R=1/R1+1/R2. Aproximar el cambio en R cuando R1 incrementa de 10 ohms a 10.5 ohms y R2 decrece de 15 ohms a 13 ohms. In[43]:= Clear@"Global` "D r@r1_, r2_d := r1 r2 Valor exacto del incremento:
13 Practica4_Diferenciacion.nb 13 In[45]:= 13D 15D Out[45]= Valor aproximado usando la diferencial: r1 r Ha, bl Hr1 al + r2 r Ha, bl Hr2 bl In[46]:= Out[46]= In[47]:= Out[47]= r1 r@r1, r2d 1 r1 2 I 1 r1 + 1 r2 M2 r2 r@r1, r2d 1 I 1 r1 + 1 r2 M2 r2 2 In[48]:= r1 r@r1, r2d ê. 8r1 10, r2 15< Out[48]= 9 25 In[49]:= r2 r@r1, r2d ê. 8r1 10, r2 15< Out[49]= 4 25 In[50]:= Out[50]= H L + 4 H13 15L Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Calcular el plano tangente a la gráfica de f(x,y)=x+sen(x y) en el punto (0,0). Representarlos gráficamente. Ejercicio 2. Dibujar la gráfica de f(x,y)=-x y -x2 -y 2 y de su plano tangente en el punto (0.7,-0.7). Después acercarse hasta que la gráfica y el plano tangente no puedan distinguirse. Ejercicio 3. Usar la diferencial total para aproximar la cantidad sen( )-sen(1+1)
14 14 Practica4_Diferenciacion.nb Ejercicio 4. Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular Dz. A continuación utilizar la diferencial dz para aproximar el incremento Dz: ü (a) z=f(x,y)= x 2 + y 2 ü (b) z=f(x,y)=x e y Ejercicio 5. El radio y la altura de un cono circular recto miden 10 cm y 25 cm, respectivamente, con un error máximo en la medición de 0.1 cm para cada medida. Utilizar la diferencial para estimar el error máximo cometido al calcular el volumen del cono.
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