Funciones de varias variables. Extremos

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1 Derivadas_y_extremos.nb Funciones de varias variables. Extremos Práctica de Cálculo, E.U.A.T, Grupos ºA y ºB, 25 En esta práctica veremos cómo derivar funciones de varias variables y hallar extremos con Mathematica. Derivación Derivadas parciales Como se ha estudiado en teoría, las derivadas parciales de una función de varias variables son las derivadas con respecto a una de las variables, considerando fijas las demás. En Mathematica, la orden D calcula derivadas de cualquier orden en las variables que elijamos (en particular calcula derivadas de funciones de una sola variable, claro). Esta orden toma como argumentos la función que uno quiere derivar, las variables en las que se quiere derivar y el orden de la derivación (cuántas veces queremos derivar con respecto a cada variable): In[]:= In[2]:= f x_, y_ : E^ x^2 y^2 2 ; Primera derivada respecto a x D f x, y, x Out[2]= 2 x2 y 2 x In[3]:= Primera derivada respecto a y D f x, y, y Out[3]= 2 x2 y 2 y In[4]:= Segunda derivada respecto a x D f x, y, x, 2 Out[4]= 2 x2 y 2 2 x2 y 2 x 2 In[5]:= Parcial respecto a x y respecto a y D f x, y, x, y Out[5]= 2 x2 y 2 x y Calcula el gradiente y la matriz hessiana de la función anterior.

2 Derivadas_y_extremos.nb 2 Derivadas direccionales Una vez que tenemos el gradiente de una función podemos calcular su derivada direccional en cualquier dirección que elijamos. Veámoslo en un ejemplo: In[6]:= In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= g x_, y_ : x Cos y y Cos x gradg D g x, y, x, D g x, y, y Cos y y Sin x, Cos x x Sin y Derivada direccional en la dirección, gradg., Cos x Cos y y Sin x x Sin y La misma derivada direccional, evaluada en el punto 2, gradg.,. x 2, y Cos 2 Interpretación gráfica de la derivada direccional Una derivada direccional no es más que la derivada de la función de una variable que resulta al "cortar" la gráfica de ua función de varias variables con un plano vertical orientado en una dirección dada (de ahí el nombre). Es útil ver gráficamente lo que esto significa. In[]:= grafg Plot3D g x, y, x, Pi, Pi, y, Pi, Pi, AspectRatio Automatic, Mesh False General::spell : Possible spelling error: new symbol name "grafg" is similar to existing symbol "gradg". Out[]= SurfaceGraphics Para ver lo que significa la derivada parcial en la dirección del vector {,} en el punto {,}, dibujemos sólo el corte de la gráfica con un plano que va en esa dirección: In[]:= Out[2]= La recta que pasa por 2, y va en la dirección de, recta, t, ; La función g dibujada sobre esa recta corte ParametricPlot3D recta, recta 2, g recta, recta 2, t, Pi, Pi Graphics3D

3 Derivadas_y_extremos.nb 3 In[3]:= Out[3]= Show grafg, corte, Graphics3D PointSize.3, Point,, Graphics3D Si recta es la recta que definimos antes, entonces la derivada direccional no es más que la derivada usual de la función g[recta[[]],recta[[2]]] (que depende de t) en el punto. Hemos dibujado esta función sobre la gráfica de g para que se vea que es la función g "vista en una cierta dirección"; la curva sobre la gráfica se recorre con distinta velocidad y sentido dependiendo del tamaño y el sentido del vector según el cual calculamos la derivada direccional. Extremos de funciones derivables En muchas situaciones se desea calcular el máximo o el mínimo valor de una función. Como calcular el mínimo de una función f es lo mismo que calcular el máximo de f, aquí hablaremos siempre de máximos (se entiende que los resultados sirven también para mínimos cambiando f por f). En principio, un ordenador no puede decirnos si una función definida en todo el plano (o en la recta real, o en todo el espacio) alcanza un valor máximo; esto es algo que debemos deducir de nuestra comprensión de la función (tal vez ayudándonos de su representación gráfica u otros cálculos). Cuando tengamos motivos para pensar que la función de la que se trate tiene un máximo, sabemos que dicho máximo tiene que ser un extremo relativo (un punto donde la función es siempre mayor o siempre menor que en los puntos cercanos). Si además dicha función es derivable, en un extremo relativo todas sus derivadas primeras deben anularse (porque, intuitivamente, la cima de una montaña suave tiene que ser plana). Esta es una forma de buscar extremos de una función: primero busquemos los puntos donde las derivadas primeras se anulen (se llaman puntos críticos; esperamos que no sean muchos) y de entre ellos seleccionemos aquél donde la función es mayor. Esto nos dará el mayor valor de la función (suponiendo que lo haya). Por ejemplo, calculemos el máximo de la siguiente función (puedes pensar por qué sabemos que esta función debe tener un máximo): In[4]:= h x_, y_ : x^4 y^4 2 x^2 y^2 2; Primero, hallamos los puntos donde el gradiente se anula (o sea, donde todas sus derivadas primeras se anulan):

4 Derivadas_y_extremos.nb 4 In[5]:= gradh D h x, y, x, D h x, y, y General::spell : Possible spelling error: new symbol name "gradh" is similar to existing symbol "gradg". Out[5]= In[6]:= 4 x 4 x 3, 2 y 4 y 3 criticos Solve gradh, x, y Out[6]= x, y, x, y, x, y, x, y, x, y 2 2 2, x, y, x, y, x, y, x, y Entre estos puntos, miramos dónde h es mayor: In[7]:= Out[7]= Table N h x, y. criticos i, i,, 9 3., 3.25, 3.25, 2., 2.25, 2.25, 3., 3.25, 3.25 Vemos que los puntos 2º, 3º, 8º y 9º de la lista anterior son máximos de h. Representa la función h (en una región adecuada para poder ver sus extremos "a ojo"). Calcula sus mínimos relativos. Tiene la función h un mínimo absoluto? Cómo distinguir entre máximos y mínimos relativos Una vez que hemos calculado los puntos críticos de una función, algunos de ellos pueden ser máximos relativos, otros mínimos relativos y otros ninguna de las dos cosas (estos últimos se llaman puntos de silla). La matriz hessiana de una función puede ayudarnos a distinguir entre los tres casos si es definida negativa, definida positiva o indefinida. Calculemos la matriz hessiana de h: In[8]:= hessiana x, y D h x, y, x, 2, D h x, y, x, y, D h x, y, y, x, D h x, y, y, 2 ; Veamos cuál es en algunos puntos críticos: In[9]:= Out[9]= In[2]:= Out[2]= In[2]:= Out[2]= hessiana x, y. criticos 8,,, 2 hessiana x, y. criticos 2 8,,, 4 hessiana x, y. criticos 4 4,,, 2

5 Derivadas_y_extremos.nb 5 El que una matriz sea definida positiva, negativa o indefinida depende de sus valores propios, aunque hay formas más sencillas de verlo a simple vista que funcionan en muchos casos. Por ejemplo, cuando la matriz es diagonal (como las anteriores) resulta especialmente fácil, como se ha estudiado en teoría. En cada uno de los puntos donde la hemos calculado, la matriz hessiana de h es definida negativa, definida positiva, indefinida o de ninguno de estos tipos? Los puntos anteriores, son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de silla? s Calcula los extremos relativos de f(x, y) = (x + y^2)*e^( x^2). Cuáles de ellos son mínimos relativos? Cuáles máximos relativos? Cuáles puntos de silla? Alcanza esta función un máximo absoluto? Alcanza un mínimo absoluto? 2 Calcula los extremos relativos de f(x,y) = cos(x) sin(y). Tiene esta función máximo o mínimo absoluto? 3 Calcula los extremos absolutos de la función f(x,y)=e^( (x+)^2 y^2) E^( (x )^2 y^2). 4 Calcula la matriz Hessiana de la función f(x,y)=a x^2+c y^2+2 b x y. Determina qué han de cumplir a,b y c para que esta matriz sea siempre definida positiva. 5 Queremos ir desde Granada hasta Madrid en coche. Sabemos, en general, que a velocidades altas el coche gasta más cuanto más rápido vayamos. Para ser exactos, supondremos que si vamos a v kilómetros por hora el coche gasta v^3/5 + 5 céntimos por minuto (lo cual entra dentro de lo razonable: por muy despacio que vayamos, el coche siempre gasta algo, y el gasto aumenta muy rápido con la velocidad) Suponiendo esto, a qué velocidad debemos ir para que el gasto sea el mínimo posible?