REPRESENTACIONES GRÁFICAS: CONCEPTOS PREVIOS

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1 graficos.nb 1 REPRESENTACIONES GRÁFICAS: CONCEPTOS PREVIOS PLANO: CURVAS PLANAS 1) FORMA EXPLICITA : y=f(x) Ejemplo: y = x 2 2) FORMA PARAMETRICA : x x t y y t Comando: Plot Comando: ParametricPlot Ejemplo: x 2. cost y 2. sent 3) FORMA IMPLÍCITA : F(x,y) = C paquete: << Graphics`ImplicitPlot`) Ejemplo: x 2 +4y 2 = 1 Comando : ImplicitPlot (dentro del 4) CURVAS DE NIVEL DE LA SUPERFICIE z=z(x,y) Comando : ContourPlot (Este comando con truco se puede utilizar par representar una curva dada en forma implícita) Estos comandos tienen muchas opciones que permitirán obtener desde representaciones gráficas muy sencillas a otras más complejas. Tienen muchas opciones que se obtienen con Options o??. Options Plot?? ParametricPlot Para ver en la ayuda información sobre las opciones más utilizadas: Built-in-functions -> Graphics and Sounds->Basic Options. Entre las más utilizadas: - PlotStyle : Una gráfica se puede representar en varios tonos de gris (GrayLevel[w], con w entre 0 y 1),varios colores ( RGBColor[r,g,b], con r,g,b iguales a un valor comprendido entre 0 y 1, o Hue[h]), siendo h un valor comprendido entre 0 y 1, o CMYKColor[c,m,y,k] con c(cyan), m(magenta), y (yellow), k(black) comprendidos entre 0 y 1) y distintos tipos de trazo (Dashing). Obtener información de estas opciones correspondientes a PlotStyle en el Help, sec PlotRange: Se utililiza para fijar el valor máximo y mínimo de la ordenada. Jugando con este valor se puede hacer un zoom de una determinada parte de la

2 graficos.nb 2 gráfica. -AspectRatio. Poniéndolo en automatic se consigue ver las circunferencias como circunferencias, no como elipses. - DisplayFunction->Identity que hace que la gráfica no se muestre en pantalla pero Mathematica sí la realiza internamente. Después, utilizando el comando Show, por ejemplo, junto con la opción : DisplayFunction->$DisplayFunction, tendremos la gráfica en pantalla. Ejecutar los ejemplos que aparecen en la ayuda de cada una de estas opciones. El comando ParametricPlot Este comando se utiliza para representar una curva dada en forma paramétrica. Sea, por ejemplo, la circunferencia de centro (1,1) y radio 2. Esta circunferencia se puede expresar paramétricamente como : x 1 2. cost y 1 2. sent. ParametricPlot 1 2 Cos t, 1 2 Sin t, t, 0, 2 Como no sale realmente redonda utilizamos la opción AspectRatio->Automatic ParametricPlot 1 2 Cos t, 1 2 Sin t, t, 0, 2, AspectRatio Automatic El comando ImplicitPlot Este comando está dentro del paquete : <<Graphics`ImplicitPlot`, y es preciso cargarlo antes de utilizarlo: Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot x^2 y^2 4, x, 2, 2

3 graficos.nb 3 El comando ContourPlot Las curvas de nivel de una función de dos variables f(x,y), son curvas en el plano xy que satisfacen la ecuación: f(x,y) = C, siendo C una constante. Mathematica representa varias curvas de nivel de la función f(x,y) en el rectángulo a x b, c y d, mediante el comando : ContourPlot[f`[x,y],{x,a,b},{y,c,d}].?? ContourPlot En este ejemplo se van incorporando diferentes opciones de este comando. Representar varias curvas de nivel de f(x,y) =x 2 4 x y 2 2 y 5 en el rectángulo [-2,6]x[-3,5]. Representar la circunferencia : x 2 4 x y 2 2 y 5= 9 f x_, y_ x 2 4 x y 2 2 y 5; ContourPlot f x, y, x, 2, 6, y, 3, 5 Para mejorar las curvas añadimos la opción PlotPoints 60, y para eliminar el sombreado la opción ContourShading False. f x_, y_ x 2 4 x y 2 2 y 5; ContourPlot f x, y, x, 2, 6, y, 3, 5, ContourShading False, PlotPoints 60 Para poner ejes y el origen en el (0,0) añadimos las opciones Axes True,AxesOrigin {0,0} f x_, y_ x 2 4 x y 2 2 y 5; ContourPlot f x, y, x, 2, 6, y, 3, 5, ContourShading False, Frame False, Axes True, AxesOrigin 0, 0, PlotPoints 60 Para representar la circunferencia : x 2 4 x y 2 2 y 5= 9, añadimos la opción Contours {9} ContourPlot f x, y, x, 2, 6, y, 3, 5, Contours 9, Frame False, Axes Automatic, AxesOrigin 0, 0, ContourShading False, PlotPoints 120

4 graficos.nb 4 Representación de varias curvas en un mismo gráfico Para el caso de curvas planas (menos en el espacio) interesa muchas veces representar varias curvas en un mismo gráfico, por ejemplo, y=f(x) y y=g(x). Se puede hacer de dos formas, la primera : p1 Plot x^2, x, 1, 1 p2 Plot x, x, 1, 1 Show p1, p2 La segunda Plot x^2, x, x, 1, 1 Si en este caso se utiliza la opción PlotStyle (para distinguir las dos gráficas), se asigna a PlotStyle una lista con dos estilos, el primero será el correspondiente a la primera gráfica y el segundo a la segunda. Por ejemplo, para representar la parábola en rojo y la recta en verde, Plot x^2, x, x, 1, 1, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0, RGBColor 0, 1, 0

5 graficos.nb 5 CURVAS EN EL ESPACIO SUPERFICIES A) CURVAS x x t 1) PARAMÉTRICA : y y t Comando: ParametricPlot3D z z t (Dentro del paquete : <<Graphics`ParametricPlot3D`) x cost Ejemplo: (La hélice) y sent z t 2) INTERSECCIÓN DE DOS SUPERFICIES(se puede hacer en ocasiones, creando dos gráficos y mostrándolos conjuntamente con el comando Show) Ejemplo: x y z 4 3 x 2 y z 2 p1 Plot3D 4 x y, x, 2, 2, y, 3, 3 p2 Plot3D 3 x 2 y 2, x, 2, 2, y, 3, 3 Show p1, p2 B) SUPERFICIES 1) FORMA EXPLÍCITA : z=z(x,y) Comando : Plot3D Ejemplo: (paraboloide) z=x 2 y 2 x x u, v 2) FORMA PARAMETRICA : y y u, v z z u, v Comando : ParametricPlot3D (Dentro del paquete : <<Graphics`ParametricPlot3D`) Ejemplo: x 3 sent.cosu y 3 sent.senu, t [0, ], u [0,2 ] (esfera) z 3 cost 3)FORMA IMPLICITA ; F(x,y,z)=C Comando : ContourPlot3D (dentro del paquete <<Graphics`ContourPlot3D`)(con truco, no lo vemos)

6 graficos.nb 6 Ejemplo : x 2 y 2 z 2 1 <<Graphics`ContourPlot3D` ContourPlot3D x 2 y 2 z 2, x, 1, 1, y, 1, 1, z, 1, 1, Contours 1. Plot3D x^2 y^2, x, 2, 2, y, 2, 2 Otros comandos empleados en representaciones gráficas Hay más comandos, por ejemplo, para representar curvas en coordenadas polares : PolarPlot, que está dentro del paquete : << Graphics`Graphics`. Representar utilizando este comando las curvas : r=cos(t), r=2cos(t) y r=4cos(4t) utilizando colores distintos para diferenciarlas. << Graphics`Graphics` PolarPlot Cos t, 2 Cos t, 4 Cos t, t, 0, 2 Pi, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0, RGBColor 0, 1, 0, RGBColor 0, 0, 1 El comando GraphicsArray Con el comando GraphicsArray (En la ayuda : Graphics and Sound -> Combinatios-> GraphicsArray ) se pueden representar varias gráficas en un único objeto gráfico. Este comando crea un vector (array) con un determinado número de gráficos. Normalmente estos gráficos no se presentan en pantalla cuando se generan (para ello se utiliza la opción : DisplayFunction Identity). Despues el comando GraphicsArray junto con el comando Show nos mostrará conjuntamente todos los gráficos del array o matriz de gráficos. p1 Plot Sin x, x, 0, 2, DisplayFunction Identity ; p2 Plot Sin 2 x, x, 0, 2, DisplayFunction Identity ; Show GraphicsArray p1, p2 ;

7 graficos.nb 7 Para eliminar los Ticks en ambos ejes, Show GraphicsArray p1, p2. Ticks Automatic Ticks None ; Ejercicios Nota: Las salidas gráficas ocupan mucha memoria, por eso, una vez que se ha comprobado que es correcta, conviene suprimir la salida para que el fichero no tenga un tamaño mayor que el que cabe en el disquette. Sean f(x) = 4 x 3 6 x 2 9 x 2, g(x) = 12 x 2 12 x 9 y h(x) = 24x+12. Representar las tres funciones en el mismo gráfico utilizando distintos estilos para cada una. Representar las funciones senx, sen(2x) y sen(x/2) conjuntamente en el intervalo [0, 4 ]. Representar el círculo : x 2-4x + y 2-2y =4. Sea f(x) = 4 x 3 6 x 2 9 x 2. Representarla en el intervalo [-3,2]. Utilizar el comando ParametricPlot para representar la circunferencia: x 2-4x + y 2-2y = 4.

8 graficos.nb 8 Representar h(x,y) = (x 2 y 2 x 2 y 2 y varias curvas de nivel de h en el rectángulo [-2,2]x[-2,2] Representar las curvas de nivel de g(x,y) = xseny+ysenx en la región [0,5 ] x [0,5 ] Las ecuaciones :{ x=at-bsent, y=a-bcost} representan una cicloide. La hoja de Descartes tiene como representación paramétrica: {x=3at/(1+t 3, y=3at 2 /(1+t 3 }. Representar en un único objeto gráfico estas dos curvas para a=1 y b=2. Crear un Array de gráficos( de dos en dos) para representar las siguiente curvas en polares: a) r= sen(8 /7), 0 14 ; b)r= cos, -19 /2 19 /2 ; c) (La mariposa) r = e cos - 2cos4 + sen 5 12, 0 24 ; d) r=cos + cos 3 3 2, 0 4. Representar la superfice de ecuación z= x 2 4 x y 2 2 y 5 para 0 x 4, e -1 y 3

9 graficos.nb 9 Representar la superficie cuya ecuación es: e cosy senx, en la región: { 0 x 2, 0 y 4 }. Generar cuatro gráficos distintos. El primero, p1, utilizando la opción Lighting False, el segundo p2, con la opción Shading False, el tercero en rojo con la opción RGBColor[1,0,0], y el cuarto con varias gamas de verde utilizando la opción RGBColor[0,Abs[Sin[x] Cos[y]],0]. Re Representar las funciones cosx, cos(2x), cos(x/2) y cos(x/4) en el intervalo [0, 4 ] guardando los gráficos correspondientes en las variable p1, p2, p3 y p4 sin mostrarlos en pantalla. Crear una lista lisgraf, con los gráficos anteriores y representar todas las gráficas en una misma línea. A continuación utilizar el comando Partition para crear una matriz de gráficos y representar los gráficos anteriores en dos líneas.