1. Lección 6 - Derivabilidad

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1 1. Lección 6 - Derivabilidad Apuntes: Matemáticas Empresariales I Si el concepto de continuidad era importante para la aplicación de las matemáticas a la economía, el concepto fundamental del cálculo infinitesimal, la derivada, es todavía de una importancia mayor. La derivada, que mide el incremento marginal de una función, o lo que es lo mismo, el incremento porcentual cuando se pasa de un punto a otro que está muy cerca, tiene una gran aplicación en cuestiones económicas. La utilidad marginal, que mide lo que aumenta la utilidad al incrementar en una cantidad pequeña el consumo de un bien ó el coste marginal, que mide lo que aumenta el coste de una empresa al aumentar el número de trabajadores en una cuantía muy pequeña, son ejemplos de este concepto. Además la derivada tendrá una serie de aplicaciones matemáticas que serán muy útiles para los modelos económicos. En particular veremos cuándo una función crece o cuándo alcanza el máximo o el mínimo. Si, por ejemplo, aplicamos estos conceptos a una función beneficio, podremos ver cuándo el beneficio aumenta y cuándo el beneficio es máximo Concepto de Derivada Formalmente, sea la función f : R R, se llama derivada de f en el punto a R y se denota por f (a) al valor del límite siguiente: f (a) 0 f(a + ) f(a) Ejemplo Calcule la derivada de la función f(x) = x 2 en el punto x = 3. Para calcular la derivada de dica función en dico punto debemos calcular el siguiente límite: 1

2 1.1 Concepto de Derivada f (3) 0 f(3 + ) f(3) y sustituyendo f por la función del ejemplo. f (3) 0 (3 + ) ( ) ( ) y por último, tomando el límite cuando 0 se obtiene que 0 +6 f (3) = 6 que es el valor de la derivada. Por lo tanto la derivada es un número que se obtiene como resultado del cálculo de un límite concreto Interpretación de la derivada El concepto anterior tiene una interpretación más conceptual que permite entender que es la derivada y como se aplica a la economía y una interpretación geométrica que permite entender el concepto de derivada de una forma gráfica. Interpretación para la Economía Para entender qué significa la derivada vamos a ir explicando los elementos que intervienen en la definición y viendo qué significan. En primer lugar se observa que en la derivada aparece: f(a + ) f(a) Esta parte es justamente lo que aumenta la función al pasar del punto a al punto a +. Posteriormente, en la definición de derivada, se divide por : f(a + ) f(a) 2

3 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Al acer esto, el concepto que aparece es el incremento de la función al pasar del punto a al punto a + pero, en términos del incremento. Este concepto mide el incremento porcentual de la función f al pasar del punto a al punto a +. Por último, al concepto anterior se le toma el límite: f (a) 0 f(a + ) f(a) Al acer esto, el concepto que aparece es el incremento porcentual de f al pasar de a al punto a+ pero cuando es muy pequeño. Esto significa que medimos porcentualmente lo que aumenta la función al pasar del punto a al punto siguiente que está muy cerca de a. Este concepto se llama incremento marginal de la función f en el punto a y justamente nos indica esto, lo que aumenta la función en el punto a cuando incrementamos a en una cantidad muy pequeña. Este concepto tiene una aplicación directa en la economía ya que, para cualquier función derivable, que relacione dos variables económicas vamos a poder calcular el incremento de una cuando la otra aumenta en una unidad (o en un incremento muy pequeño). Por ejemplo, si tenemos la función B = f(x) donde B es beneficio de la empresa y x es la cantidad de producto que vende, entonces la derivada en un punto x 0 (f (x 0 )) nos indica lo que aumenta el beneficio de la empresa cuando se pasa de producir x 0 a producir un poco mas de x 0. Interpretación geométrica Para entender geométricamente lo que es la derivada nos vamos a ayudar de la figura siguiente: 3

4 1.2 Función derivada Como se ve en la figura, si escogemos un grande entonces podemos representar de forma clara los puntos (a, f(a)) y (a +, f(a + )). Además vemos que f(a + ) f(a) es la fleca vertical que aparece en la lado dereco del dibujo. Por otro lado, restando a a + la cantidad a se obtiene que es justamente la fleca orizontal que aparece en el lado inferior del dibujo. Al acer el cociente entre ambos conceptos tenemos: f(a + ) f(a) Lo que se obtiene es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a +, f(a + )). Al acer cada vez mas pequeño se van calculando las pendientes de las rectas secantes que pasan por los puntos (a, f(a)) y (a+, f(a+)) pero estando ambos puntos cada vez mas cerca, como aparece en la figura siguiente: En el límite, cuando 0 los puntos (a, f(a)) y (a +, f(a + )) son prácticamente el mismo y por lo tanto la recta que pasa por ambos puntos es la recta tangente que toca a la función en un solo punto. Por lo tanto, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la función f en el punto a Función derivada Una vez que emos entendido el concepto de derivada, nos podemos preguntar si podemos aplicar dico concepto, no solo a un punto, sino a todo el dominio de la función. En vez de ir calculando la derivada para cada punto, podemos encontrar 4

5 Apuntes: Matemáticas Empresariales I una función que tenga como imagen (lo que devuelve la función) la derivada de los puntos del dominio. Así, sea la función f : R R, se llama función derivada de f(x) y se denota por f (x) a otra función f : R R que resulta de aplicar el límite siguiente: f (x) 0 f(x + ) f(x) Por lo tanto, la función derivada aplica la definición de derivada no solo a un punto, sino a todos los puntos del dominio. Ejemplo Calcular usando la definición la derivada de la función f(x) = x 2 A partir de la definición de la función derivada: f (x) 0 f(x + ) f(x) y sustituyendo f por la función del ejemplo. f (x) 0 (x + ) 2 x 2 0 (x x) x 2 0 ( x) y por último, tomando el límite cuando 0 se obtiene que 0 2 x+ Comentario de Notación f (x) x = 2 x A veces, debido a que f(x + ) f(x) es el incremento de y y = a + a es el incremento de x a la derivada se le denota por: f y (x) 0 x 5

6 1.3 Cálculo de la función derivada A veces para decir que el incremento es infinitesimal se utiliza el concepto de diferencial que veremos en el segundo semestre, de tal forma que: f (x) = df(x) dx = dy dx Esta notación cobrará una importancia mayor en el segundo semestre en el que tendremos que especificar respecto a qué variable tenemos que derivar. Así, si tenemos un campo escalar de la forma y = f(x 1, x 2 ) entonces tendremos que indicar lo que varia la y cuando la x 1 aumenta y lo que varia la y cuando la x 2 aumenta. Para ello utilizaremos la notación y x 1 y y x Cálculo de la función derivada Reglas de derivación Evidentemente, aunque siempre se puede calcular la derivada de una función aplicando la definición del punto anterior, es más fácil aplicar las reglas de derivación. Estas reglas se an obtenido calculando el límite implicado por la definición de la función derivada y observando como es su comportamiento. Una vez que se a demostrado que la función derivada sigue una expresión determinada para cada función, ya no tiene sentido calcular el límite todas las veces siguientes y es más cómodo aplicar las reglas. Las reglas de derivación son: La derivada de f(x) = c, es f (x) = 0 la derivada de f(x) = x n, es f (x) = nx n 1 La derivada de f(x) = ln(x), es f (x) = 1 x La derivada de f(x) = log a x, a > 0, es f (x) = 1 x 1 ln a 6

7 Apuntes: Matemáticas Empresariales I La derivada de f(x) = e x, es f (x) = e x La derivada de f(x) = a x, a > 0, es f (x) = a x ln a La derivada de f(x) = sen(x), es f (x) = cos(x) La derivada de f(x) = cos(x), es f (x) = sen(x) sec 2 (x) La derivada de f(x) = tg(x), es f (x) = 1 + tg 2 (x), f (x) = 1 cos 2 (x) ó f (x) = Algebra de derivadas Con las reglas anteriores podemos calcular las funciones derivadas para funciones simples, pero no para funciones compuestas por varias funciones. Para resolver este problema, vemos el algebra de derivadas o las reglas de derivación para las operaciones con derivadas. Derivada del producto Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del producto de estas dos funciones derivables, [f(x) g(x)] es: [f(x) g(x)] = f(x) g (x) + g(x) f (x) Ejemplo Calcular la derivada de (x) = xsen(x). Como (x) es el producto de dos funciones f(x) = x y g(x) = sen(x) aplicamos la regla de derivada del producto, y al sustituir por las funciones y las reglas de derivación anteriores se obtiene que: 7

8 1.3 Cálculo de la función derivada [f(x) g(x)] = f(x) g (x) + g(x) f (x) = xcos(x) + sen(x) 1 Derivada del cociente Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del cociente de estas [ ] dos funciones, f(x) g(x) es: [ ] f(x) = g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) [g(x)] 2 Ejemplo Calcular la derivada de (x) = sen(x). Como (x) es el cociente de dos fun- x ciones f(x) = sen(x) y g(x) = x aplicamos la regla de derivada del cociente, y al sustituir por las funciones y las reglas de derivación anteriores se obtiene que: [ ] f(x) = g(x) f (x) f(x) g (x) = g(x) [g(x)] 2 Derivada de la función compuesta xcos(x) + sen(x) 1 x 2 Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada de la función compuesta, (g(x) f(x)) es: (g(x) f(x)) = g (f(x)) f (x) Ejemplo Calcular la derivada de (x) = sen(x). Como (x) es la composición de dos funciones g(y) = y e y = f(x) = sen(x) aplicamos la regla de derivada de la composición de funciones, y al sustituir por las funciones y las reglas de derivación anteriores se obtiene que: (g(x) f(x)) = g (f(x)) f (x) = 1 2 sen(x) cos(x) = cos(x) 2 sen(x) 8

9 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Derivación en puntos conflictívos Ya sea porque la función esté definida por intervalos o porque al calcular la función derivada y sustituir en el punto la función no esté definida, a veces es necesario encontrar la derivada calculando directamente el límite implicado por la definición de derivada. Por ello, definimos la derivada por la dereca en el punto a como el valor del límite, si existe, siguiente: f (a + ) 0 + f(a + ) f(a) Definimos la derivada por la izquierda en el punto a como el valor del límite, si existe, siguiente: Teorema f (a ) 0 f(a + ) f(a) Es condición necesaria y suficiente para la existencia de la derivada en un punto que existan las derivadas laterales y que sean iguales: f (a) = f (a + ) = f (a ) Ejemplo 1- función definida por intervalos Estudiar la derivabilidad de la función f(x) siendo: 8 si x 2 x f(x) = x 2 si 2 < x 1 2x 1 si x > 1 Como las funciones f 1 (x) = 8 x, f 2(x) = x 2 y f 3 (x) = 2x 1 son derivables 9

10 1.3 Cálculo de la función derivada en su parte del dominio, ay que estudiar la derivabilidad de f(x) en los puntos en los que cambia la función. En primer lugar estudiamos la derivabilidad en el punto x = 1 y para ello debemos comprobar si existen los límites laterales de la derivada y coinciden, es decir si se cumple que f (1 + ) = f (1 ) = f (1). Por definición, el límite por la dereca es f (1 + ) 0 + f(a + ) f(a) 0 + f(1 + ) f(1) Y sustituyendo por la función f 3 (x) = 2x 1 que es la que actúa a la dereca del 0 y con f(1) = 1 2 = 1 como dice la función: = 2(1 + ) lím = 2 Por otro lado, a partir del límite por la izquierda: f (1 ) 0 f(a + ) f(a) 0 f(1 + ) f(1) Y sustituyendo por la función f 2 (x) = x 2 que es la que actúa a la izquierda del 0 y con f(1) = 1 2 = 1 como dice la función: = (1 + ) lím = 2 Como ambos límites existen y son iguales se concluye que la función f(x) es derivable en x = 1. Por otro lado tenemos que estudiar la derivabilidad en el otro punto en el que cambia la función, en x = 2. Para ello tenemos que calcular el límite por la dereca y por la izquierda y ver si coinciden. El límite por la dereca para el punto x = 2 se define como: f ( 2 + ) 0 + f(a + ) f(a) f( 2 + ) f( 2) =

11 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Y sustituyendo por la función f 2 (x) = x 2 que es la que actúa por la dereca y con f( 2) = 8 2 = 4 como dice la función: lím 0 + ( 2 + ) = 4 El límite por la izquierda para el punto x = 2 se define como: f ( 2 ) 0 f(a + ) f(a) Y sustituyendo por la función f 1 (x) = 8 x izquierda y con f( 2) = 8 2 = 4 como dice la función: 0 f( 2 + ) f( 2) = que es la que actúa por la lím = 2 Como, aunque ambos límites existen, éstos son distintos f ( 2 + ) f ( 2 ) la función f(x) no es derivable en el punto x = 2. Ejemplo 2- Funciones en los que la función derivada no esta definida Estudie la derivabilidad de la función f(x) = x en el punto x = 0 En el punto 0 no se pueden aplicar las reglas de derivación y sustituir en el punto, por lo tanto ay que encontrar la derivada utilizando la definición. Para comprobar si existe la derivada se tiene que comprobar si existen los límites laterales y éstos coinciden. En primer lugar calculamos el límite por la dereca que es: f (0 + ) 0 + f(a + ) f(a) 0 + f(0 + ) f(0) Como a la dereca de 0, la función valor absoluto devuelve el mismo valor ya que x es positiva y se queda positivo: f(x) = x y con f(0) = 0 la expresión anterior queda: 11 =

12 1.3 Cálculo de la función derivada f (0 + ) = 1 Posteriormente, calculamos el límite por la izquierda que es: f (0 ) 0 f(a + ) f(a) 0 f(0 + ) f(0) Como a la izquierda de 0, la función valor absoluto devuelve el mismo valor pero cambiado de signo, ya que x es negativo y se queda positivo: f(x) = x y con f(0) = 0 la expresión anterior queda: = f (0 ) = 1 0 Como, aunque ambos límites existen, éstos son distintos f (0 + ) f (0 ) la función f(x) no es derivable en el punto x = 0. Anexo: Otra forma de garantizar la derivabilidad en las funciones definidas por intervalos Sea f(x) una función de la forma: f 1 (x) si x a f(x) = f 2 (x) si x > a Donde tanto f 1 (x) como f 2 (x) son dos funciones elementales continuas y derivables en x = a. Entonces, si f 1 (a) = f 2 (a) y si f 1(a) = f 2(a) entonces f(x) es derivable en x = a Si aplicamos este resultado a la función anterior en el punto x = 1: x 2 si x 1 f(x) = 2x 1 si x > 1 12

13 Apuntes: Matemáticas Empresariales I vemos que, con f 1 (x) = x 2 y con f 2 (x) = 2x 1 se tiene que f 1 (1) = f 2 (1) = 1. Por otro lado, calculamos las derivadas de las funciones anteriores y tenemos que f 1(x) = 2x y que f 2(x) = 2. Al sustituir en el punto se tiene que f 1(1) = 2 1 y que f 2(x) = 2. Como f 1 (1) = f 2 (1) y como f 1(1) = f 2(1) entonces la función es derivable en el punto x = Derivadas sucesivas Partiendo de la función f : R R se puede calcular la función derivada f (x) simplemente aplicando la definición de función derivada o, lo que es lo mismo, aplicando el límite: f (x) 0 f(x + ) f(x) Y, como emos visto antes, lo que se obtiene es una nueva función f : R R. Por lo tanto, dica a dica función también se le puede aplicar la definición de derivada, obteniéndose la derivada de la derivada: (f ) (x) 0 f (x + ) f (x) Pues a la función derivada de la derivada (f ) que se obtiene de aplicar la definición de derivada dos veces se la llama función derivada segunda y se representa por f (x). Evidentemente, al ser una función también se le puede aplicar de nuevo la definición de derivada obteniéndose la deriva tercera f (x) y así sucesivamente. Por último, decir que, al igual que ocurría con el cálculo de la derivada, no es necesario aplicar el límite cada vez que se quiera calcular la derivada, tan solo ay que aplicar las reglas de derivación tantas veces como sean necesario. Ejemplo Sea f(x) = x 2 +3x+2, la derivada primera de dica función es f (x) = 2x+3 (aplicando las reglas de derivación) y la derivada segunda será la derivada de f (x). 13

14 1.4 Derivabilidad y Continuidad Al aplicar por segunda vez las reglas de derivación se obtiene que la derivada segunda vale f (x) = 2 Comentario de Notación En términos de la notación del diferencial, la derivada segunda toma la forma f (x) = d2 f(x) dx 2 = d2 y dx 2 De nuevo, esta notación cobrará una importancia mayor en el segundo semestre en el que tendremos que especificar respecto a qué variables sucesivas calculamos la derivada. Así, en el ejemplo del campo escalar anterior, y = f(x 1, x 2 ) si tomamos la derivada segunda, tendremos que indicar respecto a que variables emos tomado la derivada. Si la primera es respecto a x 1 y la segunda respecto a x 2 entonces la notación será 2 y x 1 x 2 respecto a x 2 y luego a x 1, que no tiene por que ser lo mismo que la derivada segunda 2 y x 2 x Derivabilidad y Continuidad Teorema Sea la función f : R R, Si f(x) es derivable en el punto x = a entonces es continua en x = a f (a) = f(a)continua Este teorema nos da una condición necesaria de derivabilidad y por lo tanto podemos decir lo siguiente: 1. Si tenemos un función derivable en un punto entonces podemos asegurar que es continua 2. Si tenemos que una función NO es continua en un punto entonces podemos asegurar que NO es derivable. 14

15 Apuntes: Matemáticas Empresariales I 1.5. Aplicaciones de la derivada El concepto matemático de derivada tiene una gran cantidad de aplicaciones en la práctica, tanto matemática, como por supuesto en la práctica económica Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle Sea f : R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Además cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un x 0 (a, b), en el que se anula la derivada, f (x 0 ) = 0. Teorema del incremento finito Sea f : R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe al menos un x 0 (a, b), tal que: f (x 0 ) = f(b) f(a) b a Teorema de Caucy o de la media generalizado Sean f : R R y g : R R dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe al menos un x 0 (a, b), tal que: f (x 0 ) g (x 0 ) = f(b) f(a) g(b) g(a) Crecimiento y Decrecimiento Sea f : R R una función definida en (a, b): Se dice que f es creciente en (a, b) si para todo par de puntos x 1, x 2 (a, b) tales que x 1 < x 2, se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ) (si la relación es f(x 1 ) < f(x 2 ) entonces el crecimiento es estricto) 15

16 1.5 Aplicaciones de la derivada Se dice que f es decreciente en (a, b) si para todo par de puntos x 1, x 2 (a, b) tales que x 1 < x 2, se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ) (si la relación es f(x 1 ) > f(x 2 ) entonces el decrecimiento es estricto) Proposición Sea f : R R una función derivable en (a, b) y además se cumple que f (x) 0 para todo x (a, b), entonces f es creciente en (a, b). Análogamente, si f (x) 0 para todo x (a, b), entonces f es decreciente en (a, b). Por último si f (x) = 0 para todo x (a, b), entonces f es constante en (a, b) Ejemplo Sea U(x) = x 2 + 4x + 4 una función que mide la utilidad que proporciona un determinado bien en función del número de unidades del bien (x). En ese caso, si un individuo está consumiendo una unidad, debería consumir mas unidades? y si consume 3 unidades debería consumir más?. El individuo debería consumir más unidades, si al consumir una unidad más su utilidad aumenta. Para saber si la función aumenta debemos calcular la derivada en el punto x 0 = 1. La derivada de la función es f (x) = 2x + 4 y en el punto es f (x 0 ) = 2x 0 + 4=f (1) = = 2. Como es positiva, entonces la utilidad aumenta si consume más unidades. Por otro lado, en el punto x 0 = 3 la derivada es f (x 0 ) = 2x 0 + 4=f (3) = = 2. Como es negativa, entonces la utilidad disminuye si consume más unidades, por lo tanto no debe consumir más unidades sino menos Optimización Sea f : R R, se dice que f alcanza un máximo relativo en el punto a R si existe un δ > 0 tal que, para todo x (x δ, x + δ) se cumple que f(x) f(a). Si la igualdad es estricta f(x) < f(a) entonces el máximo es estricto. Análogamente, la definición de mínimo es igual pero con las desigualdades 16

17 Apuntes: Matemáticas Empresariales I cambiadas de signo. Se dice que f alcanza un mínimo relativo en el punto a R si existe un δ > 0 tal que, para todo x (x δ, x + δ) se cumple que f(x) f(a). Si la igualdad es estricta f(x) > f(a) entonces el mínimo es estricto. Condición Necesaria de Optimalidad Sea f : R R, si la función f alcanza un extremo relativo en el punto a R y existe f (a), entonces f (a) = 0. Esta condición es una condición necesaria por lo tanto lo que dice es que todos los puntos que sean extremos anularán la derivada, pero no todos los puntos que anulen la derivada serán extremos relativos. En cualquier caso nos da una condición para encontrar los candidatos a máximos y mínimos que serán los que anulen la derivada. Posteriormente necesitaremos otra condición que nos garantice que los puntos candidatos anteriores sean máximos, mínimos u otra cosa. Condición Suficiente de Optimalidad Sea f : R R, y sea a R un punto que cumple f (a) = 0. Entonces: Si f (a) > 0, entonces a es un mínimo local Si f (a) < 0, entonces a es un máximo local Si f (a) = f (a) = = f n 1 (a) = 0 y f n (a) 0 entonces: Si n es impar, a no es ni máximo ni mínimo local de f (punto de silla) Si n es par y f n (a) > 0, a es mínimo local de f Si n es par y f n (a) < 0, a es máximo local de f Esta regla nos da una condición suficiente para garantizar que un punto es máximo o mínimo. Por lo tanto, en la práctica primero se encontrarán todos los candidatos a óptimos a partir de la condición necesaria y después con la condición suficiente se determinará qué tipo de punto son. Ejemplo Matemático 17

18 1.5 Aplicaciones de la derivada Vamos a ver un ejemplo que nos muestre cómo se encuentran los óptimos en la práctica. El ejercicio podría ser el siguiente: Encuentre los máximos y mínimos de la función f(x) = 2x 3 + 9x 2 60x + 1. En primer lugar tenemos que encontrar los candidatos a mínimos y máximos. Para ello usamos la condición necesaria que indica que si un punto es óptimo entonces anula la derivada. Por lo tanto, calculamos la derivada y vemos que puntos la anulan. f (x) = 6x x 60 = 0 La función derivada que se obtiene es una ecuación de segundo grado cuya solución es x = b± b 2 4ac 2a y en este caso las soluciones son x 1 = 5 y x 2 = 2. Los puntos anteriores son candidatos a máximos y mínimos pero no se puede asegurar que lo sean asta que cumplan la condición suficiente. Para ello, calculamos la segunda derivada y la evaluamos en los candidatos. f (x) = 12x + 18 Como f (5) = = 78 > 0 se concluye que el punto x 1 = 5 es un mínimo. Como f ( 2) = = 6 < 0 se concluye que el punto x 2 = 2 es un máximo. Ejemplo Económico Como se verá en el ejemplo siguiente, los problemas de optimización tienen una aplicación directa en las cuestiones económicas debido a que los agentes económicos están continuamente maximizando y minimizando funciones como son la utilidad, los beneficios, los costes etc. El ejemplo siguiente, que fué puesto en un examen de años anteriores, no repasa solo el problema de optimización sino también el concepto de derivada aplicado a la economía. Un empresario se enfrenta a la demanda de su producto según la función p = 50 x. Además la función de costes sigue la siguiente expresión C(x) = 0,5x

19 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Se pide: 1. Encuentre la función Ingresos. Calcule su derivada e interprete dica función. 2. Encuentre la función Beneficios. Calcule su derivada e interprete dica función. 3. Diga para que valor de x el Beneficio de esta empresa es máximo. Como cambia el beneficio si a partir de dico valor se aumenta o disminuye una unidad. Contestación: 1. Los ingresos de un empresario son la cantidad de producto que vende multiplicado por el precio I = P X donde P es precio y X es cantidad. En este caso como nos dan la función demanda, entonces podemos poner los ingresos como función del precio o los ingresos como función de la cantidad. En el primer caso se tiene que I(p) = p x. Aora bien a partir de la demanda se sabe que si p = 50 x entonces despejando para x se tiene que x = 250 p 2 y sustituyendo se tiene que la función ingresos es I(p) = p 250 p 2 = 250 p. La derivada respecto del precio es I (p) = 250 p 2 y mide el ingreso marginal de la empresa en términos del precio. Dica función nos dice cuanto aumentan los ingreso de la empresa cuando aumentan el precio. Se puede ver que dica función tiene signo negativo para todos los valores de p indicando que a medida que la empresa aumenta el precio, la función ingresos disminuye. En el segundo caso, se tiene de nuevo que I(x) = p x pero aora los ingresos están en función de la cantidad y por lo tanto se debe sustituir el precio por lo que dice la demanda p = 50 x. Al acer esto se obtiene que I(x) = 50 x x = 50 x. 19

20 1.5 Aplicaciones de la derivada La derivada respecto a la cantidad es I (x) = 50 2 x y mide el ingreso marginal de la empresa en términos de la cantidad. Dica función nos dice cuanto aumentan los ingreso de la empresa cuando aumenta la cantidad. Se puede ver que dica función tiene signo positivo para todos los valores de x > 0 indicando que a medida que la empresa aumenta la cantidad producida la función ingresos aumenta. 2. Los beneficios de una empresa son los ingresos menos los costes B = I C. Aunque no es la única forma de resolver el problema, como los costes vienen expresados en términos de la cantidad, entonces es mas interesante expresar los ingresos en términos de la cantidad y por lo tanto la función beneficio queda B(x) = I(x) C(x) y sustituyendo por el apartado anterior y por la expresión de los costes que viene en el enunciado, la función beneficio es B(x) = 50 x 0,5x La derivada es la función B (x) = 50 2 x 0,5 que llamamos función beneficio marginal. Dica función nos dice como evolucionan los beneficios cuando aumentamos la cantidad producida. 3. El Beneficio de esta empresa será máximo donde encontremos una cantidad que anule la primera derivada y tenga una segunda derivada negativa (Condiciones necesaria y suficiente de optimalidad). Por lo tanto igualando a 0 la expresión B (x) = ,5 se obtienen los candidatos a máximos y mínimos: x B (x) = ,5 = 0 x 2 x = 0,5 x = 2 0,5 50 x = (0,02) 2 = 0,0004 Para saber si es un máximo tenemos que calcular la segunda derivada y evaluarla en dico punto: B (x) = 50 (2 x) 1 2 (2 x) = 50 8x x Y al evaluarla se obtiene que B (0,0004) = 50 8(0,0004) (0,0004) que 0 y por lo tanto podemos asegurar que es un máximo. 20 < 0 que es menor

21 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Si la empresa decide aumentar o disminuir la producción el beneficio será menor ya que el beneficio máximo que puede obtener ocurre cuando x = 0, Regla de L Hôpital Sean f : R R y g : R R dos funciones derivables en un entorno del punto a. Entonces si y si existe el límite: f(x) lím x a g(x) = {0} {0} Entonces se cumple que: f (x) lím x a g (x) f(x) lím x a g(x) f (x) x a g (x) Por lo tanto la regla de L Hôpital dice que se puede sustituir el limite del cociente de dos funciones por el límite del cociente de sus derivadas (que NO la derivada del cociente) Ejemplo Si queremos calcular el límite sen(x) lím x 0 x Es una indeterminación del tipo {0} {0} = {0} {0} que ya sabemos resolver con los infinitésimos equivalentes, pero también podemos aplicar la regla de L Hôpital ya que ambas funciones f(x) = sen(x) y g(x) = x son derivables en el punto x = 0. En ese caso podemos calcular el límite siguiente: 21

22 1.5 Aplicaciones de la derivada f (x) lím x a g (x) cos(x) x 0 1 x 0 cos(x) = 1 Como dico límite existe, se concluye que el límite del cociente original es igual al límite del cociente de derivadas: sen(x) lím x a x x 0 cos(x) 1 Extensiones de la regla de L Hôpital x 0 cos(x) = 1 En la regla de L Hôpital emos utilizado el límite cuando nos acercamos a un punto y con una indeterminación del tipo {0} {0} valida cuando: sin embargo la regla sigue siendo Cuando el límite se calcula al aproximarnos a x λ con λ = a, a +, a,, + Cuando la indeterminación es del tipo {0} {0} y del tipo { } { } Teorema de Taylor A veces las funciones con las que se necesita trabajar son demasiado complejas y en algunas ocasiones se ace incluso imposible poder evaluar dica función en un determinado punto. Sería interesante poder sustituir la función complicada por otro mas sencilla, pero que evidentemente no cambie muco el resultado. En este apartado vamos a ver como sustituir el valor de una función en un punto por un polinomio, con el que lógicamente es más fácil de operar. De eco, actualmente en algunas ocasiones los ordenadores utilizan este sistema para realizar los cálculos. Teorema de Taylor Sea f : R R una función definida en intervalo que contiene al punto x = a. Además dica función admite derivadas sucesivas asta el orden n+1, entonces, dado un x intervalo, existe un punto c en el segmento que une x y a tal que: 22

23 Apuntes: Matemáticas Empresariales I f(x) = f(a)+f (a)(x a)+ 1 2! f (a)(x a) n! f n (a)(x a) n + 1 (n + 1)! f n+1 (c)(x a) n+1 Al polinomio: f(x) f(a) + f (a)(x a) + 1 2! f (a)(x a) n! f n (a)(x a) n Se le llama polinomio de Taylor de orden n para la función f o desarrollo en serie de Taylor de la función f. Si el punto en el que se ace el desarrollo es el punto a = 0 entonces se llama desarrollo en serie de Maclaurin. A la expresión: 1 (n + 1)! f n+1 (c)(x a) n+1 Se la denomina resto de la aproximación y se representa por R(f, a, n). Ejemplo Haga un desarrollo de Taylor asta el orden n = 4 de la función f(x) = sen(x) alrededor del punto x = 0. A partir del teorema de Taylor sabemos que un desarrollo de polinomios asta el orden 4 tiene la forma: f(x) f(a) + f (a)(x a) + 1 2! f (a)(x a) ! f (a)(x a) ! f iv (a)(x a) 4 En este caso debemos calcular las derivadas anteriores y evaluarlas en el punto a = 0. Como f(x) = sen(x), se tiene que f(0) = sen(0) = 0. Además, f (x) = cos(x) y por tanto f (0) = cos(0) = 1, f (x) = sen(x) y por tanto f (0) = sen(0) = 0, f (x) = cos(x) y por tanto f (0) = cos(0) = 1 y finalmente f iv (x) = sen(x) y por tanto f iv (0) = sen(0) = 0. 23

24 1.5 Aplicaciones de la derivada Sustituyendo en la expresión del polinomio de Taylor se obtiene que: f(x) f(0) + f (0)(x) + 1 2! f (0)(x 0) ! f (0)(x 0) ! f iv (0)(x 0) 4 y por lo tanto f(x) (x) (x)2 + Y simplificando los términos que son 0 sen(x) x x ( 1) (x) ! 0 (x)4 Si no tenemos calculadora y queremos calcular el sen(0,5), entonces sabemos que aproximadamente, sen(0,05) = 0,05 0,053 6 = 0,05 0, = 0,049 24