Sistemas de Control con entradas estocásticas

Transcripción

1 Capítulo 4 Sistemas de Control con entradas estocásticas 4.1. Introducción Un sistema de control es un sistema dinámico que cuando evoluciona en el tiempo se comporta de una forma predescrita. Loa componentes esenciales de un sistema de control (Fig. 4.1) son: Figura 4.1: Representación esquemática de un Sistema de Control. 1. Planta: Sistema o proceso a controlar. 2. Sensores: Entregan información sobre la planta. 3. Controlador: Corazón del sistema de control. Compara valores y ajusta las variables de entrada. El sistema realimentado tiene varias propiedades atractivas. Son capaces de operar satisfactoriamente en condiciones adversas tales como: perturbaciones que actúan sobre el sistema o variaciones en las propiedades de una planta. En este capítulo se introducen problemas de control, se describen posibles soluciones, se analizan estas soluciones y se presentan objetivos de diseño básicos. 33

2 4.2. Formulación de problemas de control Veremos problemas de seguimiento, como caso especial, problemas de regulación Formulación de los problemas Dado un sistema, generalmente llamado planta, que no puede ser alterado por el diseñador, con las siguientes variables asociadas a él (Fig. 4.2): Figura 4.2: La planta 1. Variables de entrada u(t): influyen en la planta y pueden ser manipuladas. 2. Variables de perturbación v p (t): influyen en la planta pero no pueden ser manipuladas. 3. Variables observadas y(t): son medidas mediante sensores y se usan para obtener información acerca del estado de la planta. Estas variables observadas generalmente están contaminadas con ruido de observación v m (t). 4. Variables controladas z(t): variables que se desean controlar. 5. Variables de referencia r(t): Representan los valores prescritos de la variable controlada z(t). El problema se seguimiento a groso modo es el siguiente. Para una referencia dada, encontrar una entrada apropiada de modo que la variable controlada siga la variable de referencia, es decir: z(t) = r(t) t t 0 (4.1) donde t 0 es el instante de partida del control. Típicamente, la variable de referencia no se conoce a futuro. Una restricción práctica es: el rango de valores sobre los cuales puede variar la entrada, está limitado. 34

3 En los sistemas de seguimiento, además hay que tomar en cuenta: 1. Influencia de las perturbaciones de manera impredecible. 2. Los parámetros de la planta pueden ser desconocidos y variables. 3. El estado inicial de la planta puede ser desconocido. 4. Las variables observadas pueden no dar directamente información acerca del estado de la planta y más aún pueden estar contaminadas con ruido de observación. La entrada a la planta se genera con el controlador. Hay dos tipos clásicos de controladores: lazo abierto y lazo cerrado. Los controladores en lazo abierto generan u(t) sobre la base de valores pasados y presentes de la variable de referencia solamente (Fig. 4.3), es decir: u(t) = f OL [r(τ), t 0 τ t] t t 0 (4.2) Figura 4.3: Sistema de control lazo abierto El controlador lazo cerrado usa la información que viene con la variable observada (Fig. 4.4), es decir: u(t) = f CL [r(τ), t 0 τ t ; y(τ), t 0 τ t] t t 0 (4.3) En ambos casos no se usan valores futuros de las variables utilizadas para generar la entrada, ya que son desconocidos. La planta y el controlador los denominaremos: Sistema de Control. Figura 4.4: Sistema de control lazo cerrado 35

4 Observamos que el sistema de control de lazo cerrado es más poderoso ya que puede: 1. Acumular información sobre la planta durante la operación y el estado inicial. 2. Reduce el efecto de las perturbaciones y compensa variaciones e incertidumbre en los parámetros de la planta. Una clase importante de problemas de seguimiento consiste de aquellos que usan referencia constante durante períodos largos. En estos casos se habla de problemas de regulación. Aquí el problema principal es mantener la variable controlada en el punto de operación (referencia) Controladores en lazo cerrado A continuación describiremos la planta y el controlador en un sistema de lazo cerrado. La planta se puede describir como un sistema diferencial lineal con algunas de sus entradas como procesos estocásticos: ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + v p (t) (4.4) x(t 0 ) = x 0 x(t): estado de la planta u(t): variables de entradas x 0 : estado inicial. Variable estocástica v p (t): variables de perturbación. Proceso estocástico La variable observada es: y(t) = C(t) x(t) + v m (t) (4.5) v m (t): ruido de observación. Proceso estocástico Las variables controladas son: z(t) = D(t) x(t) (4.6) Finalmente, la variable de referencia r(t) se asume que es un proceso estocástico con la misma dimensión de las variables controladas z(t). El controlador de lazo cerrado también se toma como un sistema diferencial lineal del tipo: q(t) = L(t) q(t) + K r (t) r(t) K f (t) y(t) (4.7) q(t 0 ) = q 0 36

5 q(t): variables de estado r(t): variables de referencia y(t): variables observadas como entradas q 0 : estado inicial. Vector dado ó variable estocástica La ecuación de salida es: u(t) : variables de entrada a la planta u(t) : variables salida del controlador u(t) = F (t) q(t) + H r (t) r(t) H f (t) y(t) (4.8) El siguiente diagrama de bloque ilustra las interconexiones entre la planta y el controlador de lazo cerrado (Fig. 4.5). Figura 4.5: Sistema de control en lazo cerrado Si K f (t) 0 y H f (t 0) se reduce a un sistema de control de lazo abierto, que se muestra en la Fig A continuación se definen dos medidas del comportamiento del sistema de control, que sirven como herramientas para evaluar si el sistema de control hace bien su tarea. Definición 4.1. El error cuadrático medio de seguimiento C e (t) y el valor cuadrático medio de las entradas C u (t), se definen como: C e (t) = E { e T (t) W e (t) e(t) } t t 0 (4.9) C u (t) = E { u T (t) W u (t) u(t) } t t 0 Donde el error de seguimiento e(t) está dado por: e(t) = z(t) r(t) t t 0 (4.10) 37

6 Figura 4.6: Sistema de control en lazo abierto y W e (t) y W u (t), t t 0, son matrices de peso simétricas no negativas definidas. Cuando W e (t) es diagonal, como generalmente lo es, C e (t) es la suma ponderada de los errores cuadráticos medio de seguimiento de cada uno de los componentes de la variable controlada. Cuando e(t) es una variable escalar y W e = 1, entonces C e (t) es el error cuadrático medio (rms) de seguimiento. Nuestra meta en el diseño de un sistema de control es reducir el error cuadrático medio de seguimiento C e (t) tanto como sea posible. Disminuir C e (t) generalmente implica aumentar la entrada cuadrática media C u (t). Ya que el valor máximo permitido de entrada cuadrática media está determinado por la capacidad de la planta, hay que buscar un compromiso entre el requerimiento de un C e (t) pequeño y la necesidad de tener un C u (t) bajo. Objetivo básico de diseño: En el diseño de sistemas de control se debe escoger un error cuadrático medio, C e (t), lo más bajo posible sin permitir que la entrada cuadrática media exceda los valores máximos permitidos. Veamos a continuación como se pueden calcular C e (t) y C u (t). Usando la técnica de aumentar el vector de estado obtenemos la siguiente ecuación, para el sistema de control: ẋ(t) = A(t) B(t)H f (t)c(t) B(t)F (t) x(t) q(t) K f (t)c(t) L(t) q(t) + B(t)H r(t) r(t) + I B(t)H f (t) v p(t) (4.11) K r (t) 0 K f (t) v m (t) Para el error de seguimiento y la entrada tenemos: e(t) = [ D(t) 0 ] [ ] x(t) r(t) (4.12) q(t) u(t) = [ H f (t)c(t) F (t) ] [ x(t) q(t) El cálculo de C e (t) y C u (t) se realiza en dos etapas. 38 ] + H r (t)r(t) H f (t)v m (t)

7 Primero, determinar la media o parte determinística de e(t) y u(t), denominadas como: ē(t) = E{e(t)} t t 0 (4.13) ū(t) = E{u(t)} t t 0 Estos valores medios se calculan usando las mismas ecuaciones (4.11) y (4.12) donde los procesos estocásticos r(t), v p (t) y v m (t) se reemplazan por sus valores medios y el estado inicial se toma como la media de [x(t 0 ) q(t 0 )] T. Luego se definen nuevas variables restándoles el valor medio respectivo, por ejemplo: x(t) = x(t) x(t) t 0 (4.14) q(t) = q(t) q(t) t 0 etc. Con esta anotación se escriben: C e (t) = E{e T (t) W e (t) e(t)} = ē T (t) W e (t) ē(t) + E{ẽ T (t) W e (t) ẽ(t)} (4.15) C u (t) = E{u T (t) W u (t) u(t)} = ū T (t) W u (t) ū(t) + E{ũ T (t) W u (t) ũ(t)} Los términos E{ẽ T (t) W e (t) ẽ(t)} y E{ũ T (t) W u (t) ũ(t)} se pueden encontrar cuando se conoce la matriz varianza del vector columna [ x(t), q(t)]. Para determinar la matriz varianza, se deben modelar las partes con media cero de r(t), v p (t) y v m (t) como variables de salida de sistemas diferenciales lineales manejadas por ruido blanco. Luego el vector columna [ x(t), q(t)] se aumenta con el estado de los modelos generado por los procesos estocásticos. La matriz varianza del estado aumentado se puede calcular usando la ecuación diferencial de la matriz varianza del teorema La estabilidad de sistemas de control Para ver el comportamiento del control introducimos las mediciones de C e (t) y C u (t). Ya que normalmente se espera que el sistema de control opere por largo tiempo, lo menos que se desea es que C e (t) y C u (t) permanezcan acotadas cuando el tiempo crezca. Esto nos lleva directamente a investigar la estabilidad del sistema de control. Si el sistema de control es inestable, generalmente C e (t) y C u (t) también crecen indefinidamente. Esto lleva al siguiente objetivo de diseño: Objetivo de diseño 4.1. El sistema de control debería ser A.E. Si suponemos que el sistema de control es invariante en el tiempo. Este objetivo de diseño es equivalente a requerir que todos los valores característicos o autovalores del sistema aumentado (4.11) deben tener parte real estrictamente negativa, es decir, los autovalores de: [ ] A B Hf C B F (4.16) K f C L Según el teorema 1.16, el polinomio característico de (4.16) se puede escribir como: det[si A] det[si L] det[i + H(s)G(s)] (4.17) 39

8 es la matriz de transferencia de la planta desde u a y, y es la matriz de transferencia del controlador desde y a u. H(s) = C [si A] 1 B (4.18) G(s) = F [SI L] 1 K f + H f (4.19) Una de las funciones del controlador es mover los polos de la planta a mejores localizaciones en el semiplano izquierdo complejo para mejorar el comportamiento del sistema. Si la planta es inestable, la función principal del controlador es estabilizar el sistema moviendo los polos del lazo cerrado a localizaciones apropiadas en el semiplano izquierdo complejo Análisis en estado estacionario de las propiedades de seguimiento Error y entrada de seguimiento Desde los sistemas de ecuaciones (4.11) y (4.12) vemos que los tres procesos r(t), v p (t) y v m (t) tienen un efecto sobre C e y C u. Supondremos que estos procesos estadísticamente no están correlacionados de modo que su contribución a C e y C u se pueden analizar separadamente. Consideremos las siguientes suposiciones: 1. El sistema es A.E 2. El sistema es I.T y las matrices W e y W c son constantes 3. La perturbación v p (t) y el ruido de observación v m (t) son cero 4. La variable de referencia r(t) se puede escribir como: r(t) = r 0 + r v (t) (4.20) donde r 0 es un vector estocástico y r v (t) es un P.E.V.E.S.A no correlacionado con r 0. El vector estocástico r 0 es la parte constante de la variable de referencia y es, en efecto, el set point de la variable controlada. El proceso r v (t) de media cero, es la parte variable de r(t). Supongamos que la matriz de momento de segundo orden de r 0 es: E{r 0 r T 0 } = R 0 (4.21) Supongamos que r v (t) tiene la matriz densidad espectral de potencia Σ r (ω). Bajo estas suposiciones C e y C u convergen a valores constantes cuando t aumenta. Entonces definimos como error cuadrático medio de seguimiento en estado estacionario a: C e = lím t C e (t) (4.22) 40

9 Y entrada cuadrática media en estado estacionario a: C u = lím t C u (t) (4.23) Consideremos la matriz de transferencia T (s) entre r(t) y z(t). También, N(s) como la matriz de transferencia entre r(t) y u(t). Consideremos separadamente las contribuciones de la parte r 0 y r v (t) sobre C e y C u. Tenemos que: lím z(t) = lím s Z(s) = T (0) r 0 (4.24) t s 0 lím t Luego las contribuciones de la parte constante r 0 es: u(t) = lím s 0 s U(s) = N(0) r 0 (4.25) lím t {ēt (t) W e ē(t)} = [T (0)r 0 r 0 ] T W e [T (0) r 0 r 0 ] = tr{r 0 r T 0 [T (0) I] T W e [T (0) I]} (4.26) = tr{r 0 [T (0) I] T W e [T (0) I]} lím t {ūt (t) W u ū(t)} = [N(0) r 0 ] T W u [N(0)r 0 ] = tr{r 0 r T 0 N T (0) W u N(0)} (4.27) = tr{r 0 N T (0) W u N(0)} Recordando el teorema 2.7: [ ] tr W e Σ e (ω) df = E { ẽ T (t) W e ẽ(t) } Usando el teorema 2.6 y Se obtiene: Usando tr(a B) = tr(b A) e(t) = z(t) r(t) lím s 0 E(s) = lím s 0 [T (s)r(s) R(s)] tr[w e Σ e (ω)] = tr W e[t (jω) I] Σ r (ω)[t ( jω) I] T }{{}}{{} A B = tr { Σ r (ω) [T ( jω) I] T W e [T (jω) I] } Las contribuciones de la parte r v (t) se pueden encontrar usando los teoremas 2.6 y 2.7 y resultan: C e = tr{r 0 [T (0) I] T W e [T (0) I] + Σ r (ω)[t ( jω) I] T W e [T (jω) I]df} (4.28) C u = tr{r 0 N T (0)W u N(0) + 41 Σ r (ω)n T ( jω)w u N(jω)df} (4.29)

10 Obtengamos T (s) y N(s) en términos de loas matrices de transferencia de la planta y el controlador. Se tienen las siguientes matrices de transferencia parciales: Z(s) = K(s) U(s) Y (s) = H(s) U(s) K(s) = D[sI A] 1 B H(s) = C[sI A] 1 B U 1 (s) = P (s) R(s) P (s) = F [si L] 1 K r + H r (4.30) U 2 (s) = G(s) Y (s) U(s) = U 1 (s) U 2 (s) Eliminando las variables apropiadas resulta: G(s) = F [si L] 1 K f + H f Z(s) = T (s) R(s) (4.31) U(s) = N(s) R(s) T (s) = K(s)[I + G(s) H(s)] 1 P (s) (4.32) N(s) = [I + G(s) H(s)] 1 P (s) y T (s) = K(s) N(s) (4.33) Caso simple entrada simple salida Considerando u(t), z(t) y r(t) variables escalares. Además W e = W u = 1. Tenemos que: C e = R 0 T (0) Σ r (ω) T (jω) 1 2 df (4.34) C u = R 0 N(0) 2 + Σ r (ω) N(jω) 2 df (4.35) Objetivo de diseño 4.2. Para obtener un C e pequeño, la matriz T (s) de un S.C.L.I.T debería diseñarse de modo que: Σ r (ω) T (jω) 1 2 (4.36) sea pequeño para todo ω. En particular, cuando los set point no son ceros, T (0) debería hacerse igual a 1. En el caso del regulador, donde la parte variable en la referencia es nula, es necesario que T (0) sea igual a 1. Normalmente cuando ω aumenta Σ r (ω) disminuye a cero. Esto significa que se debe hacer T (jω) 1 pequeño para referencias donde Σ r (ω) asume valores significativos. 42

11 Definición 4.2. Tomemos T (s) la matriz escalar de un S.C.L.I.T.A con variables de entrada y controlada escalares. Entonces la banda de frecuencia del sistema de control se define como el conjunto de frecuencias ω, ω 0, para el cual: donde ε es un número dado que es pequeño con respecto a 1. T (jω) 1 ε (4.37) Si la banda de frecuencia es un intervalo [ω 1, ω 2 ], entonces (ω 2 ω 1 ) es el ancho de banda del sistema de control. Si la banda de frecuencia es un intervalo [0, ω c ], entonces ω c es la frecuencia de corte del sistema. Definición 4.3. Sea r(t) un P.E.E.S.A escalar con función densidad espectral de potencia Σ r (ω). La banda de frecuencia, Ω, de r(t) se define como el conjunto de frecuencias ω, ω 0, para el cual: Σ r (ω) α (4.38) Donde α se escoge para que: ω ɛ Ω Σ r (ω)df = (1 ε) Σ r (ω)df (4.39) ω>0 Si la banda de frecuencia es un intervalo [ω 1, ω 2 ], se define (ω 2 ω 1 ) como el ancho de banda del proceso r(t). Si es un intervalo (0, ω c ] entonces ω c es la frecuencia de corte del proceso. Objetivo de diseño 4.3. Para obtener un C e pequeño, la banda de frecuencia del sistema de control debería contener tanto como sea posible la banda de frecuencia de la parte variable de la variable de referencia. Si los set point no son cero, T (0) debería hacerse igual a 1. Objetivo de diseño 4.4. Para obtener C u pequeño en un S.C.L.I.T.A.E con una entrada y una salida: Σ r (ω) N(jω) 2 (4.40) debería hacerse pequeño para todo ω real. Esto se puede escoger haciendo N(jω) suficientemente pequeño sobre la banda de frecuencia de la variable de referencia Efecto de las perturbaciones en el caso simple entradasimple salida. Supongamos que: 1. La variable de perturbación v p (t) es un proceso estocástico que no esta correlacionado con la variable de referencia r(t) y el ruido de observación v m (t). Como resultado podemos obtener el aumento de C e (t) y C u (t) colocando r(t) y v m (t) iguales a cero. 2. La variable controlada es también la variable observada, es decir, C=D. Esto significa que: y en el caso invariante en el tiempo: y(t) = z(t) + v m (t) (4.41) H(s) = K(s) (4.42) 43

12 3. El sistema de control es A.E e I.T. 4. Las variables de entrada, controlada y referencia son escalares. W e y W u son iguales a Las variables de perturbación v p (t) se puede escribir como: v p (t) = v po + v pv (t) (4.43) donde la parte constante v po de la perturbación es un vector estocástico con matriz de momento de segundo orden dada, y la parte variable de la perturbación es un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio con media cero y matriz densidad espectral de potencia Σ vp (ω), no correlacionado con v p. El siguiente diagrama ilustra la situación: Figura 4.7: Sistema de control cerrado. Considerando r(t) v m (t) 0, la matriz de transferencia desde v p (t) a z(t) da la siguiente relación: [ ] 1 Z(s) = D [si A] 1 V p (s) (4.44) 1 + H(s) G(s) Como la variable controlada es un escalar entonces 1 + H(s)G(s) es un escalar. Se define como función de sensibilidad la expresión: [ ] 1 S(s) = (4.45) 1 + H(s) G(s) Calculemos la contribución de v p (t) al C e como la suma de dos términos: uno originado por la parte constante y otro por la parte variable. Como: Z(s) = S(s) D [SI A] 1 V p (s) (4.46) entonces la respuesta a estado estacionario de la parte constante es: lím z(t) = lím s Z(s) = S(0) D t s 0 [ A] 1 v po = S(0) v oo (4.47) Se supone que la matriz A es no singular y v oo = D [ A] 1 v po, luego tenemos que : C e = lím t E{e 2 (t)} = lím t E{[z(t) r(t)] 2 } = lím t E{z2 (t)} = E{ S(0) v oo 2 } = S(0) 2 E{voo} 2 = S(0) 2 V 0 (4.48) 44

13 Además desde (4.46) y los resultados vistos en los teoremas 2.6 y 2.7, la contribución de la parte variable de v p (t) a C e se puede expresar como: [ ] E{z T (t) z(t)} = tr Σ z (ω)df = Q(jω) Σ vp (ω) Q T ( jω)df (4.49) Simplificando tenemos que: Q(jω) = S(jω)D [jωi A] 1 (4.50) E{z 2 (t)} = S(jω) 2 Σ v0 (ω)df (4.51) Σ v0 (ω) = D [jω A] 1 Σ vp (ω)[ jωi A T ] 1 D T (4.52) Luego el aumento de C e debido a la perturbación es: C e = S(0) 2 V 0 + S(jω) 2 Σ v0 (ω)df (4.53) Objetivo de diseño 4.5. Para reducir C e debido a perturbaciones en S.C.L.I.T.A.E con una variable escalar, que es también la variable observada. El valor S(ω) se debe hacer pequeño sobre la banda de frecuencia de la perturbación equivalente en la variable controlada. Si los errores constantes son importantes de eliminar, S(0) debe hacerse pequeño, preferentemente cero. Observaciones: Para obtener S(jω) pequeños hay que aumentar la ganancia del lazo H(jω)G(jω) en el rango de frecuencia adecuado. Para conseguir S(0) = 0 se puede agregar una acción integral en la función G(s). Un polo en el origen. Veamos a continuación como influye v p (t) en C u. Tenemos que: [ ] G(s) U(s) = D [si A] 1 V p (s) (4.54) 1 + H(s) G(s) considerando los resultados anteriores tenemos que: 2 C u = G(0) H(0) G(0) V 0 + G(jω) 1 + H(jω) G(jω) Σ v0 (ω)df (4.55) Esta expresión nos lleva al siguiente objetivo de diseño: Objetivo de diseño 4.6. Para obtener un incremento pequeño en C u atribuible a la perturbación en un S.C.L.I.T.A.E. con variables controladas, observadas y de entrada escalares: G(jω) 1 + H(jω) G(jω) (4.56) debería hacerse pequeño en el tiempo en el rango de frecuencia de la perturbación equivalente en la variable controlada. Observación: Si se usa ganancia de lazo grande según Objetivo de Diseño 4.5, la expresión (4.56) normalmente no resulta pequeña. Hay un compromiso entre los Objetivos 4.5 y

14 4.7. Efecto del ruido de observación en el caso simple entrada simple salida. Para determinar C e y C u se hacen las siguientes suposiciones: 1. v m (t) es P.E que no está correlacionado con r(t) y v p (t). Esto implica que el efecto sobre C e y C u se puede determinar considerando r(t) v p (t) La variable controlada es también la variable observada, es decir, C = D de modo que: y(t) = z(t) + v m (t) (4.57) y en el caso I.T: H(s) = K(s) (4.58) 3. El sistema de control es A.E.I.T. 4. Son escalares u(t), z(t) y r(t). W e = W u = El ruido v m (t) es P.E.E.S.A con media cero y con la función densidad espectral de potencia Σ vm (ω). El siguiente diagrama ilustra la situación: Figura 4.8: Sistema de control con v m (t). Desde el diagrama, en términos de Laplace (R(s) = 0), (V p (s) = 0): Z(s) = H(s) G(s)[V m (s) + Z(s)] (4.59) H(s) G(s) Z(s) = 1 + H(s) G(s) V m(s) (4.60) Luego el C e debido a V m (s) es: C e = esto lleva al siguiente objetivo de diseño: 46 2 H(jω) G(jω) 1 + H(jω) G(jω) Σ vm (ω) df (4.61)

15 Objetivo de diseño 4.7. Para reducir el efecto de C e debido a v m (t) en un S.C.L.A.E.I.T con z(t) y v m (t) escalares, el sistema se debería diseñar de modo que: H(jω) G(jω) 1 + H(jω) G(jω) (4.62) sea pequeño en la banda de frecuencia de v m (t). Observación: Si H(jω) G(jω) se hace grande entonces (4.62) tiende a 1. Ahora, desde la figura 4.8 tenemos la siguiente función de transferencia que relaciona el ruido con la entrada a la planta: G(s) U(s) = 1 + H(s) G(s) V m(s) (4.63) Esto permite calcular el incremento de C u debido a v m (t): C u = 2 G(jω) 1 + H(jω) G(jω) Σ vm (ω) df (4.64) Esto también indica que si se desea disminuir el efecto de v m (t) sobre u(t), hay que disminuir: G(jω) 1 + H(jω) G(jω) (4.65) en la banda de frecuencia de v m (t). Observación: Si H(jω) G(jω) se hace grande entonces (4.62) normalmente aumenta. Hay un compromiso con el criterio