Semana 15[1/??] Derivada (II) June 14, Derivada (II)

Transcripción

1 Semana 15[1/??] June 14, 7

2 Derivadas de orden superior Semana 15[/??] Definición La derivada de f en x y la derivada de f en x están dada por f x) f x f ) x ) = lim y x x x x f ) x ) = lim x x f x) f x ) x x. Definición Para n N se define f n) x ), la derivada de orden n de f en x, como el valor del siguiente límite. f n) f n 1) x) f n 1) x ) x ) = lim, x x x x donde f ) es la función f. Observación Lo anterior equivale a definir f n) x )= f n 1)) x ). f 1) es lo mismo que f y f ) es lo mismo que f ). Si f n) x ) existe entonces decimos que f es derivable n veces en x. En este caso:lim x x f n 1) x) = f n 1) x ). Para que tenga sentido calcular f n) x ) es necesario que: δ > tal que el intervalo x δ, x + δ) esté incluido en el dominio de la función f n 1).

3 Derivadas de orden superior Semana 15[3/??] Funciones básicas Ejemplo:f x) = e x Sabemos que e x ) x ) = e x. Entonces, para todo n N, e x ) n) x ) = e x. Ejemplo:f x) = sinx) Sabemos que sin x)) x ) = cosx ) y que cos x)) x ) = sin x ). Entonces, sin x)) n) x ) = sin x + n π ) y cos x)) n) x ) = cos x + n π ) Ejemplo:f x) = sinhx) Sabemos que sinh x)) x ) = coshx ) y que cosh x)) x ) = sinh x ). Entonces, para todo n N, si n es parsinh x)) n) x ) = sinh x ) y si n es impar entonces sinh x)) n) x ) = cosh x ). Luego sinh) n) x ) = ex + 1) n+1 e x y cosh) n) x ) = ex + 1) n e x.

4 Derivadas de orden superior Semana 15[4/??] Polinomios Ejemplo: f x) = x k Sabemos que x k) x ) = k ) x ) k 1 y que kx k 1 x ) = k k 1) x k. Entonces, para todo n N, ) k k 1) k n + 1) x k n x k n) n k x ) =. n > k Polinomio Para p x) = a + a 1 x x ) + a x x ) + + a k x x ) k, se tiene que p x ) = a, p x ) = a 1, p x ) = a y en general, { p n) n!an n k x ) = n > k.

5 Derivadas de orden superior Semana 15[5/??] Ejemplos Ejemplo: f x) = 1 x Sabemos que ) 1 x ) = 1 x x y que 1 ) ) ) x ) = 1 x x =. En general, x 3 ) n) 1 x ) = 1 n x x n+1 1) n = n! 1) n. x n+1 Ejemplo:f x) = ln x) Sabemos que ln x)) = 1 y como ) 1 n) x ) = n! 1) n tenemos que x x x n+1 ln x)) n) x ) = n 1)! x n 1) n 1. Ejemplo:f x) = x k Sabemos que x k) x ) = k ) x ) k 1 y que kx k 1 x ) = k k 1) x k. Entonces, para todo n N, ) x k n) x ) = k k 1) k n + 1) x k n = 1) n k k + 1) k + n 1) x k n.

6 Derivadas de orden superior Semana 15[6/??] Derivada de orden n de un producto Fórmula de Leibnitz Para f y g funciones con derivadas de orden n en a, la derivada de orden n de fg) está dada por: fg) n) a) = n k= ) n f k) a) g n k) a). k Demostración Inducción) Para n = 1 se cumple que: fg) a) = f a) g a) + f a) g a). Aplicando la definición de ) n+1), la hipótesis de inducción, las reglas de la derivada de una suma y un producto f k) g n k)) = f k+1) g n k) + f k) g n k+1) y propiedades de las sumatorias, se obtiene el siguiente desarrollo. n n fg) n+1) a) = k k= n n = k k= ) f k) g n k) ) a) ) f k+1) a) g n k) a) + = f n+1) a) g a) + = f n+1) a) g a) + k=1 k=1 n k= ) n f k) a) g n k+1) a) k n ) n f k+1) a) g n k) a) + k 1 n ) n + k 1 n k=1 ) n f k) a) g n k+1) a) + f a) g n+1) a) k )) n f k+1) a) g n k) a) + f a) g n+1) a) k La conclusión se alcanza al recordar que n k 1) + n ) k = n+1 ) k y reagrupar las sumas.

7 Derivadas de orden superior Semana 15[7/??] Ejemplo Conocidas las derivadas n ésimas de dos funciones podemos obtener aquella del producto usando la fórmula de Leibnitz. f x) = x sin x) La derivada n ésima de x es si n. Entonces, x sin x)) n) = n k= ) n x) k) sin x)) n k) k = x sin x)) n) + n sin x)) n 1) = x sin x + n π ) + n sin x + n 1) π ).

8 Derivadas de orden superior Semana 15[8/??] Ejemplo f x) = arctan x) Las dos primeras derivadas están dadas por arctan) = 1 1+x y arctan) = x 1+x ) 1 + x ) f + xf =. y satisfacen Al aplicar la fórmula de Leibnitz para n en ambos términos de la suma se obtiene que. ) 1 + x f ) n ) ) ) ) = 1 + x f ) n ) n + x) f ) n 3) n + f ) n 4) 1 y ) xf ) n ) = x f ) n ) n + f ) n 3). 1 Esto nos da la siguiente fórmula de recurrencia para f n) 1 + x ) f n) + x n ) f n 1) + n ) n 3) f n ) + xf n 1) + n ) f n ) =. Entonces, podemos calcular la derivada n ésima de arctan x) en x = mediante la recurrencia: f n) ) = n ) n 1) f n ) ). Partiendo con f ) ) = y f 1) ) = 1 se concluye que f n) ) = para n par y f k+1) ) = 1) k k)!.

9 Polinomios de Taylor Semana 15[9/??] Polinomios de Taylor Definición Para f tal que f k) x ) existe, el polinomio de Taylor de f en torno a x y de orden k, está dado por p x) = a + a 1 x x ) + a x x ) + + a k x x ) k, donde para todo j {,..., k}, f j) x ) = p j) x ). Observación Como p j) x ) = j!a j se tiene que los coeficientes quedan determinados por a j = f j) x ) j!. El polinomio de Taylor de la función f en torno a x y de orden 1 corresponde a la recta tangente a f en el punto x, f x )). Si p es el polinomio de Taylor de la función f en torno x de orden k entonces p es el polinomio de Taylor de la función f en torno a x y de orden k 1.

10 Polinomios de Taylor Semana 15[1/??] Ejemplos con k =, 3, 4. Taylor para x en x = 4 de orden Para encontrar el polinomio debemos conocer los valores f, f y f en x = 4. f 4) =, f 4) = 1 = 1, f 4) = 1 1 = 1. Entonces, el polinomio de Taylor de x de orden en torno a x es p x) = x 4) 4 3 x 4). Taylor para x ln1 + x) en x = de orden 3 f ) =, f x) = ln 1 + x) + x, f x) = 1 + 1, f 3) x) = 1. Entonces, el polinomio de 1+x 1+x 1+x) 1+x) 1+x) 3 Taylor en torno a x = de orden 3 es p x) = + x +! x 3 3! x 3 = x x 3. Taylor para sinx) en π de orden 4 f π) =, f π) = 1, f π) =, f 3) π) = 1 y f 4) π) =. Entonces es polinomio buscado es p x) = x π) + x π)3. 3! Notar que como f 4) π) = el polinomio de orden 3 y el de orden 4 son iguales.

11 Polinomios de Taylor Semana 15[11/??] Ejemplos de orden superior Para las funciones donde f j) x ), algunas elecciones de x producen polinomios de Taylor más simples. Taylor de orden k para e x en x = Para x = tenemos que e x ) j) ) = 1, para todo j. Entonces su polinomio de Taylor de orden k es p x) = 1 + x + x + x 3 3! + + x k k!. Taylor de orden k + 1 para sinx) en x = Para x = tenemos que sin x)) j) ) = para j par y sin x)) j) ) = 1) j 1 para j impar. Entonces los polinomios de Taylor de orden k + 1 y de orden k + están dados por p x) = x x 3 3! + x 5 5! + + x k+1 1)k k + 1)!.

12 Polinomios de Taylor Semana 15[1/??] Ejemplos de orden superior Taylor de orden k para ln1 + x) en x = Para x = tenemos que ln 1 + x)) = 1 1+x. Como 1 1+x ) j 1) ) = 1) j+1 j 1)! 1+) j tenemos que ln 1 + x)) j) j+1 j 1)! ) = 1). Con esto, el polinomio de Taylor de orden k en torno a es 1+) j p x) = + x + 1! x +! 3! x ) k+1 k 1)! k! x k = x x + x )k+1 x k k. Taylor de orden k para arctanx) en x = Para arctan x) y x = tenemos que las derivadas de orden par en cero son cero y las de orden impar están dadas por f k+1) ) = 1) k k)!. Luego, el polinomio de Taylor de orden k + 1 y orden k + en torno a es p x) = x!x 3 3! = x x 3 + 4!x 5 5! + + 1) k k)!x k+1 k + 1)! 3 + x )k x k+1 k + 1.

13 Regla de l Hôpital Semana 15[13/??] Regla de l Hôpital Propiedad La siguiente es una herramienta para calcular límites que será demostrada en el curso siguiente. Para B { +,, x +, x, x } y g con g x) : f Si lim x) x B = l y lim f x) g x) x B f x) = lim x B g x) = entonces lim x B = l. gx) f Si lim x) x B = l y lim f x) g x) x B f x) = lim x B g x) = + entonces lim x B = l. gx) Aplicación f x) La regla se usa en el cálculo del lim x B. Para ello se procede como sigue. gx) a) Se verifica que lim x B f x) = lim x B g x) = o que que lim x B f x) = lim x B g x) = +. b) Se calcula f y g. f c) Se plantea el problema auxiliar lim x) x B. g x) Si el límite en este problema auxiliar es l entonces el límite en el problema original también es l. Ejemplo: lim x sinx) x a) Primero vemos que lim x sin x) = lim x x =. b) Las derivadas son sin) = cos y x) = 1. c) El problema auxiliar es lim cosx) 1. Como este último límite vale 1 el original también vale 1. El paso al problema auxiliar lo describiremos por el símbolo L H. Entonces el cálculo del límite lo podemos resumir así. sin x) lim L H cos x) lim = 1 x x x 1

14 Regla de l Hôpital Semana 15[14/??] Ejemplos Cálculo de una derivada Calculemos la derivada de la función f en x =, para f dada por: f x) = { sinx) x x 1 x =, o sea, sinx) f 1 x ) = lim x x = lim x sin x) x x. Desarrollo a) Verificamos que lim x sin x) x) = lim x x =. b) Calculamos sin x) x) = cos x) 1 y x ) = x. c) sin x) x lim x x L H lim x cos x) 1 x La última igualdad puede redemostrarse usando una vez más la regla de l Hôpital como sigue. a) Verificamos que lim x cos x) 1) = lim x x =. b) Calculamos cos x) 1) = sin x) y x) =. c) cos x) 1 lim x x L H lim x sin x) =. =.

15 Regla de l Hôpital Semana 15[15/??] Ejemplos lim x sinx) x x 3 a) lim x sin x) x) = lim x x 3 = y b) sin x) x) = cos x) 1 y x 3) = 3x. Entonces c) sin x) x lim x x 3 L H lim x cos x) 1 3x. a) lim x cos x) 1) = lim x 3x = y b) cos x) 1) = sin x) y sin x) x lim x x 3 L H lim x cos x) 1 3x L H lim x sin x) 6x 3x ) = 6x. Entonces c) = 1 6. lim x sin x) lncos x)) a) lim x sin x ) = lim x ln cos x )) = y b) sin x )) ) ) = sin x cos x 1 y ln cos x ))) x = 1 sin x ) lim x ln cos x )) sin L H lim x 1 cos x) ) ) x cos x 1 x cos x) sin x ) 1 x sin x )) 1 x =.. Entonces c)

16 Regla de l Hôpital Semana 15[16/??] Ejemplos Iteración de la regla Este ejemplo corresponde a una aplicación iterada de la regla de l Hôpital en el cálculo de sin x) x + x 3 6 lim x x 5 L H cos x) 1 + x lim x 5x 4 L H lim x sin x) + x x 3 L H cos x) + 1 lim = 1 x 6x 1. El uso es correcto pues: a) lim x f x) = para las funciones x 3, x 4, x 5,sin x) x + x 3 x, cos x) 1 + y sin x) + x. 6 ) ) ) ) ) b) sin x) x + x 3 = cos x) 1 + x = sin x) + x) = cos x) + 1 y 6 x ) ) ) 5 5x 4 = ) ) ) = x 3 = 6x.